2010年江苏省高考数学试题及答案.pdf

第 1 页 共 11 页 绝密绝密 考试结束前考试结束前 2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学试题及答案数学试题及答案 一 填空题 1 设集合 A 1 1 3 B a 2 a2 4 A B 3 则实数a 简析 由集合中元素的互异性有 a 2 3 或a2 4 3 a 1 或a2 1 舍 a 1 2 设复数 z 满足 z 2 3i 6 4i 其中 i 为虚数单位 则 z 的模为 简析 由题意 z 6 4i 2 3i 6 4i 2 3i 13 26i 13 2i z 2 3 盒子中有大小相同的 3 只白球 1 只黑球 若从中随机地摸出两只球 两只球颜色不同的概率是 简析 1 2 4 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量 从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度 棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标 所得数据都在区间 5 40 中 其频率分布直方图如图所示 则其抽样的 100 根中 有 根在棉花纤维的长度小于 20mm 简析 观察频率分布直方图 知有 0 06 5 100 30 根长度小于 20mm 5 设函数f x x ex ae x x R R R R 是偶函数 则实数a 简析 由偶函数 f x f x x ex ae x x e x aex x ex e x 1 a 0 x R R R R a 1 O m 0 06 0 05 0 04 0 03 0 02 0 01 40 35 30 25 20 15 10 5 6 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线x 2 4 y 2 12 1 上一点 M 点 M 的横坐标是 3 则 M 到双曲线右焦点的 距离是 简析 法一 直接运用焦半径公式求 因焦半径知识课本中未作介绍 此不重点说明 法二 基本量法求解 由题意知右焦点坐标为 F 4 0 M 点坐标为 3 15 MF 4 7 右图是一个算法的流程图 则输出 S 的值是 简析 读图知这是计算 S 1 21 22 2n的一个算法 由 S 2n 1 33 且 n 为正整数知 n 5 时跳出循环 此 时 输出 S 1 21 22 25 63 开始S 1 n 1 S S 2nS 33 n n 1 否 输出 S 结束 是 第 2 页 共 11 页 8 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为ak 1 k为正整数 a1 16 则 a1 a3 a5 简析 对原函数求导得 y 2x x 0 据题意 由a1 16 24依次求得a2 8 a3 4 a4 2 a5 1 所以a1 a3 a5 21 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 x2 y2 4 四个点到直线 12x 5y c 0 的距离为 1 则实数 c 的取值范 围是 简析 若使圆上有且仅有四点到直线 12x 5y c 0 距离为 1 则圆心到该直线之距应小于 1 即 c 13 1 解 得c 13 13 10 定义在区间 0 2 上的函数 y 6cosx 的图像与 y 5tanx 的图像的交点为 P 过点 P 作 PP1 x 轴于点 P1 直线 PP1与 y sinx 的图像交于点 P2 则线段 P1P2的长为 简析 由题意知线段 P1P2长即为垂线 PP1与 y sinx 图像交点的纵坐标 由 y 6cosx y 5tanx 6cosx 5tanx 6cos2x 5sinx 6sin2x 5sinx 6 0 x 0 2 sinx 2 3 P1P2 2 3 11 已知函数 f x x2 1 x 0 1 xf 2x 的 x 的范围是 简析 设 t 1 x2 当 x 1 时 t 0 2x1 时 t2 f 1 x2 1 f 2x 2x 2 1 5 显然不满足 f 1 x2 f 2x 当 1 x 0 时 t 0 2xf 2x x 1 当 0 x 1 时 t 0 2x 0 所以 f 1 x2 1 x2 2 1 1 f 2x 2x 2 1 由 f 1 x2 f 2x 1 x2 2 1 2x 2 1 x4 6x2 1 0 0 x 2 1 综上 x 1 2 1 12 设实数 x y 满足 3 xy2 8 4 x 2 y 9 则x 3 y4的最大值是 简析 由题意知 x y 均为非 0 的正实数 由 3 xy2 8 1 8 1 xy2 1 3 又 4 x 2 y 9 1 2 1 xy2 x2 y 3 即1 2 x y3 3 4 1 2 x2 y x y3 9 3 x3 y4 27 13 在锐角三角形 ABC A B C 的对边分别为a b c b a a b 6cosC 则 tanC tanA tanC tanB 简析 据正 余弦定理 由已知等式 角化边得 3c2 2a2 2b2 边化角得sin 2A sin2B sinAsinB 6cosC 因为tanC tanA tanC tanB tanC cosA sinA cosB sinB tanC sin A B sinAsinB sin2C sinAsinBcosC 至此 式还有多种变形 此不赘举 仅以下法解本题 据 式 式 6sin2C sin2A sin2B 6c2 a2 b2 又据 式 式 6sin2C sin2A sin2B 6c2 a2 b2 4 14 将边长为 1 的正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记 S 梯形的周长 2 梯形的面积 则 S 的最小值是 简析 如图 ABC 是边长为 1 的正 EF BC 四边形 BCFE 为梯形 设 AE x 0 x 1 则梯形 BCFE 周长 3 x 梯形 BCFE 面积 1 x2 3 4 所以据题意知 1 x x 第 3 页 共 11 页 S 3 x 2 3 4 1 x2 4 3 x 2 3 1 x2 0 x 1 对 S x 求导 令 S x 0 联系 0 x 1 得 x 1 3 又 0 x 1 3 S x 0 1 3 x0 所以 x 1 3时 S x 有最小值 S 1 3 32 3 3 二 解答题 15 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 AB t OC OC 0 0 求 t 的值 简析 据题意 本小问解法不唯一 如利用平行四边形性质求出第四点 D 然后运用两点间距离公式求两对角线 又如 亦可利用向量知识 求向量AB 与AC 和 差的模 两对角线长为 2 10 4 2 因为AB 3 5 OC 2 1 所以由 AB tOC OC 0 知 t 11 5 16 14 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 16 简析 证 因 PD 底面 ABCD BC 在底面上 所以 PD BC 又因 BCD 900 所以 BC DC 又 PD DC 相交于 D 所以 BC 平面 PDC 又 PC 在平面 PDC 上 所以 BC PC 即 PC BC 在底面 ABCD 上作 AE BC 交 CD 延长线于 E 则 E 在平面 PDC 上 在平面 PDC 上作 EF PC 交 PC 于 F 结合 推知 EF 平面 PBC 所以垂线段 EF 长就是点 A 到平面 PBC 的距离 在 PEC 中 利用面积的等积性有 EC PD PC EF 第 4 页 共 11 页 所以 EF 2 1 2 2 所以点 A 到平面 PBC 之距为 2 此法求解 主要依据线面平行时 直线上每一点到平面的距离都相等 另外 本题也可以通过构造三棱 锥 利用等积法来求点面距 如三棱锥 A PBC 与三棱锥 P ABC 实为同一个锥 而三棱锥 P ABC 的底 面积 1 2AB BC 1 高 PD 1 三棱锥 A PBC 的底面积 1 2PC BC 2 2 所以可求得三棱锥 A PBC 的高为 2 亦即点 A 到平面 PBC 的距离为 2 17 14 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 发现适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔实际高度为 125m 问 d 为多少时 最大 解析 17 d d d d h h h h 第 5 页 共 11 页 18 16 分 在平面直角坐标系xoy中 如图 已知椭圆x 2 9 y 2 5 1 的左右顶点为 A B 右焦点为 F 设过点 T t m 的直线 TA TB 与椭圆分别交于点 M x1 y1 N x2 y2 其中 m 0 y1 0 y2cSk都成立 求证 c 的最大值为9 2 20 16 分 设 f x 使定义在区间 1 上的函数 其导函数为f x 如果存在实数 a 和函数 h x 其中 h x 对任意的 x 1 都有 h x 0 使得f x h x x2 ax 1 则称函数 f x 具有性质 P a 第 8 页 共 11 页 设函数 f x h x b 2 x 1 x 1 其中 b 为实数 求证 函数 f x 具有性质 P b 求函数 f x 的单调区间 已知函数 g x 具有性质 P 2 给定 x1 x2 1 x11 1 若 g g g x1 g x2 求 m 的取值范围 理科附加题 21 从以下四个题中任选两个作答 每题 10 分 几何证明选讲 AB 是 O 的直径 D 为 O 上一点 过点 D 作 O 的切线交 AB 延长线于 C 若 DA DC 求证 AB 2BC 第 9 页 共 11 页 B O C A D 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中 A 0 0 B 3 C 2 1 设 k 0 k R M 10 0k k k k N 01 10 点 A B C 在矩 阵 MN 对应的变换下得到点 A1 B1 C1 A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍 求实数 k 的值 参数方程与极坐标 在极坐标系中 圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a 0 相切 求实数 a 的值 不等式证明选讲 已知实数a b 0 求证 a3 b3 ab a2 b2 第 10 页 共 11 页 22 10 分 某厂生产甲 乙两种产品 生产甲产品一等品 80 二等品 20 生产乙产品 一等品 90 二等品 10 生产