2013届东北三校高三第二次高考模拟考试理科数学试题及.docx

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1设非空集合P、Q满足 ，则（ ）A B ，有 C ，使得 D ，使得 2已知 ，其中 是实数， 是虚数单位，则 的共轭复数为（ ）A B C D 3设随机变量 服从正态分布N (3，7)，若 ，则a =（ ）A1 B2 C3 D44已知集合 ， ，且 ，则 A B C D 5已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ） 正视图 侧视图 俯视图（第5题图） （第6题图）A4+ B4+ C4+ D4+ 6如右上图，已知 为如图所示的程序框图输出的结果，二项式 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )A B C D 7先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件 为“x +y为偶数”， 事件 为“x ，y中有偶数且“ ”，则概率 （ ）A B C D 8正项等比数列 中，存在两项 使得 ，且 ，则 的最小值是( ) A B2 C D 9设 满足约束条件 ，若 恒成立，则实数 的最大值为( )A B C D 10已知函数 是偶函数，且 ，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是（ ） A8 B9 C10 D11 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题 分，共 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分11一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人12已知函数 ( )的图象如下图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为 13某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指， ，一直数到2013时，对应的指头是 (填指头的名称) 14设 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上任意一点，当 取最大值时的余弦值为 则（）椭圆的离心率为 ；（）若椭圆上存在一点 ,使 ( 为坐标原点)，且 ,则 的值为 （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果给分）15（选修4-1：几何证明选讲）如图,在ABC中,ABAC, 72 ,O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC ,则 16（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 的极坐标方程分别为 ， ，则曲线 与 交点的极坐标为 三、解答题：本大题共6小题，共 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分12分）设角 是 的三个内角,已知向量 ， ,且 .()求角 的大小； ()若向量 ,试求 的取值范围.18（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路堵车的概率为 ，不堵车的概率为 ；校车走公路堵车的概率为 ，不堵车的概率为 若甲、乙两辆校车走公路，丙校车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响 （）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为 ，求走公路堵车的概率；（）在（）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数 的分布列和数学期望学19（本题满分12分）如图， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ， ， .（）若 为 中点，求证： 平面 ；（）求平面 与 所成锐二面角的大小20（本题满分12分）已知正项数列an 的前 项和 ， （）求数列an的通项公式；（）定理：若函数 在区间D上是下凸函数，且 存在，则当 时，总有 请根据上述定理，且已知函数 是 上的下凸函数，证明：bn 32 21（本题满分13分）抛物线 : 上一点 到抛物线 的焦点的距离为 ， 为抛物线的四个不同的点，其中 、 关于y轴对称， ， ， ， ，直线 平行于抛物线 的以 为切点的切线（）求 的值；（）证明： ；（） 到直线 、 的距离分别为 、 ，且 ， 的面积为48，求直线 的方程22（本题满分14分）已知函数 在 处的切线的斜率为1（ 为无理数， ）（）求 的值及 的最小值；（）当 时， ，求 的取值范围；（）求证： （参考数据： ）数学（理）试卷答案及解析选择填空：BDCBA BBACB1120 12 13小指 14 ， 15216 1【解析】 故选B2【解析】 故选D3【解析】由题意知对称轴为 ，故选C4【解析】 故选B5【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分 ，所以该几何体的体积为 故选A6【解析】由程序框图得 ，通项公式 ， 的最小值为为5 故选B7【解析】 故选B8【解析】 ， ，解得 ，由 得 ， （当 取等），故选A9【解析】作出可行域，由 恒成立知 令 ，由图可知，当直线 与椭圆 相切时， 最小，消 得： 得 故选C10【解析】由题意可得 ， 函数的周期是4， 可将问题转化为 与 在区间 有几个交点 如图：由图知，有9个交点选B 11【解析】 12【解析】 ， ，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)S阴影 0(x3ax2)dx(14x413ax3)|0a112a4112，a 13【解析】小指对的数是5+8n，又2013=2518+5，数到2013时对应的指头是小指14【解析】设 分别为椭圆的长轴长，虚轴长，（）当点 位于短轴端点时， 最大， 得或设 ， ；（）取 中点 ，由 得 设 得， ， 15【解析】由已知得 ， ，解得 16【解析】由 解得 ，即两曲线的交点为 17【解答】()由题意得 ，即 ，由正弦定理得 ，再由余弦定理得 ， . () ， ， ， ，所以 ，故 .18【解答】（）由已知条件得 ， 即 ，则 （）解： 可能的取值为0，1，2，3 ； ； 的分布列为： 0 1 2 3所以 19【解答】（）证明：连结 ，交 与 ，连结 ， 在 中， 分别为两腰 的中点， ， 面 ，又 面 ， 平面 ， （）解法一：设平面 与 所成锐二面角的大小为 ，以 为空间坐标系的原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则 设平面 的单位法向量为 ，则可设 设面 的法向量 ，应有 ，即： ，解得： ，所以 ， ，所以平面 与 所成锐二面角为60.解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DHPG ，垂足为H，连结HC ，矩形PDCE中PDDC，而ADDC，PDAD=D，CD平面PAD CDPG，又CDDH=D，PG平面CDH，从而PGHC，DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，在 中， ， ，可以计算 ，在 中， ，所以平面 与 所成锐二面角为60.20【解答】（）当 时， 或 由于an 是正项数列，所以 当 时， ， 整理，得 由于an是正项数列， 数列an是以1为首项，1为公差的等差数列 从而 ，当 时也满足 （）由（）知 ， 又 是 上的下凸函数，根据定理，得 ，令 ，整理得 ， ， 21【解答】（） |QF|=3=2+ ，=2 （） 抛物线方程为 ，A( )， D( )， B( ) ，C( )， ， ， ， ， ， ，所以直线AC和直线AB的倾斜角互补， （）设 ，则m=n=|AD|sin ， ， 即 ，把 与抛物线方程 联立得： ， ， ，同理可得 ， ， ， 22【解答】（） ，由已知，得 a1此时 ， ，当 时， ；当 时， 当x0时，f(x)取得极小值，该极小值即为最小值，f(x)minf(0)0（）记 ， ,设 当 时， ， ， ， ， 时满足题意；当 时， ，得 , 当 ， ， 在此区间上是减函数， , 在此区间上递减， 不合题意.