2019-2020学年高二上学期期末教学质量检测数学试题 PDF版含答案

2019 2020 学年第一学期期末教学质量监测学年第一学期期末教学质量监测 高二数学参考答案与评分标准高二数学参考答案与评分标准 说明 1 参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正 确解答应得分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 一 选择题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 C D D C B B C B A D B A 部分小题解答部分小题解答 8 解解 由 33 7Sa 得 1233 7aaaa 所以 312 6 0aaa 即 2 610qq 所以 11 23 qq 舍去 依题意得 24 10aa 即 3 1 10a qq 所以 1 16a 所以 5 5 1 16 1 2 31 1 1 2 S 故选 B 9 解解 若 n a是等比数列 则 n a是 n k a 与 n k a 的等比中项 所以原命题是真命题 从而 逆否命题是真命题 反之 若 nn k n kn aa nkn k aa N 则当1k 时 1 1 1 nn nn aa nn aa N 所 以 n a是等比数列 所以逆命题是真命题 从而 否命题是真命题 故选 A 10 解解 双曲线 2 2 1 3 y C x 的渐近线方程为3yx 无妨设60POF 因为POPF 2OFc 所以得 2cos601 2sin603POPF 所以PFO 的面积为 13 13 22 故选 D 11 解解 设BCx 则 1000 CD x 所以 1 1 11 1000 10 4 A BC D Sx x 10000 1040 4 x x 10000 10402 41440 x x 当且仅当 10000 4x x 即50 x 时 取 号 所以当50 x 时 1 1 11 A BC D S 最小 故选 B x z y M B D C A O 12 解解 取AC中点O 易证 ODAC ODOB ACOB 如上图 以O为坐标原点 OB uu u r 的方向为x轴正方向 建立空间直角坐标系Oxyz 由已知得 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 OBAC 0 0 2 3 0 2 2 3 DAD uuu r 0 2 2 3 DC uuu r 设 2 0 02 M aaa 则 4 0 AMaa uuur 设平面DAM的法向量 x y z n 由0 0ADAM nn uuu ruuur 得 22 30 4 0 yz axa y 可取 3 4 3 aaa n 所以 222 2 32 3 3 sin cos 4 4 3 4 3 aa DC aaa n uuu r 解得4a 舍去 4 3 a 所以 22 484 5 333 AM 故选 A 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 共共 20 分分 13 7 14 260 15 3 1 16 2 14 解解 因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数 所以座位数 n a构成等差数列 n a 因为 7 20a 所以 1137 137 13 13 2 13260 22 aaa Sa 15 解解法一法一 如图 因为 2 POF 为正三角形 所以 12 OFOPOF 所以 12 FPF 是直角三角形 因为 21 60PF F 21 2F Fc 所以 21 3PFc PFc 因为 21 2PFPFa 所以 32cca 即 2 3 1 31 c a 所以3 1e y x P F1 F2A O 解解法法二 二 如图 易得点 13 22 Pcc 代入 22 22 1 xy ab 得 222 22 22 13 2 2 1 cc b bc a a 解得3 1 c e a 16 解析解析 因为 111 BDADABADAAAB 所以 2 2 11 BDADAAAB 222 111 222ADAAABAD AAAD ABAA AB 1 1 1 2 cos602 cos602 cos602 所以 1 2BDBD 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 小题 满分满分 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 17 本小题满分 本小题满分 10 分 分 记 n S为公差不为零的等差数列 n a的前n项和 已知 22 19 aa 6 18S 1 求 n a的通项公式 2 求 n S的最大值及对应n的大小 17 解 解 1 设 n a的公差为d 且0d 由 22 19 aa 得 1 40ad 1分分 由 6 18S 得 1 5 3 2 ad 2分分 于是 1 8 2ad 4分分 所以 n a的通项公式为102 n an n N 5分分 2 由 1 得 1 8 2 2 n n n Sn 6分分 2 9nn 7分分 2 981 24 n 8分分 因为 n N 所以当4n 或5n 时 9分分 n S有最大值为20 10分分 18 本小题满分本小题满分 12 分分 已知抛物线C的顶点在原点 对称轴是x轴 并且经过点 1 2 抛物线C的焦点为 F 准线为l 1 求抛物线C的方程 2 过F且斜率为3的直线h与抛物线C相交于两点A B 过A B分别作准 线l的垂线 垂足分别为D E 求四边形ABED的面积 18 解 解 1 根据题意 设抛物线C为 2 2 0 ypx p 1分分 因为点 1 2 在抛物线上 所以 2 2 2p 即2p 2 分分 所以抛物线C的方程为 2 4yx 3分分 2 由 1 可得焦点 1 0 F 准线为 1l x 4分分 不妨设 112212 A x yB xyxx 过F且斜率为3的直线h的方程为3 1 yx 5 分分 由 2 4 3 1 yx yx 得 2 31030 xx 6 分分 所以 1 3x 2 1 3 x 代入3 1 yx 得 1 2 3y 2 2 3 3 y y x 60 O A BE D F 所以 3 2 3 A 7 分分 12 3 33 B 8 分分 注 注 A B 两点 算对一个得两点 算对一个得 1 分 分 所以 1 4 2 p ADx 9 分分 2 4 23 p BEx 10 分分 12 8 3 3 DEyy 11 分分 注 上面三条线段 算对一个得注 上面三条线段 算对一个得 1 分分 因为四边形ABED是直角梯形 所以四边形ABED的面积为 164 3 29 ADBEDE 12 分分 19 本小题满分本小题满分 12 分分 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD是菱形 PBPD 1 证明 平面APC 平面BPD 2 若PBPD 60DAB 2APAB 求二面角APDC 的余弦值 D A B C P 第1 9 题 E O D AB C P 第19 题 19 解 解 1 证明 记ACBDO 连接PO 因为底面ABCD是菱形 所以BDAC O是 BD AC的中点 1 分分 因为PBPD 所以POBD 2 分分 因为ACPOO 所以BD 平面APC 3 分分 因为BDBPD 平面 所以平面APC 平面BPD 4 分分 2 因为底面ABCD是菱形 60DAB 2APAB 所以BAD 是等边三角形 即2BDAB 因为PBPD 所以 1 1 2 POBD 5 分分 又sin603AOAB 2AP 所以 222 POAOAP 即POAO 6 分分 方法一 方法一 因为O是AC的中点 所以2CPAP 因为2CDAB 所以CPCD 所以PAD 和PCD 都是等腰三角形 7 分分 取PD中点E 连接 AE CE 则AEPD 且CEPD 所以AEC 是二面角APDC 的平面角 8 分分 因为POBD 且 1 1 2 POODBD 所以 22 112DP 9 分分 因为 22 214 2 22 AECE 22 3ACAO 10 分分 所以 222 5 cos 27 AECEAC AEC AE CE 11 分分 所以二面角APDC 的余弦值为 5 7 12 分分 O x y z P D AB C 第19 题 方法二 方法二 如图 以O为坐标原点 OA OB OP所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立 空间直角坐标系Oxyz 7 分分 则 3 0 0 A 0 1 0 D 0 0 1 P 3 0 0 C 7 分分 所以 3 1 0 DA 0 1 1 DP 3 1 0 DC 8 分分 设平面APD的法向量为 1 x y z n 由 1 1 0 0 DA DP n n 得 30 0 xy yz 令3y 得 1 1 3 3 n 9 分分 同理 可求平面PDC的法向量 2 1 3 3 n 10 分分 所以 12 12 12 cos n n n n nn 22 2222 1 1 3 33 3 1 3 313 3 11 分分 5 7 12 分分 所以 二面角APDC 的余弦值为 5 7 12 分分 20 本小题满分本小题满分 1 12 2 分分 数 列 n a的 前n项 和 为 n S 且 2 n Sn n N 数 列 n b满 足 1 2b 1 32 2 nn bbnn N 1 求数列 n a的通项公式 2 求证 数列 1 n b 是等比数列 3 设数列 n c满足 1 n n n a c b 其前n项和为 n T 证明 1 n T 20 解解 1 当1n 时 11 1aS 1 分分 当2n 时 1nnn aSS 22 1 21nnn 2 分分 检验 当1n 时 1 12 1 1a 符合 3 分分 所以 n a 21n n N 4 分分 2 当2n 时 11 111 132 13 1 3 111 nnn nnn bbb bbb 5 分分 而 1 13b 所以数列 1 n b 是等比数列 且首项为3 公比为3 6 分分 3 由 1 2 得 1 n b 1 3 33 nn 211 21 133 n n n n n an cn b 7 分分 所以 1231nnn Tccccc 231 11111 1 3 5 23 21 33333 nn nn 2341 111111 1 3 5 23 21 333333 nn n Tnn 由 得 1234 2111111 21 2 3333333 nn n Tn 8 分分 21 1 11 1 11 33 21 2 1 33 1 3 n n n 9 分分 1 1111 21 3333 nn n 222 1 333 n n 10 分分 所以 1 1 1 3 n n Tn 11 分分 因为 1 1 0 3 n n 所以1 n T 12 分分 21 本小题满分本小题满分 1 12 2 分分 如图 已知圆A 22 1 16xy 点 1 0 B是圆A内一个定点 点P是圆上任意 一点 线段BP的垂直平分线 1 l和半径AP相交于点Q 当点P在圆上运动时 点Q的轨迹为曲线C 1 求曲线C的方程 2 设过点 4 0 D的直线 2 l与曲线C相交于M N两点 点M在D N两点之间 是否存在直线 2 l使得 2DNDM 若存在 求直线 2 l的方程 若不存在 请说明理由 21 解解 1 因为圆A的方程为 22 1 16xy 所以 1 0 A 半径4r 1 分分 因为 1 l是线段AP的垂直平分线 所以 QPQB 所以 4APAQQPAQQB 2 分分 因为4 AB 所以点 Q 的轨迹是以 1 0 A 1 0 B为焦点 长轴长24a 的椭圆 3 分分 x y 第21 题 AB Q P O 因为2 1ac 222 3bac 4 分分 所以曲线C的方程为 22 1 43 xy 5 分分 2 存在直线 2 l使得 2DNDM 6 分分 方法一 方法一 因为点D在曲线C外 直线 2 l与曲线C相交 所以直线 2 l的斜率存在 设直线 2 l的方程为 4 yk x 7 分分 设 112212 M x yN xyxx 由 22 1 43 4 xy yk x 得 2222 34 32 6412 0kxk xk 8 分分 则 2 12 2 32 34 k xx k 2 12 2 6412 34 k x x k 9 分分 由题意知 2 222 32 4 34 6412 0kkk 解得 11 22 k 因为 2DNDM 所以 21 42 4 xx 即 21 24xx 10 分分 把 代入 得 2 1 2 4 16 34 k x k 2 2 2 4 16 34 k x k 把 代入 得 2 365k 得 5 6 k 满足 11 22 k 11 分分 所以直线 2 l的方程为 5 4 6 yx 或 5 4 6 yx 12 分分 方法二 方法二 因为当直线 2 l的斜率为 0 时 2 0 2 0 MN 6 0 2 0 DNDM 此时 2DNDM 7 分分 因此设直线 2 l的方程为 4xty 设 112212 N M x yxyxx 由 22 1 43 4 xy xty 得 22 34 24360tyty 8 分分 由题意知 22 24 4 36 34 0tt 解得2t 或2t 则 12 2 24 34 t yy t 12 2 36 34 y y t 9 分分 因为 2DNDM 所以 21 2yy 10 分分 把 代入 得 1 2 8 34 t y t 2 2 16 34 t y t 把 代入 得 2 536t 6 5 t 满足2t 或2t 11 分 分 所以直线 2 l的方程为 5 4 6 yx 或 5 4 6 yx 12 分分 22 本小题满分本小题满分 1212 分分 已知函数 2 f xxmxmn m n R 1 若关于x的不等式 0f x 的解集为 3 1 求实数 m n的值 2 设2m 若不等式 2 3f xnn 对x R都成立 求实数n的取值范围 3 若3n 且 1 x 时 求函数 f x的零点 22 解 解 1 因为不等式 0f x 的解集为 3 1 所以3 1 为方程 0f x 的两个根 由根与系数的关系得 3 1 3 1 m mn 即2m 1n 2 分 分 2 当2m 时 2 2 2 f xxxn 因