高三总复习函数概念及表示方法.doc

数学高考总复习：函数的概念与性质 编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3. 了解简单的分段函数，并能简单应用4. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义5. 会运用函数图象理解和研究函数的性质重点：会求一些简单函数的定义域和值域，理解分段函数及其简单应用，会运用函数图象理解和研究函数的性质。难点：分段函数及其简单应用；运用函数图象理解和研究函数的性质知识要点梳理知识点一：函数的概念1.映射设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：AB。理解：（1）映射是从集合A到集合B的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应.（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合.（3）集合A到集合B的映射 f：AB是一个整体,具有方向性； f：AB 与 f：BA 一般情况下是不同 的映射.（4）给定一个集合A到集合B的映射 f：AB,且aA,bB,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将 元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：ab,则b叫做a的象,a叫 做b的原象.（5）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象.2.函数的定义（1）传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).（2）现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合C=f(x)|xA叫做函数的值域.理解：集合A、B是两个非空数集；f表示对应法则；f：AB为从集合A到集合B的一个映射；值域CB。3.函数的表示函数关系可用列表法，图象法，解析法来表示. 解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 当对应法则可以用解析式表达时，一般用符号y=f(x)表示，此时解析式本身就是从定义域到值域的 对应法则. 列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实 用的函数. 图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是 数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.4.函数的三要素函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则.只有两个函数的定义域，值域，对应法则完全相同，它们才是同一函数.知识点二：函数的性质1单调性（1）定义：设函数f(x)的定义域为I,区间DI.如果对任意,D,当时,都有 (或),则称f(x)是区间D上的增(减)函数.区间D称为f(x)的单调区间.如果函数f(x)在区间(a,b)上是增函数或是减函数，那么就称f(x)在区间(a,b)上具有单调性，称为单调函数。理解： 单调性立足于函数定义域的某一子区间.相对于整个定义域而言,单调性往往是函数的局部性质,而对 于这一区间而言,单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质.因此定义中的,具有任意性,不 能以特殊值代替. 函数f(x)在区间D上递增(或递减),与f(x)图像在区间D上部分(从左向右)的上升(或下降)是一样的. 注意到定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关 系相互贯通: f(x)在D上为增函数且f()f(),且,D; f(x)在D上为减函数且f()f(),D.(2)定义的应用单调性的定义,是判断,证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为： 设值定大小:设,为给定区间上任意两个自变量值,且; 作差并变形:作差f()-f(),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形; 定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式.(3)延伸单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数;单调性相反的两个函数的复合函数必为减函数.2、奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.理解：()上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.()判断函数奇偶性的步骤:考察函数定义域;考察f(-x)与f(x)的关系;根据定义作出判断.()定义中条件的等价转化f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)0)f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) =1 (f(x)0)(2)延伸() 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有f(x)=+ =g(x)+p(x)其中,g(x)= 为偶函数,p(x)= 为奇函数.即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.()若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0.(3)奇(偶)函数图像的特征()奇函数图像关于原点对称;()偶函数图像关于y轴对称.(4)奇偶性与单调性的联系当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:设G,G为函数（）的定义域的子区间，并且区间与关于原点对称，则有()当（）为奇函数时，（）在区间和区间上的单调性相同；()当（）为偶函数时，（）在区间和区间上的单调性相反这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反3.周期性定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T0，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，称y=f(x)为周期函数，T为周期函数f(x)的周期。由定义可以得到： 作为周期函数的定义域应是“无界”的，如(-,+)，或至少有一端是“无界”的， 如：0, +)，或(-,0。这是因为定义中的等式f(x+T)=f(x)，其中x是对于定义域D中的每一个 x都有x+TD，则区间D一定是“无界”的才能得保证在T0时x+TD。例如y=sinx, 当xR或x 0,+)或x(-,0时都是周期函数，而当x0,10p或x0,100p等都不能构成周期函数。 若函数y=f(x)是周期函数且有一个周期为T(T0)，则T的非零整数倍即nT(nZ, n0)都是f(x)的周 期。规律方法指导1、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：（1）是整式时，定义域是全体实数。（2）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。（3）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。（4）对数函数的真数大于零；当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。（5）中，；中，。（6）零指数幂的底数不能为零。（7）若是有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的 定义域的交集。（8）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数 的定义域应由不等式解出。（9）对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。（10）由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。2求函数值域主要有以下一些方法：（1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可通过观察法求得值 域。（2）二次函数可用配方法求值域。（3）分子、分母是一次函数的有理函数，可用反函数法求得值域，或用分离常数法。（4）单调函数可根据函数的单调性求得值域。（5）函数图象是函数的重要性质，利用数形结合的方法，根据图象求得函数值域。（6）有的函数可拆配成重要不等式的形式，利用重要不等式求值域。（7）解析法：将某些式子根据其几何意义，运用解析几何知识求值域（或最值）。（8）运用导数求值域。（9）无理函数可用换元法，尤其是三角代换求得值域。（10）分子、分母中含有二次项的有现函数，可用判别式法。在此必须注意，在利用配方法、重要不等式、判别式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时需注明等号成立的条件。经典例题精析类型一：映射的概念1以下对应中，从集合A到集合B的映射有_；其中_是函数 。 （1） （2） （3） （4）思路点拨: 依据映射的定义及函数的定义判断.解析：（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。总结升华：1. 判断是否映射的方法：先看集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；再看集合A中的每个元素的象 是否唯一；2. 函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数.举一反三：【变式1】下列集合到集合的对应是映射的是（ ）A、：中的数平方；B、：中的数开方；C、：中的数取倒数；D、：中的数取绝对值；【答案】A；解析：B选项中1开平方的结果是，在B中有两个象，B不是映射；C选项中的倒数不存在，C不是映射；D选项中的绝对值还是，不是正数，D也不是映射。【变式2】设集合A=R，集合B=R，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）A 、 B、 C、 D 、【答案】C；解析：A、B、D中元素没有象。【变式3】设集合，则下述对应法则中，不能构成A到B的映射的是（ ）A、 B、C、 D、【答案】D；解析：在D中在B中没有象。【变式4】如下图可作为函数的图像的是( ) A B C D【答案】D；解析：作为函数的图像，就看每一个自变量是否对应唯一一个函数值。2. 已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在 作用下的原像。思路点拨: 求在作用下的像，即已知，求；求在 作用下的原像，即为已知，求.解析：， 所以在作用下的像是； 或 所以在作用下的原像是.总结升华：弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键.举一反三：【变式1】给定映射，点的原象是_。【答案】；解析：【变式2】在映射，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】A；解析：类型二：函数的概念3下列各组函数中表示同一函数的是_。（1），； （2）；（3）；（4）。思路点拨:判定两个函数相同的方法：当两个函数的三要素相同或者两个函数的对应法则与定义域相同时，两个函数是相同的。解析：表示同一函数的是（1）、（3）。 其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。总结升华：对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。对应法则是函数的核心，如（1）、（3）的对应法则是相同的。举一反三：【变式1】下面各组函数中为相同函数的是（ ）A、， B、，C、， D、，【答案】C；解析：A中两函数的定义域不同，的定义域不含；B中两函数的定义域也不同，的定义域为，而的定义域为R；D中的对应法则不同。【变式2】下列各组函数的图象相同的是（ ）A、 B、C、 D、 【答案】D；解析：实质为函数相同。A、C中两个函数的定义域不同；B中的对应法则不同。4设，求，；思路点拨: 将看作一个整体，换元，求出，再求出.解析：设（），则（）， () ()， ().总结升华：换元法是常用的求解析式法，注意新元的范围，最后要给出函数的定义域；也可以用 配凑的方法；除以之外，若已知函数类型，还可以利用待定系数法求函数解析式。举一反三：【变式1】设，则_【答案】；解析：.【变式2】（1）若，求； （2）已知，求； （3）已知，求的值。【答案】（1）解法一：，。解法二 ：令x+3=y，则x=y3。 。 （2） 在中用代换得 ， 代入中解得； （3）， 于是有。【变式3】 已知函数分别由下表给出： 则满足的的值是_.【答案】2；解析：；.中.类型三：函数的定义域5求下列函数的定义域； ；思路点拨: 求给定解析式的函数的定义域的依据是使式子有意义，如分式的分母不为0，偶次方根的被开方数大于或等于0，零指数幂的底数不为0，对数的真数大于0且底数为不等于1的正数等等。建议写成不等式组的形式，以免遗漏。解析：（1）由得， 所以函数的定义域为：。（2）由得， 所以函数的定义域为：。总结升华：求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（1）； （2） ()【答案】（1）由得，所以函数的定义域为：。（2）由得, , , , 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，. 综上，时，；时，；时，.【变式2】已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】由的定义域是R，则恒成立， 当时，显然成立； 当时，； 当时， 综上，选C。【变式3】若的定义域为，求的定义域。【答案】；解析：本题的实质是求在时的值域。 令，当时，。 故的定义域为。6已知的定义域为，求的定义域.解析：中, 中，即，解得或 所求定义域是.总结升华：有关复合函数的定义域问题，要明确：（1）定义域是指单一的自变量的取值范围.如本题中的定义域为即；而 的定义域，同样只指中的单一的自变量的取值范围.（2）在同一法则之下，括号内的整体范围是一致的。如本题中，应是函数的自变量的 范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的的定义域是中的取值范围， 此处的取值范围已不是中的的取值范围；但中的与中的的整 体范围是相同的，可以此为桥梁求解。举一反三：【变式1】已知函数的定义域为，求函数的定义域。【答案】由【变式2】设函数，则函数的定义域是_。【答案】由函数知，所以类型四：分段函数7已知函数，求：（1）的值；（2）的定义域、值域。思路点拨: 求解分段函数的问题，应该按、分别求，然后再得到答案。解析：（1）， （2）的定义域为，即 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得的值域为。总结升华：分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。举一反三：【变式】设，则_，_.【答案】：。解析：，；，.8若, , ，设为、中的较大者，求的解析式。解析：在同一坐标系中做出三个函数、的图象。由图可知，的图象就是图中用红色标注的折线。令，解出，即A点横坐标为，令，解出, 即B点横坐标为【变式1】当在实数集R上任取值时，函数相应的值等于、2 、三个之中最大的那个值（1）求与；（2）在给定的坐标系中画出的图象，并写出的解析式；【答案】（1), （2）【变式2】对定义域是、的函数、，规定：函数 。（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域.【答案】(1)；(2) 当时，,时, （当且仅当时等号成立），则,时, （当且仅当时等号成立），则.函数的值域是.类型五：函数的性质9设是偶函数（1）求的值;（2）证明：在上为增函数思路点拨:依据偶函数的定义求出a的值，然后可以用导数或单调性的定义证明。解析：（1）方法一：是偶函数且其定义域为，解得或， 方法二：是偶函数且其定义域为，当时即，解得或 （2）方法一：定义法由（1）知：设，则， ，即故在上为增函数。方法二：导数法 由（1）知：， 时 时 故在上为增函数。总结升华：偶函数在其定义域内恒成立，因此可以应用恒等式的相关方法进行处理。在利用定义法证明单调性的时候，必须注意书写格式的规范。举一反三：【变式1】已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0，又.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在-3，6上的最大值与最小值【答案】(1)证明：令x=y0，可得f(0)+f(0)=f(0+0)，从而f(0)0令y-x，可得f(x)+f(-x)=f(x-x)0，即f(-x)-f(x)，故f(x)为奇函数。(2)证明：设x1、x2R，且xlx2，则x1x20，于是f(xl-x2)0从而f(x1)-f(x2)=f(xl-x2)+x2-f(x2)f(xl-x2)+f(x2)-f(x2)f(xl-x2)0所以f(x) 在R上是减函数。(3)解析：由(2)知，所求函数的最大值为f(-3)，最小值为f(6)f(-3)-f(3)=-f(2)+f(1)-2f(1)-f(1)=-3f(1)2，f(6)-f(-6)-f(-3)+f(-3)=-4于是，f(x)在-3，6上的最大值为2，最小值为-4点评：对于抽象函数问题的求解，一般方法是取特例进行归纳与验证，也可联想满足该性质的函数，如f(x)kx(k0)，即满足上述条件【变式2】已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减【答案】(1)证明：由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0f(x)=f(x)，f(x)为奇函数(2)证明：先证f(x)在(0，1)上单调递减令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x21,x2x10,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1)f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0f(x)在(1，1)上为减函数。高考题萃1（2008全国I）函数的定义域为（ ）A B C D答案：C.解析：由且得或.2（2008安徽）函数的定义域为_答案：解析：由且且得3（2008江西）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）A B C D答案：解析：令，则，4（2008山东文）设函数则的值为（ ）A B C D答案：A解析：， .5（2008天津）已知函数，则不等式的解集是（ ）(A) (B) (C) (D) 答案：C解析：等价于或 ，解得或，.6（2008全国I）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ） A B C D答案：A解析：根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知。7（2008全国II）函数的图像关于（ ）A轴对称 B 直线对称C 坐标原点对称D 直线对称答案：C解析：函数是奇函数，图像关于坐标原点对称.8（2008山东）函数的图象是（ ） A B C D答案：A解析：函数是偶函数，图像关于轴对称， 又时， ， 选A，不能选C.9（2008山东）设函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）(A) 3 (B)2 (