2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题.doc

2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷 时间120分钟，满分120分学校 班别 姓名 座号 （2014年5月18日 上午：8：0010：00）一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分.(请把答填于第2页答题区）1. 已知为锐角，且有， 则的值是_.2. 函数的最大值是_.3. 函数的图象与函数的图象围成的面积大小为_(平方单位). 4. 从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为_.5. 三棱锥中，顶点在平面的射影为，满足， 点在侧面上的射影是的垂心，则此三棱锥体积的最大值为_. 6. 用红黄蓝三种颜色给如右图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有_种(用数字作答).7. 如右图，和分别是双曲的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为_.8. 已知对每一个实数和函数满足.若，则满足的正整数对共有_个.总分 一、填空题答题区（每小题8分，满分64分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. （本小题满分16分） 已知方程的两个不等实根、满足 .求的值.10. （本小题满分20分）如图，已知分别是的边的中点，的内切圆分别与边切于点.求证：的交点在的角平分线上.11. （本小题满分20分）在数列中，（1）求数列的通项；（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设数列，的前项和为，求证：2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. .解：由，得.又为锐角，故.2. .解：函数的定义域为，且.根据柯西不等式有：，上式当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值. 3. .解：由于函数与函数都是偶函数，故有.4. 672. 解：首先，我们可以取672元集，,中任两数之和不能被整除，而其差是的倍数；其次，将中的数自小到大按每三数一段，共分为672段：2012,20132014.现从中任673个数，必有两数取自同一段，则或，注意与同奇偶，于是因此的最大值为672.5. 36 .解：由题可证明ABC为正三角形，设其边长为，则.利用导数当时体积取最大值36.6. 30.解：从左到右将六个圆编号为1,2,3,4,5,6，满足条件的只有、等组合，因此按要求用三种颜色给如图所示的六连圆涂色，应有.7. .解：连AF1，则AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知：.，得.e1，取.8. 8 .解：令y=1,得=，而，设，又为奇数，所以为一奇一偶. 当为偶数时，取得奇数的个数为个（的约数），即有4个解；同理，为奇数时，也有4个解，故共有8个.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. （本小题满分16分）解：由韦达定理得 ，. 于是，有 =6分 = = = =. 11分由已知，得.而，所以 .因此，. 16分10. （本小题满分20分）证明：假设，否则结论显然成立（此时E、K重合）.设与的角平分线交于点，于是，又因为在以为直径的圆上，故.5分设与的角平分线交于点，则的内心在点之间.又因为，则有，且.10分如果在线段的内部，有，所以四点共圆.如果在的同侧，有，也有四点共圆. 15分因为，所以，.由于，则重合，即和的角平分线交于一点. 20分11. （本小题满分20分）解：（1）将整理得：，所以，即，当时，上式也成立，所以