2015-2016学年高一上学期期末质量监控数学试题（解析版）

松江区2015学年第一学期质量监控试卷高一期末数学试卷一.填空题1.计算:_.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质以及换底公式即可求出【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了对数的运算性质以及换底公式，属于基础题2.不等式的解集用区间表示为_.【答案】【解析】【分析】直接将不等式等价为：，解出后再用区间表示即可【详解】，故答案为：.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及解集的表示方法，属于基础题3.幂函数的定义域为_(用区间表示).【答案】【解析】【分析】根据幂函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可【详解】解：幂函数，解得，函数的定义域为故答案为：【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于基础题4.方程的解为_.【答案】【解析】【分析】由指数函数的性质得，由此能求出【详解】解：，解得故答案为：【点睛】本题考查指数方程的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质、运算法则的合理运用5.函数的反函数的图像经过点,则_.【答案】【解析】【分析】函数的反函数的图象经过点，原函数的图象经过点，即可得出【详解】解：函数的反函数的图象经过点，原函数的图象经过点，解得故答案为：【点睛】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.某校高一年级的学生,参加科技兴趣小组的有65人,参加演讲兴趣小组的有35人,两个兴趣小组都参加的有20人,则两个兴趣小组至少参加一个的人数为_.【答案】【解析】【分析】利用韦恩图即可解答.【详解】解：由于参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则如图示，只参加科技兴趣小组的有人，只参加演讲兴趣小组的有人故两种小组至少参加一组的人数是：故答案为：【点睛】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，利用画图分析使思路更明了7.若集合,集合,则_.【答案】【解析】【分析】求出中的范围确定出，求出中的范围确定出，求出两集合的交集即可【详解】解：由中，得到，当时，中，当且仅当，即时取等号，当时，中，当且仅当，即时取等号，则， 故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算，函数的值域，熟练掌握交集的定义是解本题的关键8.设函数,则_.【答案】，【解析】【分析】先求出和的定义域，再化简即可【详解】解：由，解得且，即，故答案为：，【点睛】本题考查了函数解析式的求法，关键是求出函数的定义域，属于基础题9.若函数的图像经过第一二三象限,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由指数函数的图象过点，且在第一第二象限，可得把函数的图象向下平移，但平移单位小于1时，能使函数的图象经过第一、二、三象限，由此求得的范围【详解】解：如图，函数的图象是把函数函数的图象向上或向下平移个单位得到的，若函数的图象经过第一、二、三象限，则需把函数的图象向下平移，但平移单位小于，故答案为：【点睛】本题考查指数函数的图象变换，考查了函数图象的平移，属于基础题10.已知是奇函数,若且,则_.【答案】【解析】【分析】由可得，再根据函数奇偶性的性质求解即可【详解】解：是奇函数，若且，则，故答案为：【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的应用，属于基础题.11.若,下列4个命题:;,其中真命题的序号是_(写出所有正确序号).【答案】【解析】【分析】根据特殊值判断错误，根据不等式的性质判断正确【详解】解：，若，不成立；，时，不成立；，故成立；，时，不成立，其中真命题的序号是，故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查特殊值法的应用，属于基础题12.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用二次函数的对称轴，确定单调区间与对称轴之间的关系进行判断即可【详解】函数对称轴为，则函数在区间上单调递减，所以要使函数在区间上单调递减，则有：，解得，所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数单调性的应用以及二次函数的性质，属于基础题.13.函数值域为_.【答案】【解析】【分析】由函数的解析式可得，当时，；当时，综上可得的值域【详解】解：由于函数，故当时，当时，综上可得，故函数的值域为，故答案为：【点睛】本题主要考查求函数的值域，指数函数、对数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题14.函数的定义域为,且定义如下:(是实数集的非空真子集),若,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据条件先求出，的范围，根据定义将函数表示为分段函数形式，利用导数研究函数的单调性和最值即可【详解】解：，则，则，即当时，当时，此时恒成立，即此时为增函数，则， 当或时，综上函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据条件将函数表示为分段函数形式，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二.选择题15.给定命题:,则是( )A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】解：由：得，则，即，由“”推不出“”，故充分性不成立，由“”可以得到“”故必要性成立，则是的必要不充分条件，故选：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式等价条件是解决本题的关键，属于基础题16.若关于的方程无负数根,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】若方程无负数根，等价为，根据分式不等式的解法进行求解即可【详解】解：方程无负数根，当时，即，即，则，则，故选：【点睛】本题主要考查分式不等式求解，根据指数函数的性质以及分式不等式的解法是解决本题的关键，属于基础题17.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.【此处有视频，请去附件查看】18.定义域为的函数满足以下条件:(1)对于任意;(2)对于任意,当时,有;则以下不等式不一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化比较即可【详解】解：由；得，则函数是奇函数；对于任意，当时，有；则此时函数为增函数，在上是增函数，对于，则成立，对于根据函数的单调性可知，成立，对于根据函数的单调性可知，成立，对于与的关系不确定，故不一定成立的是，故选：【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键，属于中档题三.解答题19.解方程:;【答案】【解析】【分析】利用对数的运算法则得到，由此利用对数的性质列出不等式组，能求出方程的解【详解】解：，解得【点睛】本题考查对数方程的解法，属于基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用20.设集合，.(1)若，求实数的值;(2)若，求实数的范围.【答案】（1）；(2)或【解析】【分析】（1）AB，又B中最多有两个元素，A=B，从而得到实数的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围.【详解】（1）AB，又B中最多有两个元素，A=B，x=0，4是方程x2+2（a+1）x+a21=0的两个根，故a=1；（2）A=x|x2+4x=0，xRA=0，4，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，且BA故B=时，=4（a+1）24（a21）0，即a1，满足BA；B时，当a=1，此时B=0，满足BA；当a1时，x=0，4是方程x2+2（a+1）x+a21=0的两个根，故a=1；综上所述a=1或a1；【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征21.已知函数;(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性单调性;(不必证明)(3)画出函数的图像;【答案】（1）；（2）是偶函数，在上单调递增，上单调递减（3）图象见解析.【解析】【分析】（1）由对数的性质得，由此有求出函数的定义域（2）由，得到函数是偶函数当时，当时，由此能判断的单调性（3）当时，当时，先作出时，的图象，再由偶函数的图象关于思对称的性质作出时，的图象【详解】解：（1），解得函数的定义域为（2），函数是偶函数当时，此时是增函数，即在上单调递增；当时，此时是减函数，即在上单调递减（3）由（2）知当时，当时，且，先作出时，的图象，再由偶函数的图象关于轴对称的性质作出时，的图象，由此能画出函数的图象，如下图所示【点睛】本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性质的求法，函数图象的作法，属于基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用22.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从孔流入,经沉淀后从孔流出,设箱体的长度为米,高度为米,已知流出的水中该杂质的质量分数与的乘积成反比,现有制箱材料60平方米;(1)写出关于的表达式;(2)当各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质质量分数最小;(孔的面积忽略不计)【答案】（1）；（2）当，时，该杂质的质量分数最小.【解析】【分析】（1）根据流出的水中该杂质的质量分数与，的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，求出，满足的关系式；（2）先将实际问题转化成数学中的函数的最值问题，再利用基本不等式求解【详解】解：（1）由题意可得且即（2）因为该杂质的质量分数与，的乘积成反比，所以当最大时，该杂质的质量分数最小.由均值不等式得（当且仅当时取等号）所以，即（当且仅当时取等号）即，因为，所以，所以所以当且仅当即时，取得最大值，此时该杂质的质量分数最小.故当，时，该杂质质量分数最小.【点睛】此题考查了基本不等式的应用，考查了利用函数知识求解实际问题的知识，解题的关键是理解题意，根据题意构建函数关系，利用基本不等式的知识求最值23.已知函数;(1)当时,判断的奇偶性,并说明理由;(2)当时,若,求的值;(3)若且对任何,不等式恒成立,求实数的取值范围;【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）；（3）【解析】【分析】