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初中数学教学案例沙兰学校 孟繁森一、 主题：本节课是新人教版八年级上册第十三章课题学习 最短路径问题。它是以“牧马人饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题，再利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中， 体会体会轴对称的“桥梁”作用，感悟数学思想。二、 案例实施背景本节课是2013-2014学年度第一学期在我所教班级3班上的一堂课，本班学生优秀生、中等生及学困生都有，两极分化严重。三、 案例主题分析与设计数学课程标准强调：数学数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生习积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践，自主探索，合作交流等，都是学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。本节课将以教师引导-学生自主探究-学生合作交流小结为主线开展课堂教学，以学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。四、 教学目标：使学生能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变 化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。五、 教学过程 师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用所学知识探究“牧马人饮马问题”。首先看第一个问题 问题1 如图1所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短（为探究解决“牧马人饮马问题”提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。果然，在短时间里，学生们便完成了此题。）AB 图1 问题2 如图2牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？B A图2师：（1）你能将这个问题抽象为数学问题吗？生：能师：（2）这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 生：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线师：（3）你能用自己的语言表达这个问题的意思，把它抽象为数学问题吗？生：如图3所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短。（因问题1 的铺垫学生们的回答不是很困难。）图3 师：（）想一想，由问题1的解决，对于解决问题2可否有帮助？ （）对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线1上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？（）你能利用轴对称的有关知识，找到（）中符合条件的点B吗？（学生们带着老师提出的问题进入到思考、探究、研讨当中，教师则巡视各个小组的研习情况，有时会对个别小组给予点拨，然后小组交流展示结果，师生共同补充。）学生叙述，教师板书，并画图，同时学生在自己的练习本上画图。 ABCCB图4作法：如图4所示：(1)作点B关于直线l的对称点B；(2)连接AB交直线l于点C则点C即为所求的点师：你能用所学知识证明最短吗？（师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书。）为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C，连接AC，BC，BC，证明ACCBACCB.如下：证明：在直线l上另外任取一点C（与点不重合），连结AC，BC，BC由作图可知，点B和B关于直线l对称，所以直线l是线段BB的垂直平分线因为点C与C在直线l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB.既最短（证明最短时，师问学生为什么要在直线l上另外任取一点C（与点不重合）证明ACCBACCB？这里的C的作用是什么？我们是借助什么解决问题的）练习1、 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？图52、如图6所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA-CB最长。图63、如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点