柯西不等式求最值.doc

柯西不等式求最值 1. 设a、b、c为正数，求的最小值【答案】1212.设x，y，z R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为解(x + 2y + 3z)2 (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 514 = 70x + 2y + 3z最大值为3.设x，y，z R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为时，(x，y，z) = 解(x - 2y + 2z)2 (x2 + y2 + z2)12 + ( - 2) 2 + 22 = 49 = 36x - 2y + 2z最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时 ，4.设，试求的最大值M与最小值m。答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为15，最小值为15。5.设，试求之最小值即 将代入其中，得 而有 故之最小值为4。变形：.设x，y，z R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)2 (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2(22 + 22 + 12)(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 = 96.设x, y, zR，若，则之最小值为_，又此时_最小值7.设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_，此时_。解： ，最小值为18 等号发生于 故 又 8.设x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？答案：若又9.设x，y，z R且，求x + y + z之最大值，最小值。Ans 最大值7；最小值 - 3【解】由柯西不等式知42 + ()2 + 22 25 1 (x + y + z - 2)25 |x + y + z - 2|- 5 x + y + z - 2 5- 3 x + y + z 7故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 311.（2008南开）设为正数，且求的最小值.【答案】由柯西不等式12.如果，求的最大值. 【答案】解：当且仅当时，取得最大值.注：也可用二元均值不等式13.（1）已知实数满足：，试求的最大值与最小值【答案】14.已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式恒成立,求的范围.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得故的取值范围是,+).温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式恒成立,等价于()max,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值.15.设、为正数且各不相等。求证：【答案】因为、为正数且各不相等，所以等号不成立，所以有17. ，求证：【答案】因为，18 、为非负数，+=1，求证：【答案】19. （1）已知、是正常数，求证：，并指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数的最小值，并指出取得最小值时的值（1）证明，当且仅当，即时上式取等号.（2）解由（1）.当且仅当，即时，上式取等号.即.20.（1）（2002交大）若满足，求的值.证明：由柯西不等式，得当且仅当时，上式取等号， 于是 .另证1：因为当且仅当且，即且于是 （2）解方程组解：原方程组可化为运用柯西不等式得, 两式相乘，得当且仅当时取等号.故原方程组的解为.21. 记，求证：【答案】分析：要证明，先得化简：于是，只需证明因此，只需分别证明以下两个不等式即可：（1)；（2). 对于第一个不等式，与元Cauchy不等式作比较，只能把看成是Cauchy不等式右端的项，于是令，就可以运用Cauchy不等式了. 对于第二个不等式，与元Cauchy不等式作比较，只能把看成是Cauchy不等式左端的项，于是令，再次运用Cauchy不等式就可以了.证