2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-033数列解答题a.doc

七彩教育网 本资料来源于七彩教育网2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编03数列与数学归纳法三、解答题1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， -得 . ，设，则由得随的增大而减小时， 又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，即. 2、(江苏省启东中学高三综合测试二)(1)求证：函数y=f(x)的图象关于点（0.5，0.5）对称； (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值; 解：(1)设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点，关于(0.5，0.5)对称点的坐标为:(1-x,-1-y)1-f（1），即函数f（）的图象关于点（0.5，0.5）对称.(2)由()有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3 下面用数学归纳法证明当n=1时，左3，右1，31不等式成立当n=2时，左9，右4，94不等式成立令n=k(k2）不等式成立即32则1时，左313332右（1）222132（221）22212（0.5）21.5当2，N时，上式恒为正值则左右，即31（1）2，所以对任何自然数n，总有32成立，即对任何自然数n，总有b2成立3、(江苏省启东中学高三综合测试三)数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an3n (nN+)(1)若数列an+c成等比数列，求常数c的值；(2)求数列an的公式an；(3)数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由。解：（1）an=32n3（2）数列an中不存在可以构成等差数列的三项答案：4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知函数(x4)的反函数为，数列满足：a1=1，（N*），数列，是首项为1，公比为的等比数列（）求证：数列为等差数列；（）若，求数列的前n项和解：（）(x4)，(x0)， ，即（N*）数列是以为首项，公差为2的等差数列 （）由（）得：，即（N*）b1=1，当n2时， 因而，N* ，令 则 -，得 又 5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)设数列的前项和为，且，其中；（）证明：数列是等比数列。（）设数列的公比，数列满足，（求数列的通项公式；（）记，记，求数列的前项和为；解：（1）由， 相减得：，数列是等比数列 （2），是首项为，公差为1的等差数列；（3）时， -得：，所以：6、(江西省五校2008届高三开学联考)设数列 （I）求数列bn的通项公式； （II）若存在实数t，使得数列成等差数列，记数列的前n项和为Tn.证明：解：（I）由已知得， 2分，上述两式错位相减得：， 5分 6分 （II），当且仅当t = 0时，数列成等差数列，此时 9分错位相减得： 10分，7、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)是否存在常数a,b,c，使等式对一切正整数都成立？证明你的结论。解： , ，证明：略8、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设正数数列的前n次之和为满足= 求， 猜测数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明设，数列的前n项和为,求的值。解： 猜测 证明略 9、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)已知二次函数的图象过点且（1）求的解析式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）对于（2）中的数列，求证：；解：（1）由， 2分解之得，即； 4分（2）由，由累加得；7分（3）（） 当时，10分， ，所以不等式成立10、(四川省成都市一诊)已知递增数列满足：， ，且、成等比数列。（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足：， 。用数学归纳法证明：；记，证明：。解：（I），数列为等差数列，设公差为 。、成等比数列， .4分（II）即证 用数学归纳法证明如下：（1）当时，原不等式成立；（2）假设时原不等式成立，即 那么当时，当时原不等式也成立由（1）（2）可知 .4分证明：由，而， ， 。11、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知函数，定义：函数图象的渐近线是指与图象无限靠近，但永不相交的直线，若分别是图象的两条渐近线。求实数的值；若数列满足：，求数列的通项公式；数列满足：，数列的前项的和为，若恒成立，求实数的最小值。答：a=1, b=1；m的最小值为5；12、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有等式成立.(1)求数列an的通项公式;(2)令数列(其中c为正实数)，Tn为数列bn的前n项和，若Tn8对nN*恒成立，求c的取值范围.本题主要考查数列通项公式，前n项和公式，数列求和，数列的最值，以及综合运用数学方法解决问题的能力解：(1) 1分 3分又 4分(2) 5分设 7分 8分由题意对恒成立 10分由单调性得 要使对恒成立，故c8 12分c的取值范围是(8，)13、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知数列an中，an=2( n2，nN+) （1）若a1=，数列bn满足bn=( nN+)，求证数列bn是等差数列； （2）若a1=，求数列an中的最大项与最小项，并说明理由.（3）若1a12, 试证：1an+1 an2时，17、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知数列an为等差数列. （1）若a1=3，公差d=1，且的最大值； （2）对于给定的正整数m，若的最大值.（1）解：由解得6分 （2）解：所以即S的最大值为18、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知函数，数列是公差为d的等差数列，是公比为q（）的等比数列.若 ()求数列，的通项公式； ()设数列对任意自然数n均有，求 的值；()试比较与的大小. 解:() ， . 即 ， 解得 d =2. . . 2分 , . , .又， . 4分() 由题设知 ， . 当时, , , 两式相减,得. (适合). 7分 设T=, 两式相减 ,得 . . 9分() , . 现只须比较与的大小. 当n=1时, ； 当n=2时, ； 当n=3时, ； 当n=4时, . 猜想时，. 用数学归纳法证明 (1)当n=2时，左边，右边，成立. (2)假设当n=k时, 不等式成立，即. 当n=k+1时, . 即当n=k+1时，不等式也成立. 由（1）（2），可知时，都成立. 所以 （当且仅当n1时，等号成立） 所以.即.19、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)设数列的前项和为，已知（）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（）求；（）是否存在自然数，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由.解：（）当时， 2分得. 3分数列是以为首项，4为公差的等差数列.4分5分. 6分 = 8分=. 10分（）由得：， 11分. 13分令n2400，得n20，所以，存在满足条件的自然数n20.20、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知数列的前n项和为，当时，点在的图像上, 且 （）求数列的通项公式； （）设的最大值及相应的n值. （）当时，设（）点在的图像上, 公差为2的等差数列 当当6分 （）由已知得当且仅当n=1时，10分（）21、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)数列中， (为常数，) ，且（）求的值；（） 证明：； 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （）比较与的大小，并加以证明. （）解：依题意，由，得，解得，或（舍去）. . 3分（）解： 证明：因为，当且仅当时，.因为，所以，即 () . . 5分 数列有极限， . 6分 且 . . 7分 （）解：由，可得，从而.因为，所以 所以. 9分因为，由（） 得 (). 下面证明：对于任意，有成立. 当时，由，显然结论成立.假设结论对时成立，即因为，且函数在时单调递增， 所以.即当时，结论也成立. 于是，当时，有成立. 根据得 . . 12分由 及， 经计算可得所以，当时， ； 当时，； 当时，由， 得.22、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)在数列中，（）求的值；（）设，证明：是等差数列；（）求数列的前n项和。23、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)根据定义在集合A上的函数y=，构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据，计算出；若，则数列发生器结束工作；若，则输出，并将反馈回输入端，再计算出。并依此规律继续下去。现在有，。(1)求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；(2)若，记，求数列的通项公式；(3)在（2）得条件下，证明。解：（1）当，即时，由，可知，又，即故对任意 有，由 有， 有；以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列4分（2）由，可得，即。令，则，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列。，即=+1.9分（3）要证，即证，只需证，当时，有，因为，当时，由。所以，当时 1+1+又当m=1时，所以对于任意，都有所以对于任意，都有24、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知点列满足：，其中，又已知，.(1)若，求的表达式；(2)已知点B，记，且成立，试求a的取值范围；(3)设（2）中的数列的前n项和为，试求： 。解：（1），4分 （2），. 要使成立，只要，即为所求 9分（3） ， ，25、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)已知等差数列的前n项和为Sn，且（）， （）求数列的通项公式an； （）设，Tn为数列bn的前n项和，证明Tn0，且满足，数列的前n项和为Sn，且（！）求数列、的通项公式；（2）设，求.本小题考查数列通项的求法数列和的求支以及数列极限解：（1）由，等差数列的公差d0，（2）由（1）知仍是等比数列，其中首项公比27、(东北三校2008年高三第一次联考)已知数列的前项和为，点在直线上，其中.令，且， （1）求数列的通项公式； （2）若，求的表达式，并比较与的大小.解：（1），.（）.（）.（）.（）.数列为等比数列，其公比为，首项，而，且，. . （2）， .， 2. -得 -， ，.（）=.当时，=；当时，-（）=4（4-5）=-4，；当时，且，时，总有.时，总有28、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)设数列满足 （）求数列的通项； （）设，是数列的前n项和，求解：(I) 验证时也满足上式， (II) ， （1）（2）得 =29、(本小题满分12分)已知数列的首项为，前项和为，且点在直线上，为常数，。 （）求数列的通项公式；（）当，且最大时，试求的取值范围。解：（）由题意可知 数列是等差数列 （2分），当时，两式相减，得 （4分）时也成立 的通项公式为： （6分）（）由前项和公式得当时，最大， 则有 ，解得 30、(福建省莆田一中20072008学年上学期期末考试卷)在数列中，其中（）为等差数列，并求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立（）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立31、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知数列是正项等比数列，满足 （1）求数列的通项公式； （2）记恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）数列an的前n项和，2分又，3分是正项等比数列，4分公比，5分数列6分 （2）解法一：，由8分，当，10分又故存在正整数M，使得对一切M的最小值为212分 （2）解法二：，令，8分由，函数10分对于故存在正整数M，使得对一切恒成立，M的最小值为232、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知数列满足 （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和。33、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知在上有定义，且满足时有 若数列满足 。 （1）求的值，并证明在上为奇函数； （2）探索 的关系式，并求的表达式；（3）是否存在自然数m，使得对于任意的，有恒成立？若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由。 34、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知数列是正项等比数列，满足 （1）求数列的通项公式； （2）记恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）数列an的前n项和，2分又，3分是正项等比数列，4分公比，5分数列6分 （2）解法一：，由8分，当，10分又故存在正整数M，使得对一切M的最小值为212分 （2）解法二：，令，8分由，函数10分对于故存在正整数M，使得对一切恒成立，M的最小值为235、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)数列，是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。设，证明：当时，.解:设 ， 即 (2分) 故 (4分) (5分)又 (6分)故存在是等比数列 (7分)证明：由得 ，故 (8分) (9分) （11分）现证.当，故时不等式成立 （12分）当得，且由， 36、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知数列的前项和为，且有，.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和；（）若，且数列中的每一项总小于它后面的项，求实数的取值范围.解：（），（2分） ，（4分） （）， （6分）（8分）（），.（10分） ，.37、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知等差数列满足：，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列 的前三项 （）分别求数列，的通项公式，（）设若恒成立，求c的最小值 解：（）设d、q分别为数列、数列的公差与公比.由题可知，分别加上1，1，3后得2，2+d,4+2d是等比数列的前三项，4分由此可得6分 （）当，当，得9分在N*是单调递增的，满足条件恒成立的最小整数值为38、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知数列an有，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+an，并有Sn满足. （）求a的值； （）试确定数列an是否为等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； （）令是数列bn的前n项和，求证：解：（） 2分（） 3分 5分是一个以0为首项，p为公差的等差数列 6分（） 7分 9分 39、(广东省2008届六校第二次联考)设等比数列的公比为, 前项和为, 若成等差数列, 求的值. 解: 若, 则, , 不合要求; 3分若, 则, 6分 , 9分 综上, .40、(广东省2008届六校第二次联考)已知二次函数满足条件: ; 的最小值为.(1) 求函数的解析式;(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式;(3) 在(2)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的值最小? 求出这个最小值.解: (1) 由题知: , 解得 , 故. 3分(2) , 5分, 7分又满足上式. 所以. 8分(3) 若是与的等差中项, 则, 9分从而, 得. 10分因为是的减函数, 所以当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为. 12分又, 所以, 即数列中最小, 且.41、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）数列满足（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，证明解：()方法一：，所以 3分所以是首项为，公差为的等差数列 4分所以，所以 6分方法二：，猜测 2分下用数学归纳法进行证明当时，由题目已知可知，命题成立； 3分假设当()时成立，即，那么当，也就是说，当时命题也成立 5分综上所述，数列的通项公式为 6分（）设 则 8分函数为上的减函数，所以，即从而 10分 11分 13分42、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知数列an的前n项为和Sn，点在直线上.数列bn满足，前9项和为153. （）求数列an、bn的通项公式； （）设，数列cn的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值. （）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解：（）由题意，得 故当时，当n = 1时，而当n = 1时，n + 5 = 6，所以， 2分又，所以bn为等差数列，于是而 因此， 4分 （） 6分所以， 7分由于，因此Tn单调递增，故8分令 9分 （）当m为奇数时，m + 15为偶数.此时，所以 11分当m为偶数时，m + 15为奇数.此时，所以（舍去）. 13分综上，存在唯一正整数m =11，使得成立. 43、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)已知数列满足，且。（1）求数列的通项公式；(2) 证明；（3）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。解：（1）由得-1分由一元二次方程求根公式得-3分-4分 (2) -6分-8分（其它证法请参照给分）（3）解法1： -10分,，即数列有最大项，最大项为第一项。- -14分解法2：由知数列各项满足函数当时，当时，即函数在上为减函数即有数列有最大项，最大项为第一项。44、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知二次函数同时满足：不等式0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立，设数列的前项和（1）求函数的表达式；(2) 设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的变号数，令（）,求数列的变号数；（3）设数列满足：，试探究数列是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由解（）不等式0的解集有且只有一个元素解得或-2分当时函数在递增，不满足条件当时函数在（，）上递减，满足条件综上得，即-4分（）由（）知当时，当时-6分由题设可得-7分，都满足当时，即当时，数列递增，由，可知满足数列的变号数为。-9分（）,由（）可得：-11分-13分当时数列递增，当时，最小, 又，数列存在最小项-14分或,由（）可得：-11分对于函数函数在上为增函数，当时数列递增，当时，最小，-13分又，数列存在最小项45、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 （）求数列的通项公式； （）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数为f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b, 由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x. （2分） 又因为点均在函数的图像上，所以3n22n. （3分）当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5. （4分）当n1时，a1S13122615， （5分）所以，an6n5 （） （6分） （）由（）得知，（8分）故Tn（1）. （10分）因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10. （12分）46、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)已知数列中,且()求证：;()设,是数列的前项和,求的解析式;()求证：不等式对恒成立.解:故,1分又因为则,即3分所以, 4(2) = 6因为=所以,当时, 7当时,.(1)得(2) = 9综上所述: 10(3)因为又,易验证当,3时不等式不成立; 11假设,不等式成立,即两边乘以3得:又因为所以即时不