第09单元(随机变量的数字特征1).ppt

第九单元 第三章随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述r v 的统计特性 但实际应用中并不都需要知道分布函数 而只需知道r v 的某些特征 例如 考察一射手的水平 既要看他的平均环数是否高 还要看他弹着点的范围是否小 即数据的波动是否小 与r v 有关的某些数值 虽不能完整地描述r v 但能清晰地描述r v 在某些方面的重要特征 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写 3 1数学期望 引例考察两个班的概率论与数理统计成绩 问 应如何判别甲 乙两个班的成绩的好坏 那个班的学习风气较好 分析 可以用平均成绩判别甲 乙两个班的成绩的好坏 用成绩的稳定性判别学习风气的好坏 这样做合理吗 平均成绩 甲班 乙班 定义1设离散型r v X的分布列为 若 为X的数学期望 或均值 反之 称X的数学期望不存在 则称 定义2设连续随机变量X的概率密度为 若广义积分 则称 数学期望的本质 加权平均它是一个数不再是随机变量 为X的数学期望 反之 称X的数学期望不存在 例1X B n p 二项分布 求E X 解 特例若Y B 1 p 则E Y p 解 例2已知 泊松分布 求E X 解 例3已知 均匀分布 求E X 解 例4已知 指数分布 求E X 补充 函数 常用分布的数学期望 区间 a b 上的均匀分布 e N 2 注意不是所有的随机变量都有数学期望 例如 柯西 Cauchy 分布的密度函数为 它的数学期望不存在 定理1设r v X的概率函数为p x 则r v Y g X 的数学期望为 假设以上期望存在 定理2设二维r v X Y 的联合概率函数为p x y 则r v Z g X Y 的数学期望为 假设以上期望存在 解 例5已知r v X的密度函数为 且E 2X 1 5 求常数k及a 由 1 2 解得a 2 k 3 市场上对某种产品每年需求量为X吨 X U 2000 4000 每出售一吨可赚3万元 售不出去 则每吨需仓库保管费1万元 问应该生产这中商品多少吨 才能使平均利润最大 解 设每年生产y吨的利润为Y 显然 2000 y 4000 例6 显然 故y 3500时 E Y 最大 E Y 8250万元 1 E C C 2 E aX aE X 3 E X Y E X E Y 4 当X Y独立时 E XY E X E Y 性质4的逆命题不成立 即 若E XY E X E Y X Y不一定独立 注 但 反例2 但 例7设二维随机变量 X Y 的概率密度为 求E X E Y E X Y E XY E Y X 解 由数学期望性质 数学期望的应用 据统计65岁的人在10年内正常死亡 解 应用1 的概率为0 98 因事故死亡概率为0 02 保险 公司开办老人事故死亡保险 参加者需交纳 保险费100元 若10年内因事故死亡公司赔偿 a元 应如何定a 才能使公司可期望获益 若有1000人投保 公司期望总获益多少 设Xi表示公司从第i个投保者身上所得 的收益 i 1 1000 则 Xi 由题设 公司每笔赔偿小于5000元 能使公司获益 公司期望总收益为 若公司每笔赔偿3000元 能使公司期望总获益40000元 为普查某种疾病 n个人需验血 验血方案有如下两种 分别化验每个人的血 共需化验n次 分组化验 k个人的血混在一起化验 若结果为阴性 则只需化验一次 若为阳性 则对k个人的血逐个化验 找出有病者 此时k个人的血需化验k 1次 设每人血液化验呈阳性的概率为p 且每人化验结果是相互独立的 试说明选择哪一方案较经济 验血方案的选择 应用2 解只须计算方案 2 所需化验次数的期望 为简单计 不妨设n是k的倍数 共分成n k组 设第i组需化验的次数为Xi 则 例如 当时 选择方案 2 较经济 设由自动线加工的某种零件的内径X mm N 1 已知销售每个零件的利润T 元 与销售零件的内径X有如下的关系 问平均直径 为何值时 销售一个零件的平均利润最大 应用3 解 即 可以验证 零件的平均利润最大 柯西 Augustin LouisCauchy 1789 1857 法国数学家 柯西简介 法国数学家27岁当选法国科学院院士 早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题 凸多面体的角是否被它的面所决定 柯西作了肯定的回答 这一直是几何学中一个精彩的结果 在概率论中他给出了有名的柯西分布 然而他一生中最重要的数学贡献在另外三个领域 微积分学 复变函数和微分方程 柯西在代数学 几何学 误差理论以及天体力学 光学 弹性力学诸方面都有出色的工作 特别是他弄清了弹性理论的基本数学结构 为弹性力学奠定了严格的理论基础 在这三个领域中我们常常能见到以柯西名字命名的定理 公式和方程等 微积分在几何上的应用 1826年 柯西的著作大多是急就章 但都朴实无华 有思想 有创见 他所发现和创立的定理和公式 往往是一些最简单 最基本的事实 因而 他的数学成就影响广泛 意义深远 柯西是一位多产的数学家 一生共发表论文800余篇 著书7本 柯西全集 共有27卷 其中最重要的为 分析教程 1821年 无穷小分析教程概论 1823年 若X服从柯西 Cauchy 分布 其p d f 为 简记X C 分布 引例甲 乙两射手各打了6发子弹 每发子弹击中的环数分别为 甲10 7 9 8 10 6 乙8 7 10 9 8 8 问哪一个射手的技术较好 解首先比较平均环数 3 2方差 再比较稳定程度 甲 乙 乙比甲技术稳定 故乙技术较好 进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 乙 E X E X 2 若E X E X 2存在 则称其为随机 定义1 即D X E X E X 2 变量X的方差 记为D X 或Var X D X 描述随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数 若X为离散型随机变量 分布列为 若X为连续型随机变量 概率密度为f x 计算方差的常用公式 1 D C 0 2 D aX a2D X D aX b a2D X 3 特别地 若X Y相互独立 则 则 若X Y相互独立 4 对任意常数C D X E X C 2 当且仅当C E X 时等号成立 5 D X 0 P X E X 1 称为X依概率1等于常数E X 性质1的证明 性质2的证明 性质3的证明 当X Y相互独立时 注意到 性质4的证明 当C E X 时 显然等号成立 当C E X 时 例1设X P 求D X 解 3 方差的计算 例2设X B n p 求D X 解一仿照上例求D X 故 例2设X B n p 求D X 解二引入随机变量 独立同服从B 1 p 分布 则 易得 例3设X U a b 求D X 解 于是 例4设X e l 求D X 解 于是 常见随机变量的方差 P 135 区间 a b 上的均匀分布 e N 2 例5已知r v X的分布列为 解 由 且E X 0 2 D X 0 36 求常数a b c 解得a 0 1 b 0 6 c 0 3 例6设r v X满足E X D X l 已知E X 1 X 2 1 求常数l 解 又 可得 于是 解得 标准化随机变量 设随机变量X的期望E X 方差D X 都存在 且D X 0 则称