2007年全国高中数学联赛(湖南赛区)试题与解答.pdf

OT年 湖南省高中数学竞赛试题 参考答案及评分标准 说明 1 评阅试卷时 请依据本评分标准 选择题和填空题严格按标准 给分 不设中间档次分 2 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评 卷时请参照本评分标准适当档次 评分 选择题 本大题共6个 小题 每小题6分 满分冗 分 在每小题给出的四 个选项中 只有一项是合乎题目要求的 1 1 设集合A 引 J2 3 2 0 B y 丿 2 3 J A 定 义对 于任意两个集合M N的 运算 M N M N 缶M N 则 A B A 2 B 2 3 C h 引 D 1 2 3 解 由 J2 3J 2 0得 1或 2 即 A 1 2 B y y 2 2 3 A 2 3 所 以A B 1 3 故选 C 2 函数 y 丑 与 y g 有相同的定义域 且对定义域中的任何 有 r J r 0 g J g 1 若 g J 1 的 解集是 引 J 0 则函 数F J 舞 r J 晷 A 奇函数 B 偶 函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数又不是偶函数 解 F J 的 定义域为 g J 1 0 即 J 0 所 以定义域关于原点对称 又 F J f 钎 羟岛 十 r r J 二 工鱼 屮f f B既 不在听音乐 也不在修指甲 如果 A不 在听音乐 那第 C不 在修指甲 D既 不在看书 也 不在修指甲 C既 不在看书 也不在听音乐 若上面的命题都是真命题 问她 们各在干什么 答 A 在 B 在 C 在 D 在 解 由 知 C在 修指甲 再由 的逆命题知 A在 听音乐 而由 知D 不看书 则在梳头发 故B在 看书 故填 听音乐 看书 修指甲 梳头发 8 已知 r 2007s i n 2008 3且 1 1 若 r 1 r 1 2 0 则 的取值范围是 解 因为 只 J OTs i n OB丿 在 1 1 上为 奇函 数 且 为 增函 数 又r 1 r 1 2 0 可 化为r 1 r c 2 1 所 以有 200库 湖南省高中数学竞赛答案A 第3页 共 8页 a 冂 p 解不等式组 得1 倔 故填 1 a f z 1 1 a 1t a 1 a2 1 1 a2 0 m N兴 所 以c 1 1是数列 c 中的 200戽湖南省高中数学竞赛答案A 第6页 共8页 最小项 丨 9丿 由 兰 时 对于一切自然数冗 都有r 0 即一 4 兰彘 c 所以 4J兰 c 1 1 即 4J 1 0 钐 解上述不等式 得 2 f s 或 J 2 f s 所以 取 2 f s 符 合题意 即最 大的 实 数 2一f s 1s 本小题满分z z 分 已知P是 椭圆C 彡 十 笳 1上 任意一点 证明 过点P存 在一条射线 以该射线为角平分线 可作无数 个椭圆的内接三角形 而且ZP的对边都互相平行 证明 若点 P是 长轴的端点 则取 轴上的射线 以该射线为角平分线 可作无数个椭圆的内接三角形 而且ZP的对边都互相平行于y 轴 若点P不 是长轴的端点 则可设点P的 坐标为P 己 s 3s i n 其中s j m 0 过 点P作 射线平行于y 轴 以该射线为角平分线作椭圆的内接三角形 PAB 又 设z P的对边AB所 在的直线方程是y 彻 十彳 显然 如果存在一个 m 的 值 使得对于任意的 彳的值 都有尼AP 尼 P 0 即屁 AP 一 尼 P 贝 刂 命题就获得了证明 将 y 饨 m 代 人芋 笳 1 并 化简得 2z 32 J2 2 2饣 J刃 E 2 z 2 a 232 0 设 A Jb y 1 B J2 y 2 贝刂 2a2 mn 1 J 2 a 2 D2 a2 z2 c2 3 2 J1J2 2z D2 由 a A P 尼 P o 得 0 即 0 进 丁步化为 200评湖南省高中数学竞赛答案A 第 7页 共 8页 z 3 s i n m s 助 J 2 2 1 J 2 2 汕 s 卩 s i n 2 c z O o s 0 将 代人整理 得 扬 嗡 i n J 3 2 O o s e 冗 汕 2 m c 2 凸 啊 2 O o s n 3 3 s s i n 0 令 汕 s i n GOs 0 即 仍 取 定 召 牢 四 时 对 任 意 的彳恒 成 立 于 是 命题得证 丿 本小题满分 z z 分 试求方程f i 2 0在区间 O z O 内有多少个实根 解 设丿 f h 当y O时 方程的解为 鬲 0 z O 尼 z 所 以 禹 尼 0 1 2 1z 7 共1z 8个 根 当泥 2时 y f i n 的 图象才有可能与 y 2的 图象相交 所以 窒 奥 翁 罗 7孓菇 了 l 刍 痦 讶 髫 筲 函数 宀 盂 n 在 荫 而 石 上 其图象从 顶 而 开始递增 再 递减回到点 巧 t 且 y 咖 刂d 刈 故在区间 顶 而 石 内 方 程 i n C