2010高考数学北京理.pdf

高考真题专家全解 1 绝密 使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理 北京卷 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 共 150 分 考试时长 120 分钟 考 生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡 第 卷 选择题共 140 分 一 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 集合 P x Z 0 x 3 M x Z x2 9 则 P M A 1 2 B 0 1 2 C x 0 x 3 D x 0 x 3 解 M x Z x2 9 3 2 1 0 1 2 3 P x Z 0 x 3 0 1 2 P M 0 1 2 选 B 2 在等比数列 an 中 a1 1 公比 q 1 若 am a1a2a3a4a5 则 m A 9 B 10 C 11 D 12 解 a1 1 q 1 a2 q a3 q2 a4 q3 a5 q4 a1a2a3a4a5 q q2 q3 q4 q1 2 3 4 q10 a1q11 1 a11 或 a1a2a3a4a5 a3 5 q2 5 q10 a1q11 1 a11 m 11 选 C 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该几何体的俯视图 为 解 作出直观图 可知选 C 选 C 侧侧 左左 视图视图 正正 主主 视图视图 C D B A H F G E M P N B C B D C A D 高考真题专家全解 2 4 8 名学生和 2 位老师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数为 A B C D 解 插空法 分两步 先排 8 名学生 有 A88种排法 再将 2 名老师插入到 9 个空中 共有 A92种排法 共有种排法 选 A 5 极坐标方程 1 0 0 表示的图形是 A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 解 1 0 0 1 或 1 表示以极点为圆心 1 为半径的圆 表示极轴反向延长线 选 C 6 a b 为非零向量 a b 是 函数 f x xa b xb a 为一次函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解 f x a b x2 b2 a2 x a b 充分性 若 a b 则 a b 0 当 b2 a2 0 时 f x b2 a2 x 为一次函数 非充分条件 必要性 若函数 f x xa b xb a 为一次函数 则 a b 0 即 a b 必要条件 选 B 7 设不等式组 110 330 5390 xy xy xy 表示的平面区域为 D 若指数函数 y ax的图像 上存在区域 D 上的点 则 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 解 作出可行域如右图所示绿色区域 当 y ax过 A 2 9 时 a 最大为 3 又因为 0 a0 时 0 ax 1 所以指数函数 y ax的图像上不存在区 域 D 上的点 a 1 3 选 A 8 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 动点 E F 在棱 A1B1上 动点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 EF 1 A1E x DQ y DP z x y z 82 89 A A 82 89 A C 82 87 A A 82 87 A C 82 89 A A F C1 D1 B1 A1 C D A B P Q E 高考真题专家全解 3 大于零 则四面体 PEFQ 的体积 A 与 x y z 都有关 B 与 x 有关 与 y z 无关 C 与 y 有关 与 x z 无关 D 与 z 有关 与 x y 无关 解 如图所示 三角形 EFQ 的面积是定值且在平面 A1B1CD 上 所以体积 只与 P 到平面 A1B1CD 的距离有关 作 PP CD 交 BC 于 P 作 P M B1C 于 M 因为平面 A1B1CD 平面 BCC1B1 P M A1B1CD 且 P M P Ccos45 2 2 z 体积与 z 有关 与 x y 无关 选 D 第 II 卷 共 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 www ks 9 在复平面内 复数 2 1 i i 对应的点的坐标为 解 22 1 22 1 1 1 1 2 iiii i iii 对应点的坐标是 1 1 答案 1 1 10 在 ABC 中 若 b 1 c 3 2 3 C 则 a 解 2 sin sin1 3 sin sinsin23 bcbC B BCc bq 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立 记 为该生取得优秀成绩 的课程数 其分布列为 0 1 2 3 P 6 125 a b 24 125 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率 求 p q 的值 求数学期望 E 解 事件 Ai表示 该生第 i 门课程取得优秀成绩 i 1 2 3 由题意知 123 4 5 P AP Ap P Aq I 由于事件 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 与事件 0 是对立的 所以该生至少有 1 门课程取 得优秀成绩的概率是 6119 1 0 1 125125 P II 由题意知 123 16 0 1 1 5125 PP A A Apq 123 424 3 5125 PP A A Apq 高考真题专家全解 8 整理得 6 125 1 pq pq 由 p q 可得 3 5 2 5 p q III 由题意知 123123123 41137 1 1 1 1 1 555125 aPP A A AP A A AP A A Apqpqp q 6372458 2 1 0 1 3 1 125125125125 bPPPP E 0 P 0 1 P 1 2 P 2 3 P 3 3758249 23 1251251255 18 本小题共 13 分 已知函数 f x ln 1 x x 2 2 k x k 0 当 k 2 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 求 f x 的单调区间 解 I 当 k 2 时 f x ln 1 x x x2 1 12 1 fxx x 由于 f 1 ln2 3 1 2 f 所以曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 3 ln2 1 2 yx 即 3x 2y 2ln2 3 0 II 1 1 1 fxkx x x 1 1 1 x kxk fx x x 1 当 k 0 时 1 x fx x 所以 在区间 1 0 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 故 f x 得单调递增区间是 1 0 单调递减区间是 0 当 0 k0 在区间 0 1 k k 上 f x 0 故 f x 得单调递增区间是 1 当 k 1 时 1 1 1 11 kx x x kxk k fx xx 1 110 k 在区间 1 1 1 k 和 0 上 f x 0 在区间 1 1 k 0 上 f x 0 故 f x 得单调递增区间 1 1 1 k 和 0 单调递减区间是 1 1 k 0 19 本小题共 14 分 www ks 5u co在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 解 I 因为点 B 与 A 1 1 关于原点 O 对称 所以点 B 得坐标为 1 1 设点 P 的坐标为 x y 由题意得 111 113 yy xx 化简得 x2 3y2 4 x 1 故动点 P 的轨迹方程为 x2 3y2 4 x 1 II 解法一 设点 P 的坐标为 x0 y0 点 M N 的坐标分别为 3 yM 3 yN 则直线 AP 的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 直线 BP 的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 令 x 3 得 00 0 43 1 M yx y x 00 0 23 1 N yx y x 于是 PMN 的面积 2 000 0 2 0 3 1 3 2 1 PMNMN xyx Syyx x 又直线 AB 的方程为 x y 0 AB 2 2 高考真题专家全解 10 点 P 到直线 AB 的距离 00 2 xy d 于是 PAB 的面积 00 00 11 2 2 222 PAB xy SAB dxy 当 S PAB S PMN时 得 2 000 00 2 0 3 1 xyx xy x 又 x0 y0 0 所以 3 x0 2 x02 1 由 3 x0 2 x02 1 解得 0 5 3 x 由 3 x0 2 x02 1 化简得 x02 3x0 4 0 9 12 0 无解 所以 0 5 3 x 因为 x02 3y02 4 所以 0 33 9 y 故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等 此时点 P 的坐标为 533 39 解法二 若存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等 设点 P 的坐标为 x0 y0 则 11 sin sin 22 PAPBAPBPMPNMPN 因为 APB 与 MPN 是对顶角 所以 sin APB sin MPN 所以 PA PB PM PN 所以 PAPN PMPB 将 A B M 投影到 y y0上 可得 00 00 1 3 3 1 xx xx 即 3 x0 2 x02 1 由 3 x0 2 x02 1 解得 0 5 3 x 由 3 x0 2 x02 1 化简得 x02 3x0 4 0 9 12 0 无解 所以 0 5 3 x 因为 x02 3y02 4 所以 0 33 9 y 故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等 此时点 P 的坐标为 533 39 20 本小题共 13 分 已知集合 Sn X X x1 x2 xn xi 0 1 i 1 2 n n 2 对于 A a1 a2 an B b1 高考真题专家全解 11 b2 bn Sn 定义 A 与 B 的差为 A B a1 b1 a2 b2 an bn A 与 B 之间的距离为 1 n ii i d A Bab 证明 A B C Sn 有 A B Sn 且 d A C B C d A B 证明 A B C Sn d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 设 P Sn P 中有 m m 2 个元素 记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d P 证明 d P 2 1 mn m 证明 I 设 A a1 a2 an B b1 b2 bn C c1 c2 cn Sn 因为 ai bi 0 1 所以 ai ai bi bi ai bi 0 1 i 1 2 n 从而 A B a1 b1 a2 b2 an bn Sn 又 1 n iiii i d A C BCacbc 由题意知 ai bi ci 0 1 i 1 2 n 当 ci 0 时 ai ci bi ci ai bi ai bi 当 ci 1 时 ai ci bi ci 1 ai 1 bi 1 ai 1 bi ai bi 所以 1 n ii i d A C BCabd A B II A a1 a2 an B b1 b2 bn C c1 c2 cn Sn d A B k d A C l d B C h 记 O 0 0 0 由 I 可知 d A B d A A B A d 0 B A k d A C d A A C A d 0 C A l d B C d B A C A h 所以 bi ai i 1 2 n 中 1 的个数为 k ci ai i 1 2 n 的 1 的个数为 l 设 t 是使 ai bi ci ai 1 成立的i的个数 则 h l k 2t 即 k l h 2t 偶数 由此可知 k l h三个数不可能都是奇数 即