2011年高考理科数学试题解析(广东.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：柱体的体积公式V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值。 是正整数，则）1设复数满足 =2，其中i为虚数单位，则= A B C D【命题意图】本题考查复数的除法运算，是容易题.【解析】=，故选B.2已知集合A= (，)|，为实数，且，B=(，) |，为实数，且， 则A B的元素个数为A0 B 1 C2 D3【命题意图】本题考查集合的运算、直线与圆的位置关系，是容易题.【解析】集合A表示由圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有点的集合，直线过园内点（0,0），直线与圆有两个交点，故选.3若向量 A4 B3 C2 D0【命题意图】本题考查平面向量平行、垂直的充要条件，数量积的运算，是容易题.【解析】=0+0=0，故选D.4设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A+|是偶函数 B-|是奇函数C| +是偶函数 D|- 是奇函数【命题意图】本题考查函数的奇偶性，是容易题.【解析】因为是R上的奇函数,所以|是R上的偶函数,从而是偶函数,故选A.5.已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(，)为D上动点，点A的坐标为(，1)则的最大值为A. B. C.4 D.3【命题意图】本题考查数量积的坐标运算、简单线性规划，是容易题.【解析】如图,区域D为四边形OABC及其内部区域,目标函数为=,即为在轴的截距，由图知，当直线过时，=4，故选C.6.甲、乙两队进行排球决赛现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A. B. C. D.【命题意图】本题考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件概率计算，是容易题.【解析】设（=1,2）表示继续比赛时，甲在第局获胜，表示甲队获得冠军，则，=，故选D.7.如图l3某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.B. C. D.【命题意图】本题考查简单几何体的三视图及体积计算，是容易题.【解析】由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高=，该几何体的体积为=，故选D.【命题意图】本题考查利用新概念解决问题能力，属难题.【解析】由于，故整数1一定在两个集合中的一个中，不妨设1，则，由于，则，即，从而对乘法是封闭的，另一方面，当=非负整数，=负整数，关于乘法是封闭的，关于乘法不封闭，故D不对， 当=奇数，=偶数时，显然关于乘法都是封闭的，故B,C不对， 从而只能选A.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题每小题5分满分30分.(一)必做题(913题)来源:K9.不等式的解集是_.【命题意图】本题考查含绝对值不等式的解法，是容易题.【解析】，原不等式的解集为10.的展开式中，的系数是_ (用数字作答).【命题意图】本题考查二项展开式的通项，是容易题.【解析】所求的系数即展开式中项的系数，展开式的通项为=，则，解得=2，的系数为.11.等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式及方程思想，是中档题.【解析】（解法1）即=，即，由得=10.(方法2) ，从而，12.函数在 处取得极小值.【命题意图】本题考查利用导数求函数的极值，是容易题.【解析】=,的单调增区间，单调减区间为，在处取极小值.13.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.【命题意图】本题考查求线性回归方程及利用回归方程进行预报，是中档题.【解析】根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：父亲的身高(x)173170176儿子的身高(y)170176182 =173，=176，=1，=176-173=3，回归直线方程为，从而可预测他孙子的身高为182+3=（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .【命题意图】本题考查参数方程与普通方程互化和曲线的交点求法，是中档题.【解析】将化为普通方程得，将代入得，解得，=1，它们的交点坐标为.15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,且，是圆上一点使得，则 .【命题意图】本题考查切线性质、三角形相似的判定与性质，是容易题.【解析】是圆的切线，又，=35， 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和的余弦公式等基本知识，考查运算能力，是容易题.【解析】(1);(2)，又，又，.17.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）. 【命题意图】本题考查分层抽样、统计数据分析及其应、等可能事件概率计算、随机变量分布列及期望等基本知识，考查分析解决问题能力，是容易题.【解析】（1）乙厂生产的产品总数为；（2）从乙厂样品中抽取5件，编号为2,5的为优等品，则优等品的频率为，则乙厂生产的优等品的数量为；（3）， ，的分布列为012均值.18. （本小题满分13分）如图5，在椎体中，是边长为1的棱形，且, , 分别是的中点，（1）证明：;（2）求二面角的余弦值.【命题意图】 本题考查空间平行与垂直判定与性质、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力,是常规题.【解析】(1) 取AD的中点G，又PA=PD，由题意知ABC是等边三角形，又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，(2) 由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.注: 本题也可以,继而可证明第(1)问,并可进一步得到AD,DE,DF两两垂直,从而建立空间直角坐标系,再解决第(2)问.总的说来,本题用传统方法,还更简单.19. （本小题满分14分）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.【命题意图】本题考查圆与圆的位置关系、双曲线的定义、标准方程、直线与双曲线的位置关系、最值问题等基本知识与方法，考查数形结合思想、字母运算能力，是中档题.【解析】（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，由题意得或，=4=，可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则，所以轨迹L的方程为（），仅当时，取，由知直线，联立并整理得解得或，此时，所以最大值等于2，此时20.（本小题满分12分）设数列满足,(1)求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,.【命题意图】本题考查等比数列的定义、通项公式与前项和公式、等差数列的定义与通项公式、构造法求简单递推数列的通项公式及不等式的证明等基本知识与方法，考查转化与化归能力、推理论证能力，综合性较强，难度较大.【解析】（）法一：，得，设，则，（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，设，则，令，得，知是等比数列，又，法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，猜想显然成立；假设当时，则，所以当时，猜想成立，由知，（）（方法1）（）当时， ，故时，命题成立；（）当时，以上n个式子相加得，故当时，命题成立；综上（）（）知命题成立（方法2）当=2时，=2，=2，原不等式成立.当时，要证，只需证，即证即证，即证而上式右边=当时，原不等式也成立，从而原不等式成立.21.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系上，给定抛物线L:，实数p，q满足，是方程的两根，记。 （1）过点作L的切线交y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；(3)设D=，当点取遍D时，求的最小值和最大值.【命题意图】【解析】（），直线AB的方程为，即，方程的判别式，两根或，又，得，（）由知点在抛