人教A版必修2 第三章 习题课 交点坐标及两点间距离 学案.docx

习题课交点坐标及两点间距离学习目标1.能熟练求出两直线的交点坐标.2.理解直线过定点的含义.3.能解决简单的对称问题.4.体会坐标法的基本思想.知识点一两直线的交点坐标已知直线l1：a1xb1yc10；l2：a2xb2yc20，点a(a，b).(1)若点a在直线l：axbyc0上，则有：aabbc0.(2)若点a是直线l1与l2的交点，则有：知识点二两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点三两点间的距离公式(1)条件：点p1(x1，y1)，p2(x2，y2).(2)结论：|p1p2|.(3)特例：点p(x，y)到原点o(0,0)的距离|op|.1.直线ykxk恒过定点(1,0).()2.点p(x1，y1)关于点m(x0，y0)的对称点是p(2x0x1,2y0y1).()类型一直线恒过定点问题例1求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标.考点恒过定点的直线题点求直线恒过的定点坐标解方法一对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程组得两条直线的交点坐标为(2，3).将点(2，3)代入方程组左边，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).方法二将已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0整理为(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，有解得所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0).跟踪训练1已知直线(a2)y(3a1)x1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限.考点恒过定点的直线题点恒过定点的直线的应用证明将直线方程整理为a(3xy)(x2y1)0.因为直线3xy0与x2y10的交点为，即直线系恒过第一象限内的定点，所以无论a为何值，直线总经过第一象限.类型二对称问题例2(1)求点p(x0，y0)关于点a(a，b)的对称点p的坐标；考点对称问题的求法题点点关于点的对称问题解根据题意可知点a(a，b)为pp的中点，设点p的坐标为(x，y)，则根据中点坐标公式得所以所以点p的坐标为(2ax0,2by0).(2)求直线3xy40关于点(2，1)的对称直线l的方程.考点对称问题的求法题点直线关于点的对称问题解方法一设直线l上任意一点m的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，1)的对称点为m1(4x，2y)，且m1在直线3xy40上，所以3(4x)(2y)40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.方法二在直线3xy40上取两点a(0，4)，b(1，1)，则点a(0，4)关于点(2，1)的对称点为a1(4,2)，点b(1，1)关于点(2，1)的对称点为b1(3，1).可得直线a1b1的方程为3xy100，即所求直线l的方程为3xy100.反思与感悟(1)点关于点的对称问题：若两点a(x1，y1)，b(x2，y2)关于点p(x0，y0)对称，则p是线段ab的中点，并且(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点p对称，则：l1上任意一点关于点p的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点p的对称点必在l1上；若l1l2，则点p到直线l1，l2的距离相等；过点p作一直线与l1，l2分别交于a，b两点，则点p是线段ab的中点.跟踪训练2与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是()a.3x2y20b.2x3y70c.3x2y120d.2x3y80考点对称问题的求法题点直线关于点的对称问题答案d解析由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x3y60平行，则可设所求直线方程为2x3yc0.在直线2x3y60上任取一点(3,0)，关于点(1，1)的对称点为(1，2)，则点(1，2)必在所求直线上，2(1)3(2)c0，解得c8.所求直线方程为2x3y80.例3(1)点p(3,4)关于直线xy20的对称点q的坐标是()a.(2,1) b.(2,5)c.(2，5) d.(4，3)考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案b解析设对称点坐标为(a，b)，由题意，得解得即q(2,5).(2)在平面直角坐标系中，直线y2x1关于yx2对称的直线l的方程为()a.x4y110 b.4xy110c.x2y70 d.x2y70考点对称问题的求法题点直线关于直线的对称问题答案d解析直线y2x1关于yx2对称的直线是直线l，联立得直线l过点(3，5).在直线y2x1上取一点a(0,1)，设点a关于yx2对称的点为b(a，b)，则点b在直线l上.设ab与直线yx2的交点为m，则m，解得直线l过点(3，5)和(3，2)，直线l的方程为，整理得x2y70.反思与感悟(1)点关于直线的对称问题求p(x0，y0)关于axbyc0的对称点p(x，y)时，利用可以求点p的坐标.(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；过直线l上的一点p且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点a，b，则点p是线段ab的中点.跟踪训练3一束光线从原点o(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点p(4,3)，求反射光线的方程.考点对称问题的求法题点光路可逆问题解设原点关于l的对称点a的坐标为(a，b)，由直线oa与l垂直和线段ao的中点在l上，得解得点a的坐标为(4,3).反射光线的反向延长线过点a(4,3)，又反射光线过点p(4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3.类型三运用坐标法解决平面几何问题例4在abc中，ad是bc边上的中线，求证：|ab|2|ac|22(|ad|2|dc|2).考点坐标法的应用题点坐标法的应用证明设bc所在边为x轴，以d为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设a(b，c)，c(a,0)，则b(a,0).|ab|2(ab)2c2，|ac|2(ab)2c2，|ad|2b2c2，|dc|2a2，|ab|2|ac|22(a2b2c2)，|ad|2|dc|2a2b2c2，|ab|2|ac|22(|ad|2|dc|2).反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练4已知等腰梯形abcd中，abdc，对角线为ac和bd.求证：|ac|bd|.考点坐标法的应用题点坐标法的应用证明如图所示，建立平面直角坐标系，设a(0,0)，b(a,0)，c(b，c)，则点d的坐标是(ab，c)，|ac|，|bd|.故|ac|bd|.1.已知点a(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点p(x，y)到原点的距离是()a.2 b.4c.5 d.考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案d解析由题意知解得p(4,1)，则|op|.2.直线3xmy10与4x3yn0的交点为(2，1)，则mn的值为()a.12 b.10c.8 d.6考点两条直线的交点题点已知相交关系，求参数的值答案b解析将点(2，1)代入3xmy10可求得m5，将点(2，1)代入4x3yn0，得n5，所以mn10，故选b.3.当a取不同实数时，直线(2a)x(a1)y3a0恒过一个定点，这个定点的坐标为_.考点恒过定点的直线题点求直线恒过的定点坐标答案(1，2)解析直线方程可写成a(xy3)2xy0，则该直线系必过直线xy30与直线2xy0的交点，即(1，2).4.已知点p(3,2)与点q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为_.考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案xy10解析线段pq的垂直平分线就是直线l，则klkpqkl1，得kl1.pq的中点坐标为(2,3)，直线l的方程为y3x2，即xy10.5.已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.考点恒过定点的直线题点恒过定点的直线的应用(1)证明直线l的方程可化为ya，所以不论a取何值，直线l恒过定点a，又点a在第一象限，所以不论a取何值，直线l恒过第一象限.(2)解令x0，得y，由题意知，0，解得a3.所以a的取值范围为3，).1.解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(其中为常数)形式，可通过求解定点.2.有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称点p(x，y)关于o(a，b)的对称点p(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点a(a，b)关于直线axbyc0(b0)的对称点为a(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.一、选择题1.直线l1：xmy60与l2：(m2)x3y2m0只有一个公共点，则()a.m1且m3b.m1且m3c.m1且m3d.m1且m1考点两条直线的交点题点已知相交关系，求参数的值答案a解析两线相交，其系数关系为13m(m2)0，解得m3且m1.2.直线l1：2x3y12与l2：x2y40交点坐标为()a. b.c. d.考点两条直线的交点题点求两条直线的交点坐标答案a3.光线从点a(3,5)射到x轴上，经反射后经过点b(2,10)，则光线从a到b的距离是()a.5 b.2c.10 d.5考点对称问题的求法题点光路可逆问题答案d解析点a(3,5)关于x轴的对称点的坐标为a(3，5).光线从a到b的距离是|ab|5.4.已知m(0，1)，点n在直线xy10上，且直线mn与直线x2y30垂直，则点n的坐标是()a.(2，3) b.(2,1)c.(2,3) d.(2，1)考点两条直线的交点题点求两条直线的交点坐标答案c解析设点n的坐标为(x，x1)，直线mn与直线x2y30垂直，kmn1，kmn2，即2，解得x2，故点n的坐标为(2,3).5.两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点a，b，则|ab|的值为()a. b. c. d.考点恒过定点的直线题点恒过定点的直线的应用答案c解析直线3axy20过定点a(0，2)，直线(2a1)x5ay10过定点b，由两点间的距离公式，得|ab|.6.设a，b是x轴上的两点，点p的横坐标为2，且|pa|pb|，若直线pa的方程为xy10，则直线pb的方程为()a.xy50 b.2xy10c.2yx40 d.2xy70考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案a解析由已知得a(1,0)，p(2,3)，由|pa|pb|，得b(5,0)，由两点式得直线pb的方程为xy50.7.点p(a，b)关于l：xy10对称的点仍在l上，则ab等于()a.1 b.1 c.2 d.0考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案b解析点p(a，b)关于l：xy10对称的点仍在l上，点p(a，b)在直线l上，ab10，即ab1.二、填空题8.(2017浙江杭州名校协作体月考)已知点a(0,1)，直线l1：xy10，直线l2：x2y20，则点a关于直线l1的对称点b的坐标为_，直线l2关于直线l1的对称直线的方程是_.考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案(2，1)2xy50解析设b(x，y)，则解得即b(2，1).由得设c(4,3)，由(1)得l2上的点a(0,1)关于直线l1的对称点为b，因此所求对称直线过b，c两点，所以y3(x4)，即2xy50.9.直线axby20，若满足3a4b1，则直线必过定点_.考点恒过定点的直线题点求直线恒过的定点坐标答案(6，8)解析3a4b1，ba，则直线axby20可化为axy20，即为y8a(4x3y)，由得直线必过定点(6，8).10.已知坐标平面内两点a(2,2)，b(2,2)，若在x轴上求一点p，使|pa|pb|，则此时|pa|的值为_.考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案解析设所求点p的坐标为(x,0)，由|pa|pb|及两点间的距离公式，得，化简得8x8，解得x1，所以所求点p的坐标为(1,0)，所以|pa|.11.若一束光线沿直线2xy20入射到直线xy50上后反射，则反射光线所在的直线方程为_.考点对称问题的求法题点光路可逆问题答案x2y70解析在直线2xy20上取点a(1,0)，点a关于直线xy50的对称点为a，设a(m，n)，则解得a(5,6)，又直线2xy20与xy50的交点为b(1,4)，直线ab的方程为，即x2y70，即为反射光线所在直线的方程.三、解答题12.已知直线l：(2m)x(12m)y43m0.(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；(2)过(1)中定点(记为m)作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被点m平分，求直线l1的方程.考点恒过