数学史和方法论 自学考试提纲.doc

第一章数学的萌芽1古埃及的数学 公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。 现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做兰德纸草书，一卷藏在莫斯科。 2埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850前1650年之间，相当于中国的夏代。 3古埃及的计数制 埃及很早就用十进记数法，古埃及人的计数系统是叠加制，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将 1重复三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。 兰德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。 纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。4埃及几何的突出成就：古埃及人在建筑规模宏大的教堂、金字塔等都需要测量，尼罗河水泛滥后冲刷了许多边界标记，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。因此古埃及人的几何学知识较为丰富，在两种纸草书中，有26个十几何问题,许多与金字塔有关，如：在莫斯科纸草书中有：一个截顶金,字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2求体积。他们的算法是：4的平方是16，4的二倍,8,2的平方是4，把16、8、4相加为28.取6的三分之一为2，取28的2倍为56，则是体积数。由此可以看出，古埃及人是通过具体问题说明了高位h底边长为ab的正四棱台得体积公式是V=1/3(a2+ab+b2)h，著名数学家贝尔形象地将这一古埃及数学杰作成为“最伟大的埃及金字塔”5古巴比伦的计数制：古巴比伦的计数系统是60进制，也使用分数，总用60作为分母，但他们的分数系统是不成熟的。古巴比伦的算术运算也是借助各种各样的表来进行的。6试比较古埃及和巴比伦的解方程的方法，及对后来发展的启迪意义。1古埃及解决方程问题的方法是试位法：如对于方程x+x/7=24,先给x选一个定值，如7+7/7=8,而不是24，因为8需乘3才是24，故x的值是21，“但试位法”对于一元一次方程，可以得到精确的解，而对于二次以上的方程一般情况下只能给出近似解。2古巴比伦的如在英国大不列颠博物馆13901好泥板记载问题：我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二的35/60,求该正方形的边长。给出的解法是：1的三分之二是40/60.其一半是20/60，将它自乘得6/60+40/602 并把它加到35/60上得41/60+40/602 其平方根是50/60.再从中减去40/60的一半的30/60于是1/2是所求正方形的边长，这一解法相当于将方程x2+px=q的系数代入公式 求解，只不过计算时用的60进制。他们可能知道某些类型的一元二次方程的求根公式，但没有负数的概念。如何得到这些解法的，没有说明。在一块泥板上给出了数表。专家研究：这个数表解决形如x3+x2=b的三次方程的。7普林顿322号泥板书的数学意义。该泥板一损害了一部分，在残留的部分上刻有三列数，专家认为：这是一张勾股数（即x2+y2=z2 的整数解）表，并且及可能用到了下列参数式：x=2uv,y=u2-v2,z=u2+v2. 而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。第二章 希腊的数学1、希腊数学学派与演绎数学的产生；（1）爱奥尼亚学派和演绎证明：以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米利都，享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派爱奥尼亚学派。其中定理“内接于半圆的角必为直角”被称为“泰勒斯定理”重要的是他对定理提供了某种逻辑推理。如：两条直线相交，对顶角相等，证明：角a加角c等于平角，角b加角c也等于平角，因为平角是相等，所以叫a等于角c(等量减等量。余量相等)说明，从泰勒斯开始已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础。获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉又被西方称为“测量学的鼻祖”(2)毕达哥拉斯学派与“万物皆数”他组织一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密社会，就是著名的毕达哥拉斯学派。致力于哲学和数学的研究。尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派。但这个学派信条“万物皆数”认为：数是由单子或1产生的因此将1命名为“原因数”，每一个数都被赋予了特定的属性，而一切数中最圣神的是10，认为它是完美和谐的标志。这种万物皆数的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，数学化思想的最初表述形式。这思想促进了对自然数分类研究，定义了许多概念，如“完美数”三角形数、正方形数。还认为“美是和谐与比例”。由于不可公度量大发现。信条收到了冲击，在数学史上成为“一次数学危机”使他从对数的研究转向对形的探讨，最终导致了几何学的迅速发展。但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的。(3)芝诺悖论与巧辩学派三个悖论及意义：芝诺关于运动的三个悖论是：二分说；阿基里斯追龟说；飞箭静止说。芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为他的问题涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是：人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。巧辩学派的三大几何难题：只允许用尺规作一正方形使其面积与给定的圆的面积相等；给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者的体积两倍于前者体积；三等分任一已知角。直到1831年数学家万采尔首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图解决。德国数学家林德曼于1882年，证明了的超越性，否定了用尺规画圆为方的可能性。巧辩学派及其他希腊学者，把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学的怎样认识：即他们强调在研究一个概念 必须证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理，在他们看来，直线和圆客观存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾。这样的思想促进了希腊数学的严密化。（4）柏拉图学派：宇宙设计说他们强调用数学解释宇宙，特别重视对立体几何的研究。提出了数学的演绎证明因遵循的逻辑规则。他们研究了棱柱、棱锥、圆锥，而且知道正多面体只有五种，该学派把德漠克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说，他们设想物质世界的本质不是土气水火，而是两种直角三角形，即正方形之半与等腰三角形之半，因为这两种图形是最完美的图形，它们可以无限分下去。因此神就用它们构成4种正多面体的界面：火微粒是正四面体，土微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正十二面体。最初一切是混乱的，后来它们才被安排好，从而形成宇宙。其中最杰出的数学家是欧多克索斯，最大贡献是运用公里法建立了比例理论。它的学生梅奈赫莫斯是圆锥曲线理论的创始人。；亚里斯多德对数学最大贡献是建立了形式逻辑学。2希腊数学的黄金时代亚历三大时期的三大数学巨人：阿基米德、欧几里得、阿波罗里斯。（1）欧几里得的几何原本：五条公设： 从任一点到任一点作直线（是可能的）。 将有限直线不断沿直线延长（是可能的）。 以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）。 所有直角是相等的 若一直线与两条直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。五个公理： 与同一东西相等的一些东西彼此相等。等量加等量，其和相等。 等量减等量，其差相等。彼此重合的东西是相等的。 整体大于部分。（2）阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：抛物线的求积，论球和圆柱、论劈锥曲面体和球体、圆之度量、沙粒计，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摈弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情。” 阿基米德在平面几何方面的主要贡献：开创计算值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得3(10/71)3(1/7)。证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积。证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的4/3。定义了螺线=a，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为2a的圆面积的1/3。椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比。阿基米德在立体几何方面的主要贡献：球表面积等于大圆面积的4倍。圆的外切圆柱体的体积是球体积的3/2，其表面积也是球表面积的3/2。任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积。任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积。球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积。椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式。此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等阿基米德的数学成就：阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率。面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题（3）阿波罗尼斯与圆锥曲线首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的做法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、切线等定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论，需要指出的是，他的方程是几何语言叙述的。3希腊数学的衰落（1）其中代数的重大进展产生了代数符号，第一次系统提出了代数符号的是丢番图。丢番图的数学成就对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本希腊诗文选The Greek anthology【这是公元500年前後的遗物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯Metrodorus所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗epigram。亚历山大的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对後来的数论学者有很深的影响。丢番图的算术是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。 从另一个角度看，算术一书也可以归入代数学的范围。代数学区别於其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想虽然未有现代方程的形式这几方面来看，丢番图的算术完全可以算得上是代数。 希腊数学自毕达哥拉斯学派後，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜於解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被後人称为代数学之父不无道理。（2）托勒密的数学成就：写成三角学的最早 论著数学汇编，在该书中有著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两对对角线之积等于两对对边乘积之和。由这个定理得出sin(+ -)以及sin2asin/2的关系式。据此托勒密作出了从（1、2）到180间隔为（1/2）的弦表。（3）海伦的数学成就：海伦著作是测量学，他的著作摆脱了古典数学的狭隘性，表现出直接与生产联系的强烈特色。其中有著名的三斜求积公式。梅乃劳斯的成就是球面三角的研究；怕普斯的工作主要是在几何方面。4希腊的数学特色和局限性：特色：（1）使数学成为抽象性的一门科学。（2）建立了演绎推理证明数学的公理化体系。（3）建立了几何学三角学代数学并奠定了数论的基础。（4）有了一些高等数学知识萌芽如数论，极限等（5）发现若干定理和证明，逻辑结构严密论证认真细致。局限：（1）片面强调几何而忽视计算技巧，从而在很大程度上限制了代数的，并且是几代人看不出几何与算式在概念的运算上的相似之处，使人们认为几何方法就是数学证明的唯一方法。（2）在逻辑上拘泥于严格性而了创造性。（3）由于哲学而回避了无限过程。从而与极限方法失之交臂。第3章 印度与阿拉伯的数学1印度在中世纪前后的数学发展：印度数学以算术、代数为轴心，几何则偏重计算，没有演绎证明，这与古希腊数学以算术几何为轴心大不相同。正因为如此，约从5世纪到12世纪，印度数学对算术、代数作的贡献十分重大，直接影响了后来世界数学的发展。在算术方面，印度数学广泛使用了十进位值制记数法，并发明了印度阿拉伯数学符号，一直到现在世界各国都在使用。在此基础上，才得以形成快捷的计算技术。在代数方面，印度人建立了不仅可以使用分数，而且也可以使用负数和无理数的代数学，除了在求解一般方程和不定方程方面有不少技巧，而且他们还会用缩写文字和一些记号来描述运算，把代数学放在一个比较牢固的基础上，为这个时期代数学的发展准备了条件。从公元5世纪到12世纪，印度数学家中杰出的有阿利阿伯哈塔(Aryabhata,476-550)，婆罗摩及多(Brahmagupta,598-660,又名梵藏)，马哈维拉(Mahavira,9世纪,又名大雄)，婆什迦罗(Bhaskara,1114-1185)等，其中大部分工作在天文学和占星术的著作之中，而且他们并不把自己的贡献看得重要，有人说他们对数学上的价值不敏感，也有人讲他们没有把自己的工作提高到科学演绎的高度。2阿拉伯在中世纪前后的数学发展：阿拉伯数学，专指从8世纪至15世纪在中东、北非以及西班牙等地的伊斯兰国家里，以阿拉伯文为主要文字书写的数学著作所代表的数学。其实，为阿拉伯数学作出贡献的学者不限于阿拉伯人，还有希腊人，波斯人、犹太人和基督徒。阿拉伯数学在世界数学史上占有特殊的地位，它是古希腊数学和印度数学的继承者。阿拉伯数学从公元8世纪起初创，当时在阿拔斯王朝的巴格达，有一座类似亚历山大里亚艺术宫的“智慧宫”，还有一个图书馆和一座天文台，形成了科学文化中心。许多杰出的学者被邀请来此，他们把许许多多古希腊和印度的科学著作翻译成阿拉伯文保存下来。在此基础上，大约于9世纪至13世纪，阿拉伯数学对初等数学，尤其是初等代数学和三角学作出了创造性的贡献。第一位把代数作为一门独立学科来阐述的数学家，就是阿拉伯数学家阿尔花拉子模(Al Khowarizm,约780-840)，他引导人们开始系统地研究解方程问题。世称阿尔花拉子模为代数学的鼻祖，拉丁文algebra(代数学)一词就起源于他的第一部代数学著作的书名。阿拉伯的算术成就杰出的首推花拉子米，代数学无论内容还是风格上都代表了一个新的起点，该书首先把数学作为一们有别于其他学科的独立的数学分支来处理。分为三部分，最重要是第一部分，系统讨论了6种类型的一次、二次方程的解法，介绍了配平方法。还采取了演算与论证并举的方式阐述解方程的过程。还指出：通过” 复原”与“对消”两种变换，可将其他形式化成这6种标准。而引进三角函数，研究它们之间的，并计算出正弦表、正切表，是阿拉伯数学家阿尔巴塔尼(Al Battani,858-929)和阿布尔韦法(abul Wefa,940-998)等人，从此三角学有了自己独立的研究对象。到13世纪，一位百科全书式的学者纳西尔艾德丁(Nasir Eddin,1201-1274)撰写了天文、几何、三角等多方面的著作，他的工作使平面三角、球面三角系统化，并独立于天文学。另外，改进印度数码，成为当今世界各国通用的印度阿拉伯数字，也是阿拉伯数学家的功劳。3阿拉伯数学的分期与杰出的数学家（1）早期：8世纪中叶-9世纪 阿尔.花拉子米，他写过很多书，内容涉及天文、历法、算术、代数等多个领域。最著名的是代数学被译成拉丁文，在欧洲被用作代数学标准教科书达数世纪之久。另一本著作算术 印度数码的计算方法，后来由英国人译成拉丁文，通过这本书，欧洲人才了解到印度的数码和技术系统，由于花拉子米的著作在中世纪流传极广。（2）中期：10世纪-12世纪这时期是阿拉伯数学发展的高峰期去，著名的数学家有巴塔尼、阿布.瓦法、和奥马.海雅姆。巴塔尼写成星得科学后来哥白尼在天体运行论中多次应用巴塔尼的实测数据就说明了这点。阿布.瓦法曾翻译过丢番图的作品。对三角形和算式都有贡献。奥马.海雅姆的代数学比花拉子米的有明显的进步。详尽地研究了三次方程的根的几何作图法，提出了利用圆锥曲线图形求根的理论。这是阿拉伯数学最重大的成就之一。（3）后期：13世纪-15世纪上半叶纳西尔丁.图西和卡西。西尔丁.图西编制伊尔汉历对科学发展有很大影响。他对三角形的重要贡献是编写了一本脱离天文学的论四边形。卡西算术之钥特别在二项式展开、高次方程的数值解法等方面都有注目的贡献。他精于计算，算的值精确到小数点后16位。4评价阿拉伯数学在数学发展中的贡献，现在却不太一致。有人认为阿拉伯数学有很高的创造性，尤其是在代数学和三角学方面；也有人认为阿拉伯数学缺少创造性，并且他们工作无论在数量上或质量上，都比不上古希腊或现代学者。但是，阿拉伯数学将前人的遗产继承下来，并传给后代欧洲人，在数学史上继往开来的作用是被一致公认的。5印度杰出的数学家及文献：阿耶波多（476-550） 印度数学第一人印度最早的天文学家和数学家.生于恒河南岸的拘苏摩补罗附近.求得=3.1416，掌握了用连分数方法求一次不定方程的通解.公元499年著阿耶波多历算书，总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识，书中还蕴含了最早的弧度制思想.为了纪念这位杰出的数学家，1975年印度发射的第一颗人造卫星被命名为“阿耶波多号”.婆罗摩笈多（598-660） 婆氏公式美名扬印度数学家、天文学家.生于古印度文化中心之一的乌因贾城，曾任乌因贾城天文台台长.算术方面：给出了负数的运算法则及其表示.代数方面：得到了一元二次方程x2+px-q=0的一个根的公式x=(p2+4q)-p/2.几何方面：求得圆内接四边形的面积公式为(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)，其中s=(a+b+c+d)/2，该公式是三角形面积海伦公式的推广，现称为“婆罗摩笈多公式”.不定分析方面：求得一次不定方程ax+by=c(a,b,c为整数)的整数解.于公元628年著婆罗摩笈多历算书.婆什迦罗（1114-1185） 印度古数集大成印度古代最伟大的数学家、天文学家.长期工作于乌因贾城天文台，曾任印度莫吉安州天文学院院长.代数方面：给出了公式13+23+n3=(1+2+n)2的证明.不定分析方面：给出了佩尔方程x2=1+py2的若干特解.三角方面：给出了sin18=(5-1)/4的精确表达式，给出了和差角正弦公式sin(ab)=sinacosbcosasinb.其著作莉拉沃蒂和算法本源代表了印度古代数学的最高水平.拉马努金（1887-1920）直觉化身铸传奇印度传奇数学家.生于印度马德拉斯省坦焦尔县的一个小村镇里，家境贫寒.1900年，13岁的拉马努金独立发现了三角函数可表示成无穷级数,这是欧拉1750年左右发现的结论！1903年以一流的成绩进入当地大学，由于偏科，未拿到学位，毕业后只担当一个小职员，其数学研究由于很艰深且符号特殊，没一个印度数学家能鉴定他是否真是个天才！1911年他在印度数学会学报上发表了第一篇论文论伯努利数的一些性质，引起了学术界的注意.1913年，26岁的拉马努金写信给剑桥分析学派的领袖哈代，问他是否能肯定他笔记本中的研究成果.哈代和李特伍德一起研究拉马努金满是奇特公式的信，经过了两个半小时，两人一致认为：天才！在哈代的反复邀请下，1914年，27岁的拉马努金终于打破宗教束缚去剑桥三一学院从事研究工作. 在哈代的指导下，拉马努金先后发表了国际一流的论文19篇.1917年拉马努金与哈代合作开创“圆法”推进了哥德巴赫猜想研究，同年被选入伦敦数学会，次年当选为英国皇家学会外籍会员.1920年，在英国时就患上肺结核的拉马努金于印度英年早逝.1927年，剑桥大学出版社出版了拉马努金的论文集.1974年，比利时数学家德利涅证明了拉马努金的一个猜想，并因此获得了1978年的菲尔兹奖。1975年印度成立了“拉马努金学会”，1986年开始出版会刊.美国数学家伯恩特自1977年起，系统地证明了拉马努金笔记中的每个公式和命题，并从1985年至1995年，出版了三卷本的拉马努金笔记.拉马努金在印度的影响有如陈景润在中国的影响，家喻户晓，是逆境中成功的榜样，影响了印度数代年轻人奋勇进取，自强不息！马哈拉诺必斯(1893-1972)印度统计之先驱印度数理统计学家.生卒于印度最大的城市加尔各答，在加尔各答获物理学位后留学剑桥大学，回国后被聘为加尔各答管辖区学院教授，直至1947年退休.研究方向：数理统计学和经济规划.1930年引入D2统计量，后被称为“马哈拉诺必斯距离”，在统计分类问题中有广泛应用.1931年创立“印度统计学会”并任主席，培养了印度一代统计学家.曾当选为英国皇家学会会员，曾获印度最高国民奖，发表论文200余篇.拉奥（1920- ）印度统计之泰斗印度数理统计学家.生于印度卡纳塔克邦.1943年获加尔各答大学统计学硕士学位，1944年任职于印度统计研究所.1945年他证明了概率论中的“拉奥-克拉美不等式”，这是求一致最小方差无偏估计的重要工具之一，同年又给出统计学中的“拉奥-布莱克韦尔定理”.1948年获剑桥大学博士学位.1949年起先后担任印度统计研究所教授、院长、所长直至1979年退休，同年受聘到美国匹兹堡大学任教授.他还当选为英国皇家学会会员，第三世界科学院(现称为发展中国家科学院)创始院士之一，现任发展中国家科学院院长.还曾任国际统计学会、国际生物统计学会等学会主席.已发表论文230多篇，著有线性统计推断及其应用(1973年)等专著9部. 哈里希-钱德拉（1923-1983）“不能全凭第六感”印度数学家，物理学家.生于印度坎普尔.曾担任著名物理学家狄拉克（量子力学的创始人之一）的助手.由于体会到“第六感”式的物理思维缺乏严谨转而研究数学，与外尔、韦伊、扎里斯基等大数学家都有过接触.后来哈里希-钱德拉在李群表示论方面的工作堪称世界一流，这使得他1954和1966年两度在国际数学家大会作报告，1973年成为英国皇家学会会员，1974年获得印度科学院“拉马努金奖”，1975年当选为印度科学院院士，1981年当选为全美科学院院士.著名数学家朗兰兹在评论哈里希-钱德拉时说：“他从事数学相对较晚，且有很多数学领域他从未认真涉猎过.可以毫不夸张地说，他在需要的时候就自己制造工具，一个本世纪宏伟的数学理论是被一个只学过高等微积分课程的人构造出来的”.阿拉伯数学家：古代阿拉伯的数学是在引进印度和希腊数学之后起步的，在不长的时期内，他们取得了可观的成绩。阿拉伯头一位著名的数学家是花拉子密，他在数学上的成就比起天文学上的成就还要大一些。他的算术和代数学的著作很早就流传欧洲，对欧洲的数学有颇大的影响。欧洲人主要就是从他那里学会了使用“阿拉伯记数法”。我们前面已经讲到，欧洲人自古希腊时候起即擅长几何学，他们也习惯于用几何学方法来解决代数学的问题，因此他们的数学有很大的局限性。花拉子密的代数学著作还原与对消记述了800多个代数学问题，包括了一次方程和二次方程的解法。这部著作在12世纪期间即被译成拉丁文，直至16世纪以前仍是欧洲各大学的主要数学教科书，在欧洲产生了很大影响。拉丁语中algebra（代数学）一词就是从这部著作中的名称演化而来的。欧洲人对代数的研究从接受阿拉伯人的代数学才正式开始的。这与花拉子密的功劳不无关系。花拉子密的天文表中包括有三角学的内容，他不仅运用了正弦函数，还引进了正切函数。不过也有人怀疑正切函数是后人修订天文表时加进去的。另一个阿拉伯数学家白塔尼在天文学的研究中也涉及到三角学的问题。他在他的著作中又引入了余切函数，并且造出了从1到90之间相隔1的余切表。曾主持马腊格天文台的奈绥尔丁也是一位很有成就的数学家。原先的三角学只不过是天文计算中的一种工具，奈绥尔丁则致力于使它成为一门独立的学科。他还提出了解球面直角三角形的6个基本公式，并且指出解一般三角形的方法。欧洲人到15世纪中期才知道奈绥尔丁的工作，在此之前，欧洲人还从未把三角学看成是数学上的一个分支。在这一时期，还有一位重要科学家，他叫卡西（？1436？）。他在圆周率的研究上取得了显著的成绩。他是用穷竭法求圆周率的，他计算了圆内接和外接3228边正多边形的周长，求得圆周率=3.141，592，653，589，793，25，即准确至小数后第17位。他打破了我国祖冲之保持了近千年的世界纪录，1000年后才又为欧洲人所超过。第四章：中国古代数学1中国古代数学体系的形成 数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；兴盛；衰落与复苏。 数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为“算术”即“算数之术”，宋元时期开始使用“数学”一词，此后算学、数学两词并用，1936年6月，经中国数学名词审查委员会确定用“数学”而不再用“算学”2中国古代数学的萌芽（先秦时期）中国是世界著名的文明古国，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽，这一时期的数学成就主要有以下几点：（1）结绳记事是中国古代记数方法的起源，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前这种方法就已十分流行，并且在他的时代已开始用“八卦”和“书契”等方法来代替“结绳”记事了。（2）规矩的使用 规矩是中国传统的几何工具，古籍中记载：“圆者中规，方者中矩”。说明它们分别用于圆与方的问题。（3）十进位制记数法、分数的应用及筹算 在中国第二个奴隶制王朝商代（公元前16世纪到公元前12世纪），甲骨文已发展成熟，当时已采用了“十进位制记数法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称。这是对世界数学最伟大的贡献，正如李约翰博士所说“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”这一点是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及的。除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也比较早，到春秋战国时代算术四则运算已经成熟。算筹是中国古代的计算工具，筹即小竹棍或小木棍相应的一套算法也就称为筹算，从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年，用算筹表示数有纵横两种摆法。（图略）记数时与十进位值制相配合，采用从左到右（或从上到下）纵横相间的摆法，如遇零时则空一格。这是巴比伦所不及的，因为他们没有零的记号。（4）精湛的几何思想 战国时期（公元前475公元前221提）的诸子百家，和古希腊的数学学派一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的著作墨经记载了许多几何概念。如“科，同高也”；“中，同长也”等等。名家以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识，据庄子记载，名家的代表人物惠施曾提出“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一”。这里的“大一”、“小一”有无穷大和无穷小的意思，与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。（5）数学教育的开始 周代周礼地官中的礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺，前者为大学所授，后者为小学所习，并称“六年教之数,十年学书计”。可见，早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。3 汉唐时期（中国传统数学体系的形成）其主要标志是以九章算术为代表的中国传统数学体系的形成。周髀算经和勾股定理 比九章算术稍早且流传下来的一部重要的著作是周髀算经，该书原名周髀大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用研究。4赵爽 中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国历史上首次对周髀进行认真研究和注释的学者，他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图，其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。勾股圆方图注全文五百余字，这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。5九章算术的作者不详。成书于西汉末到东汉初，即公元1世纪初。九章算术特点的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。对于每类问题，九章算术中都给出了统一的解法。它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明，解法大多数是正确的，有些是近似的，极少数有错误。 “方田”(土地测量) ，是九章算术的开卷章，主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则。包括正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分、四则运算，求最大公约数等运算法则；粟米章(粮食交易的比例方法)；衰分 (比例分配的算法)，介绍依等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配算法；少广(开平方和开立方的算法)；商功 (各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题)；均输（征税）主要论述较为复杂的配分比例问题。其中最引人注目的是“均输术”。这是我国古代实行的“均输制”在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题。盈不足章主要论述盈亏问题的解法；盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2（a2 a1）钱，则又不足b2钱，求人数与物价。公式为：人数=（b1+b2）/(a1-a2),物价=（a1b2+a2b1）/（a1-a2）方程(一次方程组解法和正负数)主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元。这一思想在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”。方程章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。提出了“以正负术入之”，即引入负数及其运算法则。勾股主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量 。6九章算术注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着极其深远的影响，可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于九章算术。九章算术成书以后，便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的数学家们学习、研究和著述的依据。7刘徽的数学贡献（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算术注和海岛算经，是我国最宝贵的数学遗产九章算术注中载录了它在数学上的许多重要贡献。在算术方面，刘徽阐发了九章算术中的分数理论，他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上最高水平，并已接近于近代的成熟程度。他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的发展产生了较大的影响。在代数方面，九章算术中的线性方程组解法以及正负数和加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。前者比欧洲早1500年，后者也早了1200多年，而给这两项算法以完整的理论说明的正是刘徽，他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理。对于正负数，刘徽的定义可以说是经典性的，他把正与负看成是相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法，他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释，这种方法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的。此外，他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数斯蒂文（S.Stevin，15481620）的小数记法要早出1300多年。在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者，他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等。（1）割圆术 九章算术“圆田术”给出了圆面积的计算公式“半周半径相乘得积步”。刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”，并借助极限的方法。他从圆的内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直推算到圆的内接正192边形，得到圆周率的近似值为3.14，化为分数就是157/50，这就是著名的“徽率”。（2）体积理论（3）球体积计算（4）勾股测量 刘徽不仅注重数学的理论研究，而且也注重数学的实际应用，他在为九章算术作注的同时，还实际处理了许多测量问题，他的另一部著作海岛算经，就是在测量的具体实践过程中总结而成的关于“测高望远之术”的专著。该书共9问，涉及到的勾股测量方法有重表、累矩、连索以及两望、三望、四望。海岛算经是刘徽对中国古代重差理论的进一步发展，展示了勾股比率和重差测量的演化历程，标志着中算家在测量技术及理论方面所达到的新的高度。8祖氏父子的数学贡献 祖冲之（429500），字文远，祖籍范阳遒县（今河北涞水县）。他生活在南北朝，家学渊博，他三十三岁时编制成功了大明历开辟了历法史的新纪元，首次考虑到岁差的计算，此外，他还改造了指南车，制造了水碓磨，千里船等。他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、数学，父子俩都对九章算术与刘徽注有浓厚的兴趣，他们的著作缀术在唐代曾被李淳风收入“算经十书”作为数学教科书。祖冲之继承了刘徽的思想，其在数学上最突出的成就是对圆周率的推算隋书律历志记载着他对圆周率的研究成果3.1415926。由于中国古代习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率（祖率）为355/113；约率为22/7。其中密率在欧洲由德国数学家奥托（15501605）于1573年得到，这比祖冲之要晚1100年之久。祖氏父子在研究，九章算术及刘徽注时发现了刘徽遗留下来的如何计算“牟合方盖”的体积问题，最终由祖暅解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3。祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题是：缘幂势既同，则积不容异即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等。它被称为“祖暅原理”，这实际上就是西文数学界所谓的“卡瓦列利原理”，这一原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列里发现，比祖暅晚了1100多年。9算经十书从隋代开始，中国有了专门的数学教育机构，由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是周髀算经九章算术海岛算经张邱建算经五曹算经五经算经缉古算经缀术夏侯阳算经。10张邱建算经其主要数学成就有：最大公约数和最小公倍数的应用、等差数列、开带从平方和不定方程，著名的“百鸡问题“即出此书。11宋元时期中国传统数学的兴盛 这一时期包括宋元两代，即900年至1368年，宋元高峰时期基本上是以代数为中心的时期，在这个时期，关于高次方程的数值解法、线性方程组的解法、高阶等差数列、组合数学、半符号代数以及属于数论范畴的同余式组的解法等，都达到了当时世界的最高水平。12高次方程的数值解法 北宋数学家贾宪创造的“增乘开方法”：1050年前后，贾宪撰写了一部名为黄帝九章算术细草的著作，给出了用“增乘开方”来解形如x的n次方=A的方程的方法，迈出了将传统的开平方、开立方方法推广为求解一般高次方程的重要一步。“增乘开方法”包括了四种算法：缩根、估根、减根和倍根。在开方过程中，随乘随加、反复迭代，计算减根变换后方程各项系数的方法，具有鲜明的算法特点，这与现代所用的“霍纳算法”已基本一致。13宋元四杰，就是宋元时期最杰出的四位数学家秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰。14秦九韶，字道古，数书九章是他的传世名著，此书采用了问题集的形式，全书搜集了81个数学实际应用问题，按性质分为九类，每类九题，共18卷。其中，他推广传统的“开方法”，创立了“正负开方术”。他的程序与贾宪方法的区别在于：由于规定了“实常为负”，整个程序便统一用加法，真正实现了随乘随加的机械操作。他的数学成就，体现在他的数学九章中。其中最突出的有两项：一项是“正负开方术”，上文已经介绍了；另一项是“大衍求一术”，以下略作介绍。孙子算经出现在45世纪。此书记载了举世闻名的“孙子问题”，是全书的最后一题，原文是：“今有物不知数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”也就是说有一个数，被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数。 在数学上，这属于同余式题目，在没有找出科学的解法前，要顺利而简捷地解出这样的题目，是很不容易的。 孙子算经自己给出的解式是： 702+213+152-105223 但为什么能这么解，70、21、15、105这些数字是怎么出来的，再复杂一些的同余式又怎样解，则都没有交代。（明代数学家程大位的算法统宗所载的“孙子歌”将此题解法写成一首诗：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。）15秦九韶 在数书九章中卷一“大衍总数术”中推广了“孙子问题”的解法，他对同余式ax1（mod b）的解法是将a，b辗转相除，秦九韶称为“更相减损”。我国宋代数学家秦九韶集前人之大成，提出了“大衍求一术”，它实质上与高斯定理是等价的，其所研究的剩余定理问题，是一项卓越的数学成绩因此，西方数学家称，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一”。 “大衍求一术”，就是解这一类同余式题目的一个方法，它的目标就是如何求出70、21、15、105这些关键数字。 这4个数字中，105是3、5、7的最小公倍数，比较容易求得。其他3个数字又是怎样求得的呢？以“大衍求一术”分析，70是5、7的倍数而被3除则余1，21是3和7的倍数而被5除则余1，15是3、5的倍数而被7除则余1。也就是说，用这一规律能很快求得这些关键数字，题目也就很快解出了。 “大衍求一术”为求解同余式题目找到了一条科学的途径，从而诞生出了“中国剩余定理”。在西方，这一定理是德国著名数学家高斯于1801年出版的算术探究中提出的，比秦九韶晚了五百多年。所以，英国传教士伟烈亚力1852年将它命名为“中国剩余定理”，是还了历史的真实！16李冶原名李治，数学著作有 (1248年成)与益古演段(1259年成)。李冶自己最看重的著作，就是测圆海镜。 李冶在数学上的最大贡献，就是总结、发展并完善了“天元术”。 17“天元术”和“四元术” “天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度，这就是半符号代数的产生。天元术就是现代的列方程，即根据题意列出一个包含未知数的数学题式。天元相当于现代的X。古代还没有引进X这个字母，就用“元”字表示(但只写在数字边上)，或者用一个“太”字表示常数项(也只写在数字边上)。 x3+336x2+4184x+24883200 列方程式，在现代是很普通、很浅显的数学问题，但在古代并不容易。李冶发明的用“元”表示含未知数项的方法，具有了半符号代数学的性质。他在测圆海镜中利用“天元术”解决了六七百条几何命题的证明，主要是勾股容圆问题。在西方，半符号代数是16世纪后才出现的，比李冶要晚三百多年。18朱世杰 是元代数学家(出生年月不详)，字汉卿，号松庭，燕山一带人。 在数学可以说是宋元四杰中成就、声望最高的一位。连国外的学者也认为，朱世杰的数学著作四元玉鉴是“中世纪最杰出的数学著作之一”。他集宋、金、元数学之大成，先后写成算学启蒙三卷与四元玉鉴三卷，四元玉鉴的主要内容之一就是对多元方程的研究，他推广“天元术”和“正负开方术”而给出的“四元术”，实际是一种四元高次方程组的布列与求解方法，可以说这是中国筹算代数学的顶峰，在“四元术”中，用“天”、“地”、“人”、“物”这4个字分别表示4个未知数，以“太”字表示常数项。“四元术”的消元法，与现代数学基本相同，逐级消元，最终变为一个一元高次方程来求解。 朱世杰创造的“四元术”，西方要到18世纪才达到这样的水平，比朱世杰落后近五百年。 19宋元时期比较著名的数学家还有博学多才的沈括，名著梦溪笔谈，补李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。该书提出的高阶等差数列求和的“隙积术”，由圆的直径和高计算弓形弧长的“会圆术”，以及计算棋局总数的“棋局都数”等课题都具有很高的学术价值。20明清时期中国传统数学的衰落与复苏 衰落的原因：从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始慢慢地萌发了，但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制，使资本主义的幼芽未能顺利发展，统治阶级为了维护其统治地位，规定科举制必须采用“八股”文体 ，使得