2012高考四川文科数学试题及答案(高清版).doc

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)pk(1p)nk(k0,1,2，n)球的表面积公式 S4R2其中R表示球的半径球的体积公式 VR3其中R表示球的半径第一部分(选择题共60分)本部分共12小题，每小题5分，共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Aa，b，Bb，c，d，则AB()Ab Bb，c，dCa，c，d Da，b，c，d2 (1x)7的展开式中x2的系数是()A42 B35 C28 D213交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A101 B808 C1 212 D2 0124函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是()5如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC，ED，则sinCED()A BC D6下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|8若变量x，y满足约束条件则z3x4y的最大值是()A12 B26 C28 D339已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A B C4 D10如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足BOP60，则A，P两点间的球面距离为()A BC D11方程ayb2x2c中的a，b，c2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A28条 B32条 C36条 D48条12设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7()A0 B7 C14 D21第二部分(非选择题共90分)本部分共10小题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13函数的定义域是_(用区间表示)14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_15椭圆(a为定值，且)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_16设a，b为正实数现有下列命题：若a2b21，则ab1；若，则ab1；若，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|1.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率18已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若，求sin2的值19如图，在三棱锥PABC中，APB=90，PAB=60，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角BAPC的大小20已知数列an的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？21如图，动点M与两定点A(1,0)，B(1,0)构成MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C(1)求轨迹C的方程；(2)设直线yxm(m0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|PR|，求的取值范围22已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx2与x轴正半轴相交于点A设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距(1)用a和n表示f(n)；(2)求对所有n都有成立的a的最小值；(3)当0a1时，比较与的大小，并说明理由2 D含x2的项是展开式中的第三项T3x221x2，所以x2的系数是21.1DABa，bb，c，da，b，c，d，故选D3 B四个社区抽取的总人数为12212543101，由分层抽样可知，解得N808.故选B4C当x1时，yaa0，所以函数图象必过(1,0)点，只有C项满足故选C项5 B因为四边形ABCD是正方形，且AEAD1，所以AED.在RtEBC中，EB2，BC1，所以sinBEC，cosBEC.sinCEDsin(BEC)cosBECsinBEC.6C若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确错；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确；如图，平面=b，a，a，过直线a作平面=c，过直线a作平面=d，a，ac，a，ad，dc，c，d，d，又d，db，ab，C项正确；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，D项不正确7C因为，则向量与是方向相同的单位向量，所以a与b共线同向，即使成立的充分条件为C项8C作出可行域如图五边形OABCD边界及其内部，作直线l0：3x+4y=0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值由得B(4,4)，于是zmax=34+44=28，故选C9 B由抛物线定义，知23，所以p2，抛物线方程为y24x.因为点M(2，y0)在抛物线上，所以，故.10A过点A作AH平面BCD，平面BCD与底面所成的角为45，AO平面，且点B为交线上与平面的距离最大的点，点H在OB上，且AOB=45.过点H作HMOP，垂足为M，连接AM，在等腰直角三角形AOH中，AH=OH=.在RtHOM中，HOP=60，HM=OH.在RtAHM中，则在RtAMO中，cosAOP=，A，P两点的球面距离为.11 B因为a，b不能为0，先安排a，b，有种，c有种，所以表示的抛物线共有(条)又因为当b2时，b2都为4，所以重复的抛物线有(条)所以这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有36432(条)故选B12 D由f(a1)f(a2)f(a7)14知，(a13)3(a23)3(a73)3(a1a2a7)714.因为an是公差不为0的等差数列，所以(a13)3(a23)3(a73)37(a43)0.因为(a13)3(a73)3(a13)(a73)(a13)2(a73)2(a13)(a73)，令，同理(a23)3(a63)32(a43)(a2a6)2(a63)2(a43)M2，(a33)3(a53)32(a43)(a3a5)2(a53)2(a43)M3，(a43)3(a43)(a43)2，其中M20，M30，所以(a13)3(a23)3(a73)37(a43)(a43)M1(a43)M2(a43)M3(a43)(a43)27(a43)(a43)M1M2M3(a43)270，因为M1M2M3(a43)270恒成立，所以a430，a43，而a1a2a77a421.故选D13答案：(，)解析：12x0，f(x)的定义域为(，)14答案：90解析：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则(2，1，2)，(0,2,1)，故异面直线A1M与ND所成角为90.15答案：解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，AB与x轴交于点H，则|AF|=2a|AF1|，ABF的周长为2|AF|2|AH|2(2a|AF1|AH|)，AF1H为直角三角形，|AF1|AH|，仅当|AF1|AH|，即F1与H重合时，AFB的周长最大，即最大周长为2(|AF|AF1|)4a12，a3，而，c2，离心率.16答案：解析：a2b21，b20，a21，故a1，而，a1，b0，ab1，正确；，当，a2时，满足，而此时ab1，不正确；a，b为正实数，且，不妨设ab，则，而，不正确；a，b是正实数，不妨设ab，a3b3(ab)(a2b2ab)，ab，a31b31，a21，a2abb21，则，即|ab|1.同理，设ab，也能得到|ab|1的结论，故正确17解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么.解得.(2)(理)由题意，P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以，随机变量的概率分布列为0123P故随机变量的数学期望：.(文)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，那么.故系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.18解：(1)由已知，所以f(x)的最小正周期为2，值域为，(2)由(1)知，所以.所以sin2cos(2)cos2()12cos2().19解：解法一：(1)如图，连结OC由已知，OCP为直线PC与平面ABC所成的角设AB的中点为D，连结PD，CD因为AB=BC=CA，所以CDAB因为APB=90，PAB=60，所以PAD为等边三角形不妨设PA=2，则OD=1，AB=4.所以，.在RtOCP中，.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为.(2)过D作DEAP于E，连结CE.由已知可得，CD平面PAB根据三垂线定理知，CEPA所以CED为二面角BAPC的平面角由(1)知，.在RtCDE中，.故二面角BAPC的大小为arctan 2.解法二：(1)设AB的中点为D，连结CD因为O在AB上，且O为P在平面ABC上的射影，所以PO平面ABC所以POAB，且POCD由AB=BC=CA，知CDAB设E为AC中点，则EOCD，从而OEPO，OEAB如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设PA2，由已知可得，AB4，OAOD1，.所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(1,0)，P(0,0,)所以(1,)，而(0,0,)为平面ABC的一个法向量设为直线PC与平面ABC所成的角，则.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为.(2)由(1)有，(1,0,)，(2,0)设平面APC的一个法向量为n(x1，y1，z1)，则从而取，则y11，z11，所以n(，1,1)设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为m(0,1,0)，则.故二面角BAPC的大小为.20解：(1)取n1，得a122S12a1，a1(a12)0.若a10，则Sn0.当n2时，anSnSn1000，所以an0(n1)若a10，则.当n2时，2anSn,2an1Sn1，两式相减得2an2an1an，所以an2an1(n2)，从而数列an是等比数列，所以ana12n12n1.综上，当a10时，an0；当a10时，.(2)当a10且100时，令，由(1)有，bn2nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为lg 2)b1b2b6lg 10，当n7时，bnb7lg 10，故数列的前6项的和最大21解：(1)设M的坐标为(x，y)，当x1时，直线MA的斜率不存在；当x1时，直线MB的斜率不存在于是x1且x1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，有，化简可得4x2y240.故动点M的轨迹C的方程为4x2y240(x1且x1)(2)由消去y，可得3x22mxm240.(*)对于方程(*)，其判别式(2m)243(m24)16m2480，而当1或1为方程(*)的根时，m的值为1或1.结合题设(m0)可知，m0，且m1.设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根因为|PQ|PR|，所以|xQ|xR|，.所以.此时，且，所以，且，所以，且.综上所述，的取值范围是(1，)(，3)22解：(1)由已知得，交点A的坐标为(，0)对yx2an求导得y2x，则抛物线在点A处的切线方程为，即.则f(n)an.(2)由(1)知f(n)an，则成立的充要条件是