第6讲短期聚合风险模型.ppt

第6章短期聚合风险模型 6 1引言短期聚合风险模型 理赔总量S表示为 1 N表示保险期内所有承保保单发生索赔的次数随机变量 2 表示第i次发生理赔时的理赔额随机变量 基本假设 1 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相互独立 即 N与X1 X2 Xn相互独立 这对于汽车保险行业来说就多少有些不妥了 例如恶劣的天气条件会导致大量的小理赔 不过 在实际中这些现象的影响是很小的 2 聚合风险模型中 个体风险可以出现多次 各个风险是独立同分布的 即 X1 X2 Xn 独立同分布 N通常选为泊松或负二项分布 通常选为正态 伽玛等分布 当N服从泊松分布时 S的分布称为复合泊松分布 当N服从负二项分布时 S的分布称为复合负二项分布 这两大类分布构成总理赔量S分布的主要形式 模型研究的第一步是N和的分布选择 模型研究两个步骤 同时 S的分布函数也可用的N分布和的共同分布通过卷积得到 模型研究的第二步是用N的分布和所服从的共同分布来表示S的分布 S的期望 方差和矩母函数可用上述基本分布的相应数量来表示 6 2理赔次数和理赔额的分布 1 理赔次数N的分布 1 二项分布 2 泊松分布 3 负二项分布 4 泊松分布的一种推广的分布 即假设泊松分布中的参数 为随机的 现实的情况是不同的保单类型或同一保单类型在不同的情况下发生理赔的次数是不确定的 为一个随机变量 记作 且有密度函数f x 由全概率公式有 负二项分布与泊松分布的关系有如下定理 在实际中 一般我们会找到理赔次数的一些相关数据 从而N的分布一般根据已有的数据进行估计 例1 英国某种汽车在1968年索赔情况记录了421240张保单 记录结果如下 易得平均理赔次数 0 13174 方差 0 13825 2 理赔额的分布 各种离散型分布 连续型分布 混合型分布来描述理赔额的分布 要根据具体的风险和相应的险种应用统计学的技术来估计损失分布 1 用卷积公式可求S的分布函数 6 3理赔总量模型 记为独立同分布的共同分布函数假设S的分布函数和密度函数分别为F x 和f x 则 例2假设某个保单组合在单位时间内至多发生3次理赔 理赔次数和理赔额分布分别为 求理赔总量S的概率分布 记为k阶原点矩 记为的矩母函数 为理陪次数的矩母函数 为的矩母函数 2 S的均值 方差或高阶矩 上两式表明 总理赔量的期望值为个别理赔期望值与理赔次数期望值之积 总理赔量的方差由两部分构成 个别理赔量的变化和理赔次数的变化 由矩母函数可以求出S的分布函数 S的矩母函数 若N服从负二项分布 S为复合负二项分布 并且 例3假设某个保单理赔次数N服从负二项分布 参数p 1 3 Var N 24 并且理赔额分布为 求理赔总量S的方差和均值之和 例4设N服从参数为p的几何分布 0 p 1 理赔额X服从参数为1的指数分布 那么S的矩母函数和分布函数是什么 记 我们首先来计算S的矩母函数 然后尝试通过得到的矩母函数来确定该复合分布 当 即 时 有 由知 由分布函数与矩母函数之间的一一对应关系得到S的分布函数也具有同样的形式 这是一个混合分布 这是一个在0点有跳度p而在其它处为指数型的分布函数 直接代入计算 例5设复合分布 其中Xi相互独立且N与Xi独立 问下面选项哪一项是正确的 如果个别索赔额f x e x x 0 那么Var S E N2 假设Var N E N 那么Var S P2 E N E S2 E N E X2 解 错误 当Var N E N 时 正确 对于选项 错误 例6对复合负二项分布 参数r 1 P 1 3 个别索赔服从参数为 的指数分布 已知MS 1 0 3 求 A 4 9B 5 0C 3 5D 4 0E 4 5 解 选D 6 4复合泊松分布 1 理赔次数N服从参数为泊松分布 随机变量S为参数为复合泊松分布重新定义如下 一 定义 3 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相互独立 即 N与X1 X2 Xn相互独立 2 复合泊松分布的性质 基本性质 例1一组一年期的定期寿险组合 每份保单的保险金额都相同为B个单元 索赔次数N服从泊松分布 参数为 以下陈述中哪一项是不正确 A E S E N B BB Var S Var N B2 B2C S的可能取值为0 B 2BD E X B Var X B2E P S Bx P N x 解由聚合风险模型有 E S E N E X B A正确 B正确 由于每次理赔额均为常数B 所以在保险期内索赔总额仅取B的倍数 所以C正确 依题意有 P X B 1 E X B Var X 0 D错误 S BN P S BX P BN BX P N X E正确 选D 1 如果是相互独立的随机变量 且服从参数为的复合泊松分布 理赔额的分布为 则服从参数为的复合泊松分布 且个别理赔额分布为 特殊性质 该性质称为复合泊松分布模型对求和的封闭性 2 对于一个复合泊松分布随机变量 可以分解为 个别理赔额的分布列为 则相互独立且服从参数为的泊松分布 其中 为S的泊松参数 此性质称为模型的可分解性 例 已知聚合理赔S服从复合Poisson模型 参数为0 8 理赔额的分布密度为 试求S的概率密度函数在x 1 2 6的取值 利用卷积公式或定理2解答 定理3 对于复合泊松模型 若仅取正整数值 则理赔总额的密度函数有如下的迭代公式 注 当理赔次数N服从其他分布时也有类似的推论 该性质称为复合泊松分布模型的递推性 定理4 在聚合风险模型中 若理赔额只取正整数 理赔次数N的分布满足计数分布 则S的概率密度函数为 三 a b 类计数分布 定义若理赔次数N的分布满足 称理赔次数N的分布为 a b 类计数分布 已知索赔总额的数学期望为1 68 求期望的索赔次数 A 0 60B 0 70C 0 80D 0 90E 1 00 例1具有正整数个别索赔额的复合泊松分布的总索赔额随机变量的概率密度函数如下 解由代定系数法可知 解得 0 80 选C 例2S是具有下列特征的复合泊松分布 个别索赔额为1 2或3 E S 56 Var S 126 29 决定索赔额为2时的期望索赔次数是多少 A 10B 11C 12D 13E 15 解得 P 2 0 3793 所求的 P 2 29 0 3793 11 选B 29P 1 P 2 P 3 1 解 例3对于泊松参数 为6的复合泊松分布 个别索赔额的分布为 另外 还有索赔总额的一些如下概率值 求P 6 A 0 031B 0 066C 0 039D 0 0365E 0 0345 解 四 具有免赔额的复合泊松分布 在复合泊松分布中 若保险标的损失随机变量为X 保险合同有一个免赔额d 即 是其真正的理赔额随机变量 理赔次数服从参数为的泊松分布 其中 个别理赔额的分布密度函数为 6 5聚合理赔量的近似模型 1 正态近似定理如果S是复合泊松分布 泊松参数为 个别理赔额的数学期望 与方差 2有界 则其中 定理如果S服从复合负二项分布 参数为r p 个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的 与 2 则 其中 q 1 p 2 平移伽马近似 定义若为平移伽马分布的分布函数 用图形表示 它们的密度函数具有如下的关系 yh x g x 0 x其中 g x 为 分布的概率密度函数 h x 为相应的平移x0个单位的平移伽马分布的概率密度函数 由定义知平移伽马分布有三个参数x0 如果能定出这三个参数 这个分布也就已知 求解下面的方程组可解决这一问题 解得 特别 对于复合泊松分布 有 例1保险人提供具有如下情形的三种保险 对于每一个保险标的 方差和期望的索赔金额是相等的 对于每一类型的保单 保费是按 1 倍的期望值收取 求 使总索赔额超过总保费的概率为0 05 A 0 09B 0 1C 0 11D 0 12E 0 13 解期望的总索额是 总索赔额的方差是 Var S E2 Xi Var N E N Var Xi 500 x 25x0 05x0 95 0 1x5 1000 x 100 x0 1x0 9 0 1x10 500 25x0 15x0 85 0 15x5 12687 5 由题意有 13 3 1 645 0 124 选D 例2没有再保险时的总索赔分布为复合泊松分布 如果用平移伽马分布来近似 则平移伽马分布的参数为 20 5 x0 40 如果有50 的比例再保险 也用平移伽马分布来近似 求有再保险时的平移伽马分布的有关参数 A B C D E 解依题意在没有再保险时有 在有50 的比例再保险时 泊松参数 不会发生改变 个别索赔额会变为原来的1 2 再保后有 所以有方程组 解得 为有再保险时的平移伽马分布参数 所以此题答案为A 例3保险公司承保的风险服从泊松参数为100的复合泊松分布 个别索赔额服从均值为500的指数分布 该保险人进行了比例再保险 自留额为80 求在这种情况下保险人和再保险人的年个别索赔额的分布 并求出原保险人索赔总额随机变量的期望与方差 解由于比例再保险 原保险人和再保险人的泊松参数不会发生改变 改变的只是个别索赔额的分布原保险人的个别索赔额随机变量Y 0 8X X为没有再保险情况下的个别索赔额随机变量 再保险人的索赔随机变量R 0 2X 所以Y服从均值为400的指数分布 同样 R服从参数为1 100的指数分布 原保险人的索赔总额随机变量的数学期望与方差 再保险人索赔总额随机变量的数学期望与方差 对于此例读者可以更一步思考 在对个别索赔额进行停止损失再保险时 再求再保险人和原保险人的索赔总额随机变量的数学期望与方差 知识要点 1 短期聚合风险模型对于 其中N表示保险期内所有承保保单发生索赔的次数随机变量 Xi表示第I次发生理赔时的理赔额随机变量 S为保险期内的理赔总额随机变量 Xi对不同的i是独立同分布的 N与各Xi是独立的 称此模型为短期聚合风险模型 2 理赔次数和理赔额的分布 1 泊松分布的定义 分布列 期望与方差 矩母函数 2 负二项分布的定义 分布列 期望与方差 矩母函数 负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广 假设泊松参数也是一个随机变量 且有密度函数f x 由全概率公式有 而 特别地 当 的密度为 x 0时 N服从参数r a p 1 的负二项分布 3 S的分布问题假设S的分布函数和密度函数分别为F x 和f x 则 除用卷积方法之外 还可以用矩母函数法及逆转公式来求S的分布 由矩母函数的定义有 其中X是与各Xi同分布的随机变量 也就是说 若知道Xi和N的矩母函数 就可计算出S的矩母函数 而4 复合泊松分布在聚合风险中 当N服从泊松分布时 S的分布就称为复合泊松分布 这样 E S E X E N E X 其中 为泊松参数 关于复合泊松分布有如下的几个定理和规律 1 如果S1 S2 Sm是相互独立的随机变量 且Si服从参数为 i的复合泊松分布 理赔额的分布为Pi x i 1 2 m 则服从参数为的复合泊松分布 且个别理赔额分布为 2 对于一个复合泊松分布随机 可以分解为 个别理赔额的分布列为 则N1 N2 Nm相互独立且Ni服从参数为 i pi的泊松分布 其中 为S的泊松参数 对于此定理 若xi仅取正整数值 则理赔总额S的密度函数为 对于此定理 还有更普遍的推广 也就是说在聚合风险模型中 若理赔额只取正整数 理赔次数N的分布满足 n 1 2 3 在复合泊松分布中 若保险标的损失随机变量为X 保险合同有一个免赔额d 即 X d X d是其真正的理赔额随机变量 泊松参数为 则带免赔的理赔总额S仍是复合泊松分布 泊松参数变为 P x d 个别理赔额的分布密度函数为 5 聚合理赔量的近似模型 1 正态近似定理如果S是复合泊松分布 泊松参数为 个别理赔额的数学期望 与方差 2有界 则 定理如果S服从复合负二项分布 参数为r p 个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的 与 2 则 2 平移伽马近似定义其中 g x 为 分布的概率密度函数 h x 为相应的平移x0个单位的平移伽马分布的概率密度函