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高中数学必修1必修4 知识汇编一、集合理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键，数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具。1 集合 A、B，时，你是否注意到“极端”情况：或；例如：（1）已知集合若，则实数p的取值范围是 。（）2 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 3 ， .二、函数函数问题的切入点是函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等4 映射 (1) 映射中第一个集合中的元素必有像，但第二个集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且仅有下一个，但中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”. (2)函数图像与轴垂线至多一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.5 函数的几个重要性质： （一）对称性：（1） 如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称.（2） 函数与函数的图象关于y轴对称.（3）函数与函数的图象关于x轴对称.（4）函数与函数的图象关于原点对称. （二）周期性：如果函数对于一切，都有，那么函数是周期函数，T=2a； 特别：若恒成立，则.若恒成立，则.若恒成立，则.如果是周期函数，那么的定义域“无界”（三）翻折变换： y=|f(x)|保留函数y=f(x) 在x轴上方图象，再将函数y=f(x) 在x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去就得到y=|f(x)|的图像 。 y=f(|x|) 作出函数y=f(x)在y轴右边图象，再将函数y=f(x)在y轴右边的图象以y轴为对称轴翻折过去，就得到y=f(|x|)的图像 。6 作函数图象常用方法有三种：1列表描点法；2基本函数图象变换法（常见的基本函数有:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、对号函数） 7 在处理有关指数函数、对数函数、三角函数与整式函数相结合的方程根的问题时，通常采用数形结合的方法。8 求二次函数区间上的最值问题时你注意了x的取值范围吗？求最值问题的常用方法有哪些？（二次函数法、三角函数法等）9 单调性和奇偶性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的单调性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.对于偶函数而言有：.（2）若奇函数定义域中有0，则必有.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、定号）；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.10. 抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义求解。11. 解决抽象函数问题的基本策略是：赋值叠代、数形结合、原型启迪。12. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.例：函数的值域是R，则的取值范围是 。（）13. 对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（）14. 你还记得对数恒等式吗？（）15. “实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？或已经指出，你是否注意到自变量的限制条件？例：关于x的方程2kx2+(8k+1)x+8k=0 有两个不相等的实根，则k的取值范围是 ： k-1/16 且k 0 三、三角函数16. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性及其它性质了吗？ 例：已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，则的值是 。（）17. 一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半（如的周期都是, 但的周期为，的周期为）18. 函数是周期函数吗？（都不是）19. 三角函数图像相位变换时要紧扣“针对自变量”、周期变换时要紧扣“周期的变化”例1、 为了得到函数的图像，只要将的图像向 平移 个单位即可 （左，）例2、将函数的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，就可以得到的图像向 （）20. 在三角中，你知道1等于什么吗？（这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用（例如：，21. 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换（如 等）22. 你还记得诱导公式的口诀吗？（奇变偶不变，符号看象限奇偶指什么？怎么看待角所在的象限？）23. 你还记得三角化简的通性通法吗？（弦切互化、降幂公式二倍角公式逆用、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次，即化统一的思想：统一函数名称,统一次数,统一角）24. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()25. 引入辅助角公式：（其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定）在求最值、化简时起着至关重要作用. 四、平面向量26. 向量解题的基本思路：（1）几何法：像、等都具备几何意义，解题时若能充分利用可起到事半功倍之效果；例：已知向量，向量，则的最大值是 如图将和起点放在原点，则和终点都在半径为2的圆上，故的最大值是4 （2）选基底：一般选已知模长、夹角且不共线的两个做基底 （3）建立平面直角坐标系：只要将各点坐标顺利求出，运用向量极为方便。27.三点A、B、C共线证明方法：（1）平行向量共点法： (0) (2) 线外一点法：高一数学（必修一）寒假作业一、选择题：（每题5分，满分60分）1、下列四个集合中，是空集的是（ ）A B C D 2设A=a，b，集合B=a+1，5，若AB=2，则AB= （ ）A、1，2 B、1，5 C、2，5 D、1，2，53函数的定义域为 （ ）A、1，2)(2，+） B、(1，+） C、1，2) D、1，+)4设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表1 映射f的对应法则原像1234像3421表2 映射g的对应法则原像1234像4312 则与相同的是 （ ） ABCD5、下图是指数函数、 、 、 的图象，则与1的大小关系是（ ）A BC D6函数y= | lg（x-1）| 的图象是 （ ）7. 已知，则三者的大小关系是 （ ）A、 B、 C、 D、8函数y=ax2+bx+3在上是增函数，在上是减函数，则 （ ）A、b0且a0 B、b=2a0 D、a，b的符号不定 9函数上的最大值与最小值的和为3，则（ ）A、B、2C、4D、10设，则使为奇函数且在（0，+）上单调递减的值的个数为 （ ）A、1 B、2 C、3 D、411已知实数且，则的取值范围为 ( ) A； B； C； D。12、函数，则=A2005 B2006 C2007 D2008二、填空题：（每题4分，满分16分）13求值： ， ；14已知幂函数的图象过点，则= ；15、若，则 16、根据下列表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是 101230371272739200912345三、解答题：（本题满分74分，要求写出必要的步骤和过程）17（本小题12分）已知集合A=，B=，且，求由实数所构成的集合，并写出的所有子集。18、（本小题12分）计算：（1）（2）19、（本小题满分12分）已知 ，函数,求：（1）函数的定义域； （2）函数的值域20（本小题满分12分）探究函数的最小值，并确定取得最小值时x的值.列表如下：x0.511.51.71.922.12.22.33457y8.554.174.054.00544.0054.024.044.355.87.57请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题. 函数在区间（0，2）上递减，则函数在区间 上递增； 函数,当 时， ； 函数时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？ 21（本小题12分）设函数（、）满足：，且对任意实数x均有0成立， 求实数、的值； 当时，求函数的最大值. 22. （本小题满分14分） 已知函数是定义在上的函数,若对于任意,都有，且0时,有0 判断函数的奇偶性；判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； 设,若 ,对所有,恒成立,求实数的取值范围.高一数学寒假作业（必修4 第1、3章）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、 以下命题正确的是 （ ） A都是第一象限角，若，则B都是第二象限角，若，则C都是第三象限角，若，则D都是第四象限角，若，则2、 设,且,则（ ）A B CD3、函数在上的图像大致是 （ ） 4、化简： （）AB.C.D.5、锐角满足则的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）6、已知，则 （ ）（A）是第三象限角 （B）是第四象限角（C） （D）7、函数的图像的一条对称轴方程为 （ ）（A） （B） （C） （D） 8、 已知则等于 （ ）（A）（B）（C）（D）9、函数的最小值是，其图像中相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3，又图像经过点（0，1），则这个函数的解析式是 （ ）（A） （B）（C） （D）10、已知函数，则下列结论中正确的是 （ ）（A）是奇函数 （B）不是周期函数 （C）定义域-1，1 （D）值域是11、若，,，则的值等于 （ ）（A） （B） （C） （D）12、判断下列各命题：若是第一象限角，且，则；函数是偶函数；若函数，则是偶函数，是奇函数若函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像。 其中正确有命题为 （ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13、cos43cos77+sin43cos167的值为 _.14、要得到的图像，且使平移的距离最短，则需将函数的图像向_平移_单位，即可得到.15、由函数与函数的图像围 成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_.16、关于三角函数的图像，有下列命题正确的有 .与的图像关于轴对称；与的图像相同；与的图像关于轴对称；与的图像关于轴对称；三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（12分）(1)已知，求证：(2)求函数的最大值和最小值18、（12分）已知函数(1)求的单调递增区间； (2) 若求的最大值和最小值19、（12分）已知函数在一个周期内的图像如图所示（1）求函数的解析式；（2）设，求，的值20.（12分）已知函数. （1）若，求函数的值； （2）求函数的值域. 21、（12分）已知函数（I）求函数的最小正周期；（II）求使函数取得最大值的集合。22、（14分）函数的最小值为.（1）求； （2）若，求及此时的最大值.必修4第二章平面向量单元练习 一、选择题1在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若=（ ）ABCD2对于菱形ABCD，给出下列各式： 2其中正确的个数为（ ）A1个 B2个 C3个D4个3在 ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（ ）AB CD4已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）A BC D5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），则第四个点的坐标为（ ）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）6与向量 平行的单位向量为（ ）ABC或 D7若，则的数量积为 （ ）A10B10C10D108若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量,则的坐标为 ( ）A B CD9设kR，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（ ）ABCD10已知，且，则的夹角为 （ ）A60 B120 C135 D15011在ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是ABC的重心，则 等于 （ ）ABCD12已知，满足：对任意，恒有，则（ ） ABCD二、填空题13非零向量满足，则的夹角为 .14在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是 15已知，若平行，则= .16已知为单位向量，=4，的夹角为，则方向上的投影为 .17两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b相对于粒子a的位移 ；（2）求S在Sa方向上的投影 。三、解答题18已知非零向量满足,求证: 19已知在直角ABC中，求k的值.20设是两个不共线的向量，若A、B、D三点共线，求k的值.21已知 ,的夹角为60o, , ,当当实数为何值时， 22如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：PA=EF；PAEF. 23如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.750ABC东北45024一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h的速度向前航行，货船以21mile/h的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货船的位移及cosABC。 高一寒假数学试卷（必修1、4综合）一、选择题：(本大题共12小题每小题5分；共60分)1若，则是 ( )A B C D2已知向量=(3，1)，=(2k1，k），则k的值是 ( )A1 B C D 3下列函数中，在（0，）上单调递增的是 ( )Ay=sin（x） By=cos（x） Cy=tan Dy=tan2x 4有下列命题：；，其中正确命题的个数是 ( )A0个B1个C2个D3个5已知角与120角的终边相同，那么的终边不可能落在 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6若幂函数在(0，+)上是增函数，则 ( )A1 B.1 C. =1 D.不能确定7已知f(x)=ax2bxc（a0），分析该函数图象的特征，若方程f(x)=0一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是 ( )A23 B4acb20 Cf(2)0 Df(3)08下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 ( )A. B. C. D. 9函数是( ) A周期为的偶函数 B周期为的奇函数C周期为的偶函数 D周期为的奇函数10的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为 ( )A . B . C. D. 11已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是( ) A B C D 12设,点是线段上的一个动点, ,若,则实数的取值范围是 ( )A B. C. D.二、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分）13已知，与的夹角为60，则 14在中，则最短边的边长 15已知tan（）=2，则的值是 16某同学在借助计算器求“方程lgx=2x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgxx2，算得f(1)0，f(2)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x1.8 那么他又取的x的4个值分别依次是 17已知集合A= x|log2（x1）1，集合B=x|34x26x0，则AB= 18函数取得最大值时，的集合为 三、解答题：（本大题共5小题；共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，求点、点的坐标。20（本小题满分10分）已知=(2sinx，m)，=(sinxcosx，1），函数f(x)=（xR)，若f(x)的最大值为 （1）求m的值； （2）若将f（x)的图象向左平移n(n0）个单位后，关于y轴对称，求n的最小值21（本小题满分10分）已知，且，求的值。22（本小题满分10分）某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线。()写出服药后与之间的函数关系式;()据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效,求服药一次治疗该疾病有效的时间多少小时?23（本小题满分10分）已知f(x)是定义域为（0，）的函数，当x（0，1）时,0现针对任意正实数x、y，给出下列四个等式： ； ； ； 请选择其中的一个等式作为条件，使得在（0，）上为增函数并证明你的结论解：你所选择的等式代号是 证明： 高一数学寒假作业试题参考答案（必修一）一、选择题： C D A D B C C B B B