2012年陕西省数学中考宝典.pdf

1 中考宝典目录中考宝典目录 第一部分 第一部分 2012201220122012 中考复习计划中考复习计划 第二部分 第二部分 陕西陕西 2009 20112009 20112009 20112009 2011 年中考试题对比分析年中考试题对比分析 第三部分 应试技巧第三部分 应试技巧 第四部分 答题技巧第四部分 答题技巧 第五部分 第五部分 初中数学易错题分类汇编初中数学易错题分类汇编 第六部分 第六部分 中考数学压轴题评析中考数学压轴题评析 第七部分 第七部分 中考数学压轴题评析中考数学压轴题评析 2 2012 中考复习计划中考复习计划 中考临近 很多学生在复习数学方面不能有一个全面系统的复习计划 现就 对那些中考迷茫的学生给出详细的复习参考计划 在中考复习上 我们要重视学习效率 不搞题海战术 一般采用三轮复习法 第一轮复习第一轮复习重在查缺补漏 重温教材内容 建立知识点之间的纵横向联系 强 化解题思路的方向感 必须做到的必须做到的 1 在准确理解的基础上 牢记所有的基本概念 定义 公式 定理 推 论 性质 法则 等 2 以基本题型为纲 理解并掌握中学数学中的基本解题方法 例如 配方 法 因式分解法 换元法 判别式法 韦达定理 待定系数法 构造法 反证法 等 3 无论是对典型题 基本题 还是对综合题 应该很清楚地知道该题目所 要考查的知识点 并能找到相应的解题方法 4 典型问题 易错问题要及时进行归纳 用一个专用的本子收集错题 要 养成有错必纠 查漏补缺的好习惯 切不可眼高手低或简单地进行题海战术 应注意的问题应注意的问题 1 必须扎扎实实夯实基础 中考试题按难 中 易 1 2 7 的比例 基础 分占总分的 70 因此必须对基础数学知识做到 准确理解 和 熟练掌握 在 应用基础知识时能做到熟练 正确和迅速 2 必须深钻教材 不能脱离课本 按中考试卷的设计原则 基础题都是送 分的题 有不少基础题都是课本上的原题或改造 3 掌握基础知识 一定要从理解角度出发 数学知识的学习 必须要建立逻 辑思维能力 基础知识只有理解透了 才可以举一反三 触类旁通 相对而言 题海战术 在这个阶段是不适用的 第二轮复习第二轮复习重在提升能力 关注专题训练 融会贯通考纲上的所有知识点 需要做到的 需要做到的 1 进行专题化训练 将所有考纲上要求的知识点分为为多个专题 按专题进行复习 进行有针对性的 典型性 层次性 切中要害的强化练习 2 突出重点 难点和热点的内容 在专题训练的基础上 要突出重点 抓住热点 突破难点 按照中考的出题规律 每年的重点 难点和热点内容都大同小异 应注意的问题应注意的问题 1 专题的划分要合理 专题的划分标准为相关知识点的联系紧密程度 专 题要有代表性和针对性 切忌面面俱到 始终围绕热点 难点 重点特别是中考 必考内容选定专题 2 保证一定的习题量 所谓 熟能生巧 在这个阶段 所要做的就是将 关键知识点进行综合 巩固 完善 提高 要尽可能多的接触各类典型题 3 注重多思考 并及时总结规律 每个专题内的知识点具有必然的紧密联 系 不同专题之间的知识点同样会发生关联融合 要注重解题后的反思 总结规 律 3 第三轮复习第三轮复习重在训练答题策略 不断进行模拟考试 突破中考分数的非知识角 度的障碍 需要做到的 需要做到的 1 研究历年中考真题 选择含金量高的模拟题 分析历年中考题 对考点 的掌握做到心中有数 选择梯度设计合理 立足中考又稍高于中考难度的模拟题 来做 2 调整自己的心里状态 考试的成绩绝不仅仅取决于对知识点的掌握 在 真正的考场上 心理状态和心里素质会带来很大的影响 所以在模拟训练时 一 定要严格按照真正中考的时间以及相关要求来训练 应注意的问题应注意的问题 1 通过做模拟题进行查缺补漏 中考大纲要求掌握的知识点可谓众多 在 经过前两轮的复习后 最后需要用做模拟题的方式来检查是否有遗漏生疏的知识 点 2 克服不良的考试习惯中考考题都有相应的判分规则 要按照判分规则去 优化答题思路和步骤 必须避免因为 审题不仔细 凭印象答题以及答题不规范 等原因造成的失分 3 总结适当的应试技巧在实际的考试过程中 完成一道题目并不一定非要 按照从知识点的应用角度出发 针对不少典型题 都有相应的解题技巧 既节约 了做题时间 还保证了结果正确 陕西陕西 2009 20112009 20112009 20112009 2011年中考试题对比分析年中考试题对比分析 图形运动 动态几何问题 动态几何问题是指随着图形的某些元素的运动变化 导致问题的结论或者改 变 或者保持不变的几何题 是中考的热点题型 运动的主体 点 线或者面 形 运动的方式 翻折 平移或者旋转 分析策略 1 基本信息分析 1 点动 运动路线 直线 曲线 折线 运动范围 起点 终点 转折点 运动速度 s vt 双动点关联性 2 线动 线的类型 运动方式 与其他元素的关系 3 面动 原图形特征 运动方式 理清主从关系 进行转化分析 分析策略 2 解题思路 1 运用分类讨论思想 关注起点 转折点 终点 2 运用函数思想与数形结合思想 自变量 时间 因变量 点的坐标 线段的长 线段的位置 图 形的形状 周长 面积等 3 运用化归思想 关注特殊与一般的相互转化 难与易的转化 复杂与简单的转化 动与静的转化 4 分析策略 3 问题归类 1 变中求变 运动变化中的函数关系式 2 变中求不变 运动变化中特殊元素及其属性之间的特定关系 3 变中存在性 运动变化中探究特定的结论是否成立 探究符合特定条件的 元素是否存在等 详细分析近三年中考试题发现两大特点 一是稳定性 二是变化性 具体分析如 下 一 稳定性 表一 试卷结构的稳定性 表二 核心主干知识考查的稳定性 绝对自信 绝对谨慎绝对自信 绝对谨慎 一 最后阶段复习 1 复习心态很重要 要保持在平静中稍带紧张 年份选择题填空题解答题考试时间总分值 201110 题 30 分6 题 18 分9 题 72 分120 分钟120 分 201010 题 30 分6 题 18 分9 题 72 分120 分钟120 分 200910 题 30 分6 题 18 分9 题 72 分120 分钟120 分 核心主干知识 题号 年份 题型 2011 年2010 年2009 年题型 实数的相关概念111选择题 不等式 组 77选择题 统计666选择题 简单几何题2 7 92 8 93 7 9选择题 一次函数455选择题 二次函数101010选择题 实数的简单运算111111填空题 反比例函数 1513填空题 分式运算171717解答题 简单的几何证明181818解答题 统计191919解答题 测量问题202020解答题 一次函数的应用212121解答题 概率222222解答题 圆的证明与计算232323解答题 二次函数与几何图形242424解答题 方案设计及计算252525解答题 5 2 复习最后阶段要回归课本与笔记 把知识网络再过一下 电影 3 整理错题 把模拟考试甚至复习过程中所有的错题再做一遍 想一遍 4 每天安排适量的练习题 一般坚持一天 100 120 分钟练习 但不要做偏题和 怪题 5 注意休息 考试前一天不要开夜车 保证考试时精神集中 考生调整生理状态 二 严格执行自己制定的时间规划 20 选择填空 01 18 20 10 分档题 19 22 不等式 分式方程 二元二次方程组 代数式运算 3 取 2 统计 几何计算 函数计算 三角比应用 3 取 2 20 12 分档题 23 24 几何证明 坐标几何 25 14 分档题 25 动态几何 15 检查 一查审题 二查计算 三查题卷答卷是否抄错 三 各题应试要点 一 选择填空 1 用 2B 铅笔认真描浓选项 2 重视试卷第 1 道题 3 遇到概念问题 排除明显错误的选项 举例 下列关于长方体面的三个结论错误的是 A 长方体的每个面都是长方形 B 长方体中每两个面都互相垂直 C 长方体中相对的两个面的面积相等 D 长方体中与一个面垂直的面有四个 4 认真审题 看清 求什么 例如 是 函数解析式 还是 顶点坐标 5 小心答题 例如 取值范围的等号等 举例 一次函数bkxy 的图像如图所示 那么不等式0 bkx的解集是 6 可能在最后两题中一道 一般不会多于一题甚至会一题没有 会有多解 要小 心 二 中档题 1 把好计算的准确关 2 把好理解审题关 3 把好表达规范关 1 注意表达要有逻辑性 不要漏掉重要的踩分点造成失分 2 书写整洁规范 建议落笔前略打腹稿 尽可能书写一气呵成 清晰无漏洞 4 把好思维 书写同步关 有的考生在演算 解题的过程中 常常会因为笔误而出现错误 如把一个加 号写成后面将要进行运算的除号 这主要是因为思维 书写不同步 或者思维超 前 书写滞后 或者反之 这样丢分是非常不值的 所以在最后的训练过程中 要尽量避免克服类似的情况 5 如果中档题卡住 1 不要慌 越慌思维越堵塞 2 重新审题 一方面梳理心境 另一方面很有可能是审题失误造成中档题卡 0 1x y 6 住 例如 抛物线上点 还是 抛物线对称轴上点 3 不要考虑的太复杂 应从常规解法 常规思路入手 4 严格执行时间纪律 超时就先跳过去 三 坐标几何 坐标意识指的是 1 某点垂直于 x 轴或 y 轴的垂线段的长度是该点坐标的绝对值 2 善于转化线段关系为坐标关系 3 在转化坐标与垂线段长度时 注意符号 4 用几何方法解决 坐标几何 问题的意识 四 动态几何 分析 发现 或构造 Rt 全等相似三角形 特殊四边形 图形运动后的特殊点 转化 数学语言的转译或边角条件的转化 1 在心理上要充满信心 相信自己能解答出来 2 要善于去其包装 实际问题 这样的问题篇幅长 字数多 经过了一番精心包装 不耐心看就 很容易被冗长的问题所迷惑 所以考生在进行审题时 要逐字看过去 一遍不行 两遍 两遍不行三遍 考生可以一边阅读题目 一边把题纲写在草稿纸上 然后 再针对简化的题目进行解答 3 要克服思维定式 考试之前 考生做了大量的题目 考试不可避免地会在某些地方令考生有似 曾相识的感觉 这原本是件好事 但考生的思维定式把这变成了一件坏事 有的 考生看题还没过半 发现类似的题目老师讲解过 立即兴奋地动笔 有的同学甚 至靠记忆老师讲过的解法来依葫芦画瓢 谁知道试题的其他条件 需要求证的结 果已经做过变化 错解是必然结果 4 要做到思维严密 要有动态思考几何运动过程的能力 要考虑可能存在的多种条件 否则明明 有两解 你却只求出一解来 只能非常遗憾地被扣分 应试技巧应试技巧 1 仔细审题 拿到试卷后 不要急于求成 马上作答 而要通览一下全卷 摸透 题情 一是看题量多少 有无印刷问题 二是对通篇试卷的难易做粗略的了解 考试时精力要集中 审题一定要细心 要放慢速度 逐字逐句搞清题意 似曾相 识的题目更要注意异同 从多层面挖掘隐含条件及条件间内在联系 为快速解答 提供可靠的信息和依据 否则 一味求快 丢三落四 不是思维受阻 就是前功 尽弃 2 按考卷顺序进行作答 中考的考题是由易到难 考试开始 顺利解答几个简单题 目 可以使考生信心倍增 有利于顺利进入最佳思维状态 从近年来中考数学卷 面来看 考试时间很紧张 考生几乎没有时间检查 这就要求在答卷时认真准确 争取 一遍成 3 遇到难题 要敢于暂时 放弃 不要浪费太多时间 一般来说 选择或填空题 每个不超过 2 分钟 等把会做的题目解答完后 再回头集中精力解决它 可能后 面的题能够激发难题的做题灵感 4 卷面书写既要速度快 又要整洁 准确 这样可以提高答题速度和质量 今年 中考采用电脑阅卷 这要求考生填涂答题卡准确 字迹工整 大题步骤明晰 草 7 5 稿纸书写要有规划 便于回头检查 6 调整心态 考前怯场或考试中某一环节暂时失利时 不要惊慌 不要灰心丧气 要沉着冷静 进行自我调节 7 不做全面分析 盲目模仿 由于同学们在考前已做过很多练习 见过很多题目 难免拿到题目一看和以 前做过的某些题目相类似 就匆忙下笔 往往丢这落那 考虑不全而造成过失失 分 8 张冠李戴 混淆相似概念或公式 法则 例如代数中的相反数和倒数 一元一次方程的解法和一元一次不等式的解法 等 几何中的平行四边形 矩形和菱形等 如不加区别 容易造成解题的错误 9 计算题不写 解 就解 证明题不写 证明 就证明 解应用题时 该设未知数 的不设 而在解题过程中又出现了未知数 计算结果该写单位的不写 该写答语 的不写等 填空题应该直接填写最后的答案 而不写上计算或推理的过程等 作图题不按要求 作图不规范 不工整等 部分解答题应先回答再解释或证明 几何证明题跳步书写导致丢分 答题技巧答题技巧 选择填空题与大题有所不同 只求正确结论 不用遵循步骤 因此应试时可 走捷径 运用一些答题技巧 在这一类题中大致总结出两种答题技巧 1 1 选择题解题八技巧选择题解题八技巧 排除法排除法 根据题设和有关知识 排除明显不正确选项 那么剩下惟一的选项 自然就是正确的选项 如果不能立即得到正确的选项 至少可以缩小选择范围 提高解题的准确率 排除法是解选择题的间接方法 也是选择题的常用方法 数形结合法 数形结合法 解决与图形或图像有关的选择题 常常要运用数学结合的思想 方法 有时还要综合运用其他方法 特例检验法特例检验法 取满足条件的特例 特殊值 特殊点 特殊图形 特殊位置等 进行验证即可得正确选项 因为命题对一般情况成立 那么对特殊情况也成立 代入法 代入法 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验 然后作出判断 观察法 观察法 观察题干及选择支特点 区别各选择支差异及相互关系作出选择 枚举法 枚举法 列举所有可能的情况 然后作出正确的判断 例如 把一张面值 10 元的人民币换成零钱 现有足够面值为 2 元 1 元的人民币 换法有 A 5 种 B 6 种 C 8 种 D 10 种 分析 如果设面值 2 元的人民币 x 张 1 元的人民币 y 元 不难列出方程 此方程的非负整数解有 6 对 故选 B 8 待定系数法 待定系数法 要求某个函数关系式 可先假设待定系数 然后根据题意列出方程 组 通过解方程 组 求得待定系数 从而确定函数关系式 这种方法叫 待定系数法 不完全归纳法 不完全归纳法 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形 头绪纷乱 很难下手时 行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查 从中找出一般规 律 求得问题的解决 该法有一定的局限性 因而不能作为一种严格的论证方法 但它可以帮助我们发现和探求一般问题的规律 从而找到解决问题的途径 2 2 填空题解题三策略填空题解题三策略 直接解法 直接解法 直接由条件出发 根据公式 法则 公理 定理进行计算证明得 出正确答案 当然在解答的过程中 可以跳过一些不必要的步骤 尽量采用心算 的办法 快速求出问题的答案 这种解法适合于解答一些基础题 该办法要求学 生对于基本概念 公式 法则 性质 定理 公理等要熟记于心 并能深入地理 解运用 例如 为确保信息安全 信息需要加密传输 发送方由明文对应密文 加密 接收方由密文对应明文 解密 已知加密规则为明文 x y z 对应密文为 2x 3y 3x 4y 3z 例如 明文 1 2 3 对应密文 8 11 9 当接收方收到密文 12 17 27 时 则解密得到的明文为 解析 本题仔细分析一下可以知道这是一道三元一次方程组的问题 由题意 可设这三个明文数字为 x y z 得 2x 3y 12 x 3 3x 4y 17 解得 y 2 3z 27 z 9 特殊值法 特殊值法 即根据题目中的条件 选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图 形进行计算 推理的方法 用特殊值或作出特殊图形进行计算 推理的方法 用 特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件 且易于计算 此类问题通常具有一个共性 题干中给出一些一般性的条件 而要求得出某 些特定的结论或数值 在解决是可将问题提供的条件特殊化 使之成为具有一般 性的特殊图形或问题 而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案 利用 特殊值法解答问题 不仅可以选用特别的数值代入原题 使原题得以解决而且可 以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理 猜想验证法 猜想验证法 近年来的中考题中出现了大量的探索规律类型的问题 此类题 的主要解法是运用不完全归纳法 通过试验 猜想 试误验证 总结 归纳等过 初中数学易错题分类汇编初中数学易错题分类汇编 9 一 数与式 例题 4的平方根是 A 2 B 2 C 2 D 2 例题 等式成立的是 A 1c ababc B 6 3 2 x x x C 1 1 2 1 1 2 a a a a D 22 a xa bxb 二 方程与不等式 字母系数 例题 关于x的方程 2 2 2 1 10kxkxk 且3k 求证 方程总有实数根 例题 不等式组 2 x xa 的解集是xa 则a的取值范围是 A 2a D 2a 判别式 例题 已知一元二次方程 2 22310 xxm 有两个实数根 1 x 2 x 且满足不等式 12 12 1 4 x x xx 求实数的范围 解的定义 例题 已知实数a b满足条件 2 720aa 2 720bb 则 ab ba 增根 例题 m为何值时 2 21 1 1 xm xxxx 无实数解 应用背景 例题 某人乘船由A地顺流而下到B地 然后又逆流而上到C地 共乘船 3 小时 已知船在静水中的速度为 8 千米 时 水流速度为 2 千米 时 若A C两地间距离 为 2 千米 求A B两地间的距离 失根 例题 解方程 1 1x xx 三 函数 自变量 10 例题 函数 6 2 x y xx 中 自变量x的取值范围是 字母系数 例题 若二次函数 22 32ymxxmm 的图像过原点 则m 函数图像 例题 如果一次函数ykxb 的自变量的取值范围是26x 相应的函数值的范 围是119y 求此函数解析式 应用背景 例题 某旅社有100张床位 每床每晚收费10元时 客床可全部租出 若每床每晚 收费再提高2元 则再减少10张床位租出 以每次这种提高2元的方法变化下去 为了投资少而获利大 每床每晚应提高 元 四 直线型 指代不明 例题 直角三角形的两条边长分别为3和6 则斜边上的高等于 相似三角形对应性问题 例题 在ABC 中 9AB 12AC 18BC D为AC上一点 2 3DC AC 在AB 上取点E 得到ADE 若两个三角形相似 求DE的长 等腰三角形底边问题 例题 等腰三角形的一条边为4 周长为10 则它的面积为 三角形高的问题 例题 等腰三角形的一边长为10 面积为25 则该三角形的顶角等于多少度 矩形问题 例题 有一块三角形ABC铁片 已知最长边BC 12cm 高AD 8cm 要把它加工 成一个矩形铁片 使矩形的一边在BC上 其余两个顶点分别在三角形另外两条边 上 且矩形的长是宽的2倍 求加工成的铁片面积 比例问题 例题 若 bccaab k abc 则k 五 圆中易错问题 11 点与弦的位置关系 例题 已知AB是 O的直径 点C在 O上 过点C引直径AB的垂线 垂足为点D 点D分这条直径成2 3两部分 如果 O的半径等于5 那么BC 点与弧的位置关系 例题 PA PB是 O的切线 A B是切点 78APB 点C是上异于A B的 任意一点 那么ACB 平行弦与圆心的位置关系 例题 半径为5cm的圆内有两条平行弦 长度分别为6cm和8cm 则这两条弦的距 离等于 相交弦与圆心的位置关系 例题 两相交圆的公共弦长为6 两圆的半径分别为3 2 5 则这两圆的圆心距等 于 相切圆的位置关系 例题 若两同心圆的半径分别为2和8 第三个圆分别与两圆相切 则这个圆的半 径为 中考数学压轴题评析中考数学压轴题评析 一 根据已知条件确定函数表达式 1 用适当的函数关系式刻画某些实际问题中变量之间的关系 2 根据已知条件确定函数表达式 3 一次函数 反比例函数 二次函数的性质 题 1 一次函数的图象过 1 4 且 y 随 x 的增大而增大 写出这个关系式 解析 答案不唯一 比如 y 2x 2 或 y 4x 题 2 二次函数图象的顶点坐标是 0 1 写出满足函数条件的函数关系式 题 3 函数的图象过 1 4 和 2 2 试写出该函数的关系式 题 4 二次函数y cbxax 2 中 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下 x 2 10123 y 16 6020m 从中可以得出哪些信息 解析 对称轴 x 1 图象过原点 顶点坐标 1 2 a0 m 6 与 x 轴交点坐标 0 0 2 0 x1 时 y 随 x 的增大而减小 题 5 某个函数 当自变量 x 取值在 2 10 含 2 和 10 之间的数据 其对应的函 数值在 6 10 含 6 和 10 且较大的自变量对应的函数值也较大 试根据已知条 12 件确定其函数表达式 题 1 题 2 为半开放设计 涉及函数的性质 其关系式的表示既可以是顶点式 也可以是一般式 题 3 为开放性设计 三种函数均可表示 这样知识网络的建构 在做题的过程中悄无声息地完成 题 4 为开放性设计 以表格的形式呈现 可以 将一般式解出 又可直接从二次函数的对称性得出 m 思维层次的考察较为合理 题 5 改编于安徽省 2007 年的压轴题 对学生的阅读能力有较高的要求 题 中隐含了对函数模型的识别 一次函数 二次函数均可 如果从二次函数的性质 入手 选用顶点式还是一般式将是思维水平的考验 课堂实践证明 这样的教学 设计效果明显 不仅如此 最可贵的是自己有了这样一次独特的教学经历 对后 续教学设计研究的思维方式有了突破 二 用函数思想解决动态问题 数学思想方法是数学的灵魂 力图通过数学思想方法的考查 体现能力立 意 对数学能力和数学素养的考查 往往表现对数学思想方法上 新课改后的中 考数学压轴题已从传统的考察知识点多 难度大 复杂程度高的综合题型 逐步 转向数形结合 动态几何 动手操作 实验探究等方向发展 这些压轴题题型繁 多 题意创新 目的是考察学生的分析问题 解决问题的能力 内容包括空间观 念 应用意识 推理能力等 从数学思想的层面上讲 1 运动中的极端化思想 2 方程思想 3 函数思想 4 数形结合思想 5 分类思想 6 转化思 想等 客观世界中事物总是相互关联 相互制约的 几何与函数问题就是从量和形 的侧面去描述客观世界的运动变化 相互联系和相互制约性 函数与几何的综合 题 对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性 通过几何图形的两个变量之 间的关系建立函数关系式 进一步研究几何的性质 沟通函数与几何的有机联系 可以培养学生利用函数的思想解决一些几何问题的能力 同时为后续的高中甚至 大学学习解析几何奠定相应的基础 动态问题是近几年来各地中考试题中出现得较多的一种题型 这类集几何 代数知识于一体的综合题 既能考查学生的创造性思维品质 又能体现学生的实 际水平和应变能力 其解题策略是 动 中求 静 一般 中见 特殊 抓住 要害 各个击破 下面我就用函数思想解决动态问题举两个例子加以说明 例 1 2008 年武汉四月 在平面直角坐标系中 抛物线baxaxy 2 2 与 x 轴 交于 A B 两点 与 y 轴正半轴交于 C 点 且 A 4 0 OC 2OB 1 求次抛物线的解析式 2 如图 1 作矩形 ABDE 使 DE 过点 C 点 P 是 AB 边上的一动点 连接 PE 作 PH PE 交 BD 于点 H 设线段 PB 的长为 x 线段 BH 的长为y 2 1 当 P 点运动时 求 y 与 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围 在同一直角坐标系中 该函数的 图象与 1 的抛物线中0 y的部分有何关系 3 如图 2 在 1 的抛物线中 点 T 为其顶点 L 为抛物线上一动点 不与 T 重合 取点 N 1 0 作 MN LN 且LNMN 3 2 点 M N L 按逆时针顺序 13 O O O O M M M M N N N N T T T T L L L L C C C C B B B B A A A A y y y y x x x x O O O O H H H H P P P P E E E E D D D D C C C C B B B B A A A A y y y y x x x x 当点 L 在抛物线上运动时 直线 AM TL 是否存在某种确定的位置关系 若存在 写出并证明你的结论 若不存在 请说明理由 思 路点拨 1 4 2 1 2 xxy 2 AEP PBH y x x 2 1 64 2 9 3 2 1 2 xy 0 x 6 与原抛物线形状相同 将 1 中的抛物线向右平 移 4 个单位即得到 3 TL AM TNL ANM 且 2 3 AN TN LNT AMN 例 2 2008 年山东青岛 已知 如图 1 在RtACB 中 90C 4cmAC 3cmBC 点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动 速度为 1cm s 点Q由A出 发沿AC方向向点C匀速运动 速度为 2cm s 连 接PQ 若设运动的时间为 s t 0 2t 解答 下列问题 1 当t为何值时 PQBC 2 设AQP 的面积为y 2 cm 求y与t之间 的函数关系式 3 是否存在某一时刻t 使线段PQ恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分 若存在 求出 此时t的值 若不存在 说明理由 4 如图 2 连接PC 并把PQC 沿QC翻 折 得到四边形PQP C 那么是否存在某一时刻t 使四边形PQPC 为菱形 若存在 求出此时菱形 的边长 若不存在 说明理由 思路点拨 1 设 BP 为t 则AQ 2t 证 APQ ABC 2 过点P作PH AQ C P B 图 1 A Q C P B P 图 2 14 AC于H 3 构建方程模型 求t 4 过点P作PM AC于 PN BC于N 若四边形PQP C是菱形 那么构建方程模型后 能找到对应t的值 解 1 在 Rt ABC中 5 22 ACBCAB 由题意知 AP 5 t AQ 2t 若PQ BC 则 APQ ABC AC AQ AB AP 5 5 4 2tt 7 10 t 2 过点P作PH AC于H APH ABC BC PH AB AP 3 PH 5 5t tPH 5 3 3 ttttPHAQy3 5 3 5 3 3 2 2 1 2 1 2 3 若PQ把 ABC周长平分 则AP AQ BP BC CQ 24 32 5 tttt 解得 1 t 若PQ把 ABC面积平分 则 ABCAPQ SS 2 1 即 2 5 3 t 3t 3 t 1 代入上面方程不成立 不存在这一时刻t 使线段PQ把 Rt ACB的周长和面积同时平分 4 过点P作PM AC于 PN BC于N 若四边形PQP C是菱形 那么PQ PC PM AC于M QM CM PN BC于N 易知 PBN ABC AB BP AC PN 54 tPN 5 4t PN 5 4t CMQM 42 5 4 5 4 ttt 解得 9 10 t 当 9 10 t时 四边形PQP C是菱形 此时 3 7 5 3 3 tPM 9 8 5 4 tCM 在 Rt PMC中 9 505 81 64 9 49 22 CMPMPC 菱形PQP C边长为 9 505 例 3 2008 年山东德州 如图 1 在 ABC中 A 90 AB 4 AC 3 M是AB上的动点 不与A B重合 过M点作MN BC交AC于点N 以MN为直径 作 O 并在 O内作内接矩形AMPN 令AM x 图 B AQ P C H P B AQ P C 图 M N 15 1 用含x的代数式表示 NP的面积S 2 当x为何值时 O与直线BC相切 3 在动点M的运动过程中 记 NP与梯形BCNM重合的面积为y 试求y 关于x的函数表达式 并求x为何值时 y的值最大 最大值是多少 图 1 图 2 图 3 思路点拨 1 证 AMN ABC 2 设直线BC与 O相切于点D 连结AO OD 先求出 OD 用x的代数式表示 再过M点作MQ BC于Q 证 BMQ BCA 3 先找到图形娈化的分界点 x 2 然后 分两种情况讨论求y的最大值 当 0 x 2 时 当 2 x 4 时 解 1 MN BC AMN B ANM C AMN ABC AMAN ABAC 即 43 xAN AN 4 3 x S 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx 0 x 4 2 如图 2 设直线BC与 O相切于点D 连结AO OD 则AO OD 2 1 MN 在 Rt ABC中 BC 22 ABAC 5 由 1 知 AMN ABC AMMN ABBC 即 45 xMN 5 4 MNx 5 8 ODx 过M点作MQ BC于Q 则 5 8 MQODx 在 Rt BMQ与 Rt BCA中 B是公共角 BMQ BCA BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 A B C MN D O A B C M N P O A B C MN P O A B C MN D 图 2 O Q A B C M N P 图 1 O 16 当x 49 96 时 O与直线BC相切 3 随点M的运动 当P点落在直线BC上时 连结AP 则O点为AP的中点 MN BC AMN B AOM APC AMO ABP 1 2 AMAO ABAP AM MB 2 故以下分两种情况讨论 当 0 x 2 时 2 8 3 xSy PMN 当x 2 时 2 33 2 82 y 最大 当 2 x 4 时 设PM PN分别交BC于E F 四边形AMPN是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形MBFN是平行四边形 FN BM 4 x 424PFxxx 又 PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 当 2 x 4 时 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当 8 3 x 时 满足 2 x 4 2y 最大 综上所述 当 8 3 x 时 y值最大 最大值是 2 反思 纵观全国各省 市的中考数学试题 它的压轴题均是借鉴于上年各地的中 考试题演变而来 所以 研究上年各地的中考试题 就能找到今年中考数学试题 的热点的形成和命题的动向 它有利于我们教师在教学中研究对策 把握方向 只有这样 学生能力才能得以培养 解题方法 技巧才能得以掌握 学生才能顺 利地解答未来中考的压轴题 三 抛物线与面积 1 03 年中考 已知二次函数解析式为y 2 x 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴 交于 C 点 问 是否存在直线 y kx b 交抛物线于 P Q 两点 使 y 轴平分 CPQ 的面积 若 存在 求出 k b 满足的条件 若不存在 说明理由 A B C MN P 图 4 O EF A B C M N P 图 3 O 17 答 存在 k 2 b 3 使 y 轴平分 CPQ 的面积 解 过 P 作 PM y 轴于 M QN y 轴于 N y 轴平分 CPQ 的面积 PEC S QEC S PM QN p x Q x 联立 bkxy xxy 32 2 2 x 2 k x 3 b 0 p x Q x 2 k 0 k 2 又 p x Q x 3 b 0 b 3 反思 这类题其实根据所给出的几何特性 y 轴平分 CPQ 面积 将等分面积的问题 转化为线段相等的问题 即 P Q 到 y 轴的距离相等 再将线段相等转化为点的坐 标关系 即 p x Q x 建立方程 得出本题的解 完成了从形到数的转化 四 反比例函数的几何意义 反比例函数的几何意义 反比例函数 0 k x k y的图像上任意一点 A 作 x 轴 y 轴 的垂线 AB AC 垂足分别为B C 所得的长方形ABOC的面积 kxyACABS AA 基本图形 C B A o y x Q N M P C B A o y x Q M P B A o y x 五 二次函数与特殊四边形 二次函数与几何问题是最常见的代数与几何的综合问题 一般来说难度也是 最大的 这一类综合题融汇的知识点多 选拔功能强 故历年来全国各省 市常 常将这类综合题作为压轴题来考察 而几何问题往往离不开特殊四边形 无论是 考察周长 面积或是点的坐标 二次函数与特殊四边形结合的一类型代数与几何 的综合问题都是近几年来各地中考压轴题的热点问题 就拿武汉市近两年中考考 O N M E Q P B C A X Y 18 O O O O H H H H P P P P E E E E D D D D C C C C B B B B A A A A y y y y x x x x y x O D E C F A B 例 2 题来说 去年 2008 年 中考压轴题的第二问就出现二次函数与等腰梯形相结合的综 合问题 而前年 2007 年 中考压轴题的第二问则出现了二次函数与正方形相结 合的综合问题 又如去年 2008 年 四月调考中压轴题的第二问则出现了二次函 数与矩形的综合问题 以上三个题目正好代表了近几年中考中出现得较多的二次 函数与特殊四边形相结合的综合问题的三种题型 一 特殊四边形作为条件给出 然后利用特殊四边形的性质结合二次函数解析 式或图像来解决问题 例 1 武汉市 2008 年四月调考 在平面直角坐标系中 抛物线baxaxy 2 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴正半轴交于 C 点 且 A 4 0 OC 2OB 1 求次抛物线的解析式 2 如图 1 作矩形 ABDE 使 DE 过点 C 点 P 是 AB 边上的一动点 连接 PE 作 PH PE 交 BD 于点 H 设线段 PB 的长为 x 线段 BH 的长 为y 2 1 当 P 点运动时 求 y 与 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取 值范围 在同一直角坐标系中 该函数的图象与 1 的抛物线 中0 y的部分有何关系 说明 本题第二问以抛物线与 X 轴的两交点为顶点作出矩形 ABDE 根据抛物线解 析式可求出矩形的长和宽 利用矩形的性质可证明相似三角形 得到两对直角边 对应成比例 从而得到 X 与y之间的函数关系式 例 2 梅州市 2008 年中考 如图所示 在梯形ABCD中 已知AB CD AD DB AD DC CB AB 4 以AB所在直线为x轴 过D且垂直于AB的直线为y轴建立 平面直角坐标系 1 求 DAB的度数及A D C三点的 坐标 2 求过A D C三点的抛物线的解析 式及其对称轴L 3 若P是抛物线的对称轴L上的点 那 么使 PDB为等腰三角形的点P有几个 不必 求点P的坐标 只需说明理由 说明 本题直接把等腰梯形作为条件 根据等 腰梯形的性质求出A D C三点的坐标 进而求的过A D C三点的抛物线的 解析式 例 3 沈阳市 2008 年中考题 如图所示 在平面直角坐标系中 矩形ABOC的 边BO在x轴的负半轴上 边OC在y轴的正半轴上 且 1AB 3OB 矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转 60 后得到矩形EFOD 点A的对应点为点E 点B的对 应点为点F 点C的对应 19 A C O x y B D 图 1 x l Q C P A O B H R y 点为点D 抛物线 2 yaxbxc 过点AED 1 判断点E是否在y轴上 并说明理由 2 求抛物线的函数表达式 说明 将矩形和矩形的旋转变换作为条件 即在图中出现两个全等的且对应边夹 角为60 的矩形 利用矩形和旋转的性质即可判断点 E 在y轴上 并可求出 AED 三点坐标 从而求出抛物线解析式 二 特殊四边形未作为条件直接给出 而是根据二次函数解析式或图像可以证 明出 然后再利用特殊四边形的性质并结合二次函数解析式或图像来解决 问题 例 1 武汉市 2008 年中考 如图 1 抛物线 2 3yaxaxb 经过 A 1 0 C 3 2 两点 与y轴 交于点 D 与x轴交于另一点 B 求此抛物线的解析式 若直线1 0 ykxk 将四边形 ABCD 面积二等 分 求k的值 说明 本题中第二问要平分四边形 ABCD 的面积 由抛物线的轴对称性易证四边形 ABCD 为等腰梯形 然后就是平分等腰梯形面积的问题了 方法很多 最直接想到 的是作梯形的两条高 将等腰梯形分成矩形和两个直角三角形 然后找到矩形的 重心 求出其坐标 代入直线解析式即可 例2 镇江市2008中考 如图 在直角坐标系xOy中 点P为函数 2 4 1 xy 在第一象限内的图象上的任一 点 点A的坐标为 01 直线l过 01 B 且与x轴 平行 过P作y轴的平行线分别交x轴 l于CQ 连结AQ交x轴于H 直线PH交y轴于R 1 求证 H点为线段AQ的中点 2 求证 四边形APQR为平行四边形 平行四边形APQR为菱形 3 除P点外 直线PH与抛物线 2 1 4 yx 有无其它公共点 并说明理由 说明 本题第二问要求证明菱形 APQR 利用第一问结论易证平行四边形 APQR 20 O 第25题图 A B C D x y 然后设出 P 点坐标 利用二次函数解析式表示出 AP PQ 即可 而第三问即可利用 菱形的性质设出 P H 两点坐标 表示出直线 PH 的解析式 从而证明抛物线与直 线 PH 只有一个交点 P 三 特殊四边形的存在性问题 则假设存在后 关键是根据条件去求出或作出 或找出符合条件的形的对象 然后将特殊四边形作为条件结合二次函数解析式或 图像来解决问题 例 1 武汉市 2007 年中考 如图 在平面直角坐标 系中 Rt AOB Rt CDA 且 A 1 0 B 0 2 抛物线 y ax2 ax 2 经过点 C 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线 对称轴的右侧 上是否存在两点 P Q 使四边形 ABPQ 是正方形 若存在 求点 P Q的坐标 若不存在 请说明理由 说明 本题第二问 解决正方形的存在性问题 可先 以 AB 为一边按要求作出正方形 ABPQ 然后再将正 方形 ABPQ 作为条件 利用正方形的性质构造全等三角形求出P Q两点坐标 例 2 沈阳市 2008 年中考 如图所示 在平面直角坐标系中 矩形ABOC的边BO 在x轴的负半轴上 边OC在y轴的正半轴上 且1AB 3OB 矩形ABOC绕 点O按顺时针方向旋转60 后得到矩形EFOD 点A的对应 点为点E 点B的对应点为点F 点C的对应点为点D 抛 物线 2 yaxbxc 过点AED 1 判断点E是否在y轴上 并说明理由 2 求抛物线的函数表达式 3 在x轴的上方是否存在点P 点Q 使以点 OBPQ 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的 2 倍 且点P在抛物 线上 若存在 请求出点P 点Q的坐标 若不存在 请说明理由 说明 本题第三问是结合特殊四边形面积考查的一类存在性问题 解题关键在于 利用同底的矩形与平行四边形面积比等于高的比求出 P 点的纵坐标 例 3 武汉市 2008 年中考 如图 1 抛物线 2 3yaxaxb 经过 A 1 0 C 3 2 两点 与y轴交于点 D 与x轴交于另一点 B 求此抛物线的解析式 若直线1 0 ykxk 将四边形 ABCD 面积二等分 求k的值 y x O D E C F A B 21 如图 2 过点 E 1 1 作 EF x轴于点 F 将 AEF 绕平面内某点旋转 180 后得 MNQ 点 M N Q 分别与点 A E F 对应 使点 M N 在抛物线上 求点 M N 的坐标 说明 本题第三问看似与四边形无关 其实我们可以把它看做是平行四边形的存 在性问题 即利用中心对称的性质 可以将题意理解为在抛物线上是否存在点 M N 使四边形 AEMN 为平行四边形 然后利用解决此类存在性问题的方法来解决 六 直线的平移对称和旋转 1直线的平移 在平移过程中 对于直线 y kx b k 0 中 k 不变 则只需要找到一个点的平移就可以了 对于上上平移 左右平移 学生对此比较熟练 对于倾斜方向平移 就 不那么熟悉 例 巳知点 C 在直线 y 3x 3上在第一象限内一点 与坐标轴交于点 M 直线 y 2x 1 交 Y 轴于点 A 交 X 轴于点 B 将直线 AB 沿射线 MC 方向平移 210 个单 位 求平移后的直线解析式 教学生做题时 不需要画出 y 2x 1 的图象 只需 选取其中一点 比如点 A 过此点作 y 3x 3 的平行线 取 AA 410 利用角度 的正切值求出A 坐标 再代入到 y 2x b 中即为解决此题 直线的对称 分为六类 1 关于 X 轴对称 则 X 相同 Y 互为相反数 例如 y 2x 1 则为 y 2x 1 即 y 2x 1 2 关于 Y 轴对称 则 X 互为相反数 Y 相同 3 关于原点对称 则 X Y 都互为相反数 4 关于平面内的任意内的任意一点对称 其实质就是中心对称 这一点成为 对称中心 可以利用用中点坐标解决 5 关于平行于 Y 轴的直线对称 6 关于平行于 X 轴的直线对称 直线的旋转 O x y E B D AF 图 2 A C O x y B D 图 1 N M C A A O x y x 22 直线旋转 改变了 y kx b 中 k 0 k 和 b 因此需要找到两个点的变换 从而求解 例 直线 y x 3 饶点 0 2 逆时针旋转 900 求直线的解析式 分析 建立平面直角坐标系 选取与坐标轴的两个交点 A 0 3 B 3 0 进 行求解 注意三个问题 旋转点 旋转方向 坐标与长度的关系 七 二次函数的应用 一 分析数量关系型二次函数关系的应用 1 武汉市 2008 中考试题 某商品的进价为每件 30 元 现在的售价为每件 40 元 每星期可卖出 150 件 市场调查反映 如果每件的售价每涨 1 元 售价每件不能高 于 45 元 那么每星期少卖 10 件 设每件涨价 x 元 x 为非负整数 每星期的销 量为 y 件 1 求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 2 如何定价才能 使每星期的利润最大且每星期销量较大 每星期的最大利润是多少 分析数量关系型的应用题中 一般题设会结合实际情况给出一定的数与量的关 系 要求在分析的基础上直接写出函数关系式 并进行应用 解答的关键是分 析题意 正确写出数量关系 试题注重对学生的理解能力 应用能力 分析能 力和综合能力的考查 1 在教学中 我发现这类题目主要是学生理不清众多数量之间的关系这是这类 题目的第一个失分点 我觉得在教学中应教会学生建立数学模型 时刻体现数形 结合的思想 让各个数量之间的关系明朗化 售价销售量 40 元150 件 1 元 10 件 x 元 10 x 40 x 元 150 10 x 件 2 自变量的取值范围是第 2 个失分点 学生易得 0 x 5 往往忽视了 x 的在 实际生活的意义 如 x 是产品的件数时 应强调 x 为整数 此题则题目已注明 x 为正整数 也应加在自变量的取值范围里 3 求利润最大是学生的第三个失分点 在教学中应让二次函数的配方成为公式 化 不断强化此程序 可收到良好的效果 具体如下 提取二次项的系数 只 O A A C x y E B B O C y x 23 4 对含自变量的项提取 配方 即加上一次项系数一半的平方 并注意加 减归零 配成顶点式后 最值易得 但要注意自变量取值范