阅读与思考对数的发明.doc

对数那些事引言 对数是初高等数学的重要内容之一，而对数的发明在数学发展史上也是一件开天辟地的大事。瑞士数学史家卡约里在著作数学符号史中曾激情澎湃的说：“现代计算方法之所以有奇迹般的力量，是由于三个发明，即阿拉伯计数法、小数和对数。”由此可见，对数确实对人类文明做出了巨大贡献。本文通过对相关文献的分析，浅谈一下对数的发展史，探索对数对人类文明做出的贡献。第一章：对数的产生说到对数的产生，有三个人功不可没，他们就是阿基米德、斯蒂费尔和纳皮尔。历史上最先触摸到对数门槛的人当属大名鼎鼎的古希腊的著名数学家阿基米德，据说当时他曾研究过表1所示的这样两个数列110100100010000100000012345表 1并发现了两个数列之间一一对应的关系。但可惜的是，他并未深究这种对应关系，因而与对数失之交臂。而近1800年后，受阿基米德思想启发的斯蒂费尔进一步研究了这种对应关系，他在自己的著作整数的算术中阐述了这种神奇的对应关系。斯蒂费尔将第二行的每个数称为第一行相应数的“代言人”，并发现第一行任意两数相乘的结果的“代言人”恰等于这两数的“代言人”之和，如果用数学语言来描述，那就是我们已经很熟悉的公式logab +logac=logabc，但是在当时这种将复杂的乘法变为简单的加法的运算却着实引发了一场轰动。可是斯蒂费尔的研究是有缺陷的，因为当时并未有分数指数的概念，所以斯蒂费尔发现的结论试用范围并不广，比如说11129这种乘法，11和129并没有自己的代言人，也就无从用斯蒂费尔的公式运算。这个问题困扰了他很久，但他同阿基米德一样并未深究，因而又一次可惜的与对数擦肩而过，也就将对数发明第一人的称号拱手让于了下一位独具慧眼的数学天才纳皮尔。大约在半个世纪后，在阿基米德、斯蒂费尔的铺垫性工作下，纳皮尔终于临门一脚，揭开了对数的神秘面纱。在1614年的6月，纳皮尔出版了自己的大作奇妙的对数定律，其中包括了纳皮尔自己编制的间隔为1，的7位正弦对数表，及纳皮尔发现的对数性质等内容，这本书的出版也就标志着对数的发明，从此，人们的计算进入了一个新的阶段。需要指出的是，纳皮尔尽管用自己的方式（纳皮尔依赖几何关系给出了对数的定义，这是不严谨的）形象的给出了对数的含义，却并没有严格给出对数的定义，也没有意识到对数与指数运算间的互逆关系，这部分的内容是后人逐渐的补充完善的。由此可见，事物的发展永无尽头， 不管身处何方，我们都没有理由停滞不前。第二部分：对数的发展上文已经提过，纳皮尔发明的对数并不是尽善尽美，还有许多地方需要改进。事实上，关于对数的讨论和研究一直都没有停止过。在纳皮尔之后，第一个为纳皮尔的对数大厦添砖加瓦的是纳皮尔的友人亨利布里格斯，他将纳皮尔对数（底是1/e）改进为了以10为底，从而大大简化了运算，另一方面，他把纳皮尔发明的只限于三角函数的对数扩展为更具一般性的对数，并且还身体力行的算出了近三万个数的14位常用对数表（历时7年），这些都极大的提高了对数的实用性。到了18世纪，伯努利在纪要中采用对数的法则来积分，由此将对数的概念推广到了复数并同时给出了复数的对数的定义：若复数z不为0，对正数e有无限多个复数w（模相等，辐角相差2的整数倍），若ew=z，那么w叫做以e为底的复数z的对数。但是直到四十年后，英国数学家琼斯才严格给出了我们今天出现在高中数学课本上的实数对数的定义：若a的b次幂（a不等于1）等于n，则b称作以a为底的n的对数，可以记作b=logan（其中a0且a不等于1）。而大名鼎鼎的数学家欧拉也曾对对数做出过贡献，正是他指出了对数源于指数这一重要结论，揭示了对数和指数互为逆运算的实质。第三部分：对数的应用毋庸置疑对数是一项伟大的发明，得到过许许多多科学家的赞美。如伊夫斯在数学史上的里程碑中，就曾把“纳皮尔发明对数”列入43个“数学里程碑”中的第19个，并且称赞道“特别是在天文学界，简直为对数这项发明而沸腾起来了”；拉普拉斯也曾热情洋溢的赞扬道：“可以把几个月所做的计算减少到几天完成，由于缩短了计算工作的时间，我们可以说这种方法使天文学家的寿命被延长了一倍，而且使他们少犯错误，以及因为长时间计算而造成的不可避免的烦闷。”连被称作“欧洲最博学的人”的德国哲学家恩格斯也对它赞赏有加，将之与解析几何、微积分并列为“最重要的数学方法”。那么对数为什么如此受科学家们重视呢？这是因为对数运算的优越性，它可以把乘方、开方这种三级运算转化为乘、除这种二级运算，又可以把乘、除的运算转化为加、减这种一级运算。从而大大减少了运算量，特别是在天文学领域，需要计算极大的数据，让天文学家苦不堪言。而对数发明后，之前10的数十次方数量级的数据转换为常用对数后只有几十，这惊人的简化让天文学家得以从繁重的计算中解脱，不得不说是一个创举。第四章：生活中的对数其实对数并不仅仅在科学的象牙塔中大显神通，在我们现实生活中对数也扮演着重要的角色。1、 音乐的音阶：等距音阶其音程的确定不是按照声音的频率等距安排的，而是按照其频率的对数来安排的，只不过其对数的底为2，比如说第一八音度假定为n赫兹，那么第二八音度的频率就是2n赫兹，两个八音度之间有12个半音阶，那么re就是do音频率的2的次方倍，用对数表示为log2re=log2do+，这即是一个等差数列，也就是等距音阶的含义。2、 地震的震级：现在通用的里氏震级，其计算方法也与对数有关。规定在距离震中100千米处地震仪记录到的地震波的振幅no为1微米时的里氏震级为0，即基准震级L0,，那么里氏震级L满足L=lg(n/no),是与常用对数有关的。3、 噪音分贝：我们说的噪声分贝指的是声音的响度概念，有趣的是，我们的耳朵对声音的感知不是与声音的强度（声强）成正比，而是与其常用对数大致呈正比，因此单独定义了声强常用对数的概念响度，其单位就是贝和分贝。由此可见，对数在噪音领域又一次大显身手。4、 同一律：心理学家曾提出一个著名的“韦伯-费希纳心理物理定律”也即“同一律”，它是说人的一切感觉都遵从与对应物理量的强度的常用对数成正比的规律。即S=klgR（S为刺激强度产生的感觉强度，k为比例系数，R为刺激强度）综述：对数在我们的生活中扮演了非常重要的角色，