《概率论》第一章习题(A)参考答案.doc

第一章习题（A）参考答案（注：有些题可能存在多种解法，希望同学能够多动脑思考，不要将思维局限于参考答案。）4解：（1），；（2） ；（3） 。5解：从8个球中任取2个，共有种取法。设事件A表示取到的两个球颜色相同，可分成两种情况：取到白球；取到黑球。完成事件A共有种取法，则根据古典概型的概率计算公式，可求得 。6解：考虑将两组分别记为甲组和乙组，则分配球队的时候，先将10支球队分到甲组，再将剩下的10支球队分到乙组，共有种分法。对于最强的两队，先取一支强队分到甲组，接着再从其余18支稍弱的球队中取9支分到甲组，这样甲组就有一支最强队及9支稍弱的队，最后将剩下的10支球队分到乙组，这样共有种分法。则最强的两队被分到不同组内的概率为。7解：将12个球随意放入3个盒子中，对于每个球，都可以从3个盒子中选一个盒子放球进去，因此共有种放法。设事件A表示第一个盒子中有3个球，先从12个球中取出3个球放进第一个盒子，剩下的9个球随意放进其余两个盒子中，对于这9个球，每个都可以从其余两个盒子中选一个盒子放球进去，因此完成事件A共有种方法，则第一个盒子中有3个球的概率为。8解：由于每颗骰子有6个不同的点数，因此同时掷4颗均匀骰子共有种不同的结果。（1）设事件A1表示4颗骰子的点数不同，共有种情形，其发生的概率为 ；（2）设事件A2表示恰有2颗骰子的点数相同。先选出两颗骰子组成一组，其点数是相同的，剩下的两颗骰子点数不同，并且跟前两颗骰子的点数也不同，有种情形，则事件A2发生的概率为 ；（3）设事件A3表示4颗骰子的点数两两相同并且两对的点数不同。先从4颗骰子中取出两颗组成一对，剩下的两颗组成另外一对，接着再分配不同的点数给这两对骰子，考虑到重复性，共有种情形，则事件A3发生的概率为 ；（4）设事件A4表示恰有3颗骰子的点数相同。先选出3颗骰子组成一组，使其点数一样，接着再分配不同的点数给剩下的骰子，这样共有情形，则事件A4发生的概率为 ；（5）设事件A5表示4颗骰子的点数都相同，共有6种情形，则事件A5发生的概率为 。9解：将2封信随机投入5个邮筒中，每投一封信时，都可以从5个邮筒中任选一个邮筒投信进去，因此共有种投信方法。（1）设事件A表示第一个邮筒内恰好有一封信。先选出一封信将其投进第一个邮筒，剩下的那封信随机投进其余的四个邮筒中，因此共有种投法，则事件A发生的概率为；（2）设事件B表示前两个邮筒内没有信。由于前两个邮筒内没有信，因此只能将两封信随机投进后三个邮筒中，这样每投一封信时，只能从后三个邮筒中任选一个邮筒投信，那么共有种投法，则事件B发生的概率为。10解：设事件A表示刮风，事件B表示下雨，依题意有 ， ， ；（1） 在刮风的条件下，下雨的概率为；（2） 在下雨的条件下，刮风的概率为。11解：由乘法公式，可求得 ，接着利用加法公式，求得 ，最后利用课本第四页的对偶律，求得 。12解：设事件A表示投入基金，事件B表示购买股票，依题意有 ， ， ；（1） 在已投入基金的条件下，再购买股票的概率为；（2） 在已购买股票的条件下，再投入基金的概率为。13解：设事件A1表示取到一等品，事件A2表示取到二等品，事件A3表示取到三等品，那么。如果取到一等品，则肯定不能取到三等品，即 ，因此。已知取到不是三等品的条件下，取到一等品的条件概率为 。14解：由条件概率及乘法公式，可求得 ， ，最后根据加法公式，可求得 。15解：设事件A表示报警系统A有效，事件B表示报警系统B有效，依题意可知 ，（1）两种报警系统都有效的概率： ；（2）在报警系统B有效的条件下，报警系统A有效的概率： ；（3）两种报警系统中至少有一种报警系统有效的概率： ；（4）两种报警系统都失灵的概率： 。16解：由于事件A与事件B相互独立，根据课本14页的定理2有令 ，则可得到如下方程组（1）（2），可得，即，将其代入方程（1）中，得到以下方程稍作变形，可得到 ，解得或，再将其代回中，求得或。因此或。17解：设事件A表示该运动员在5次射击中得到不少于48环。该运动员每次射击的结果相互独立，在5次射击中得到不少于48环可分成3种情形：48环、49环、50环。（1）在5次射击中得到48环，可以再分成两种情形：4次10环1次8环；3次10环2次9环。在5次射击中得到4次10环1次8环，共有种互斥的情形，每种情形发生的概率都是，因此在5次射击中得到4次10环1次8环的概率为；在5次射击中得到3次10环2次9环，共有种互斥的情形，每种情形发生的概率都是，因此在5次射击中得到3次10环2次9环的概率为；（2）在5次射击中得到49环，亦即是4次10环1次9环，共有种互斥的情形，每种情形发生的概率都是，因此在5次射击中得到4次10环1次9环的概率为；（3）在5次射击中得到50环，即5次都是10环，只有一种情形，发生概率为。综上所述，该运动员在5次射击中得到不少于48环的概率为 。（注：从n个元素中取出m个元素的组合数与从n个元素中取出nm元素的组合数一样，即）18解：设事件A表示公司与供货商签合同。当查出的次品数不超过2件时才签合同，因此事件A发生的概率为： ；设事件B表示验货时第一件是次品。当验货时第一件是次品，接下来查出的次品数不超过一件时才签合同。因此应用缩减样本空间法，可求得当查出第一件是次品时公司与供货商签合同的条件概率为： 。19解：设事件A1表示电池a损坏，事件A2表示电池b损坏，事件A3表示电池c损坏，事件A表示电路间断。由于各个电池独立工作，因此事件A1，A2，A3相互独立。电路由电池a与两个并联的电池b和电池c串联而成，当电池a损坏或者电池b和电池c都损坏时，电路发生间断，亦即。因此，电路发生间断的概率为20解：设事件A表示甲中靶，事件B表示乙中靶，那么A与B相互独立，且， ，则（1）两人都中靶的概率：；（2）甲中乙不中的概率：；（3）甲不中乙中的概率：。21解：设事件 表示第i道工序不出废品，由于各道工序是否出废品是独立的，因此事件 相互独立，事件表示经过3道工序而不出废品，其概率为 。22解：设事件 表示第i个人破译密码，由于每个人是独立地去破译密码的，因此事件 相互独立。当至少有一个人破译密码时，密码才能被破译，亦即三个事件至少有一个要发生：；因此，能将此密码破译的概率为23解：对于每个电灯泡，其使用1000h后，要不还能正常工作，要不已经损坏了，因此可以看成伯努利试验，3个电灯泡使用1000h可看成3重伯努利试验。设A表示电灯泡使用1000h后损坏了，且；设X表示3个电灯泡在使用1000h后损坏的个数。则3个电灯泡在使用1000h后，最多只有一个坏了的概率为24解：笔记本电脑在1年内要不出现重大质量问题，免费予以更换，要不不出现重大质量问题，因此可以看成伯努利试验，200台电脑使用1年可看成200重伯努利试验。设事件A表示电脑在1年内出现重大质量问题，且；设X表示该商家每月销售的200台电脑中在1年内出现重大质量问题的电脑台数。则该商家每月销售的200台电脑中在1年内必须予以更换的电脑台数不超过1台的概率为25解：设事件A1表示第一台车床加工的零件，事件A2表示第二台车床加工的零件，事件B表示不合格的零件，依题意可有 ，由全概率公式，可有因此，任取1个零件是合格品的概率为。如果取出的零件是不合格品，它是由第二台车床加工的概率为： 。26解：设事件分别表示“谨慎的人”、“一般的人”、“冒失的人”，事件B表示被保险人在一年内出事故，依题意可有则由贝叶斯公式有27解：设事件A表示被检验者患传染病，事件B表示检验结果为阳性，依题有，。由贝叶斯公式，某人被检验出阳性，此人确实患有此病的概率为：28解：设事件A表示考生会解这道选择题，事件B表示考生