黑龙江省大庆一中2016届高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年黑龙江省大庆一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）a2b2cd2函数的图象关于（）ay轴对称b直线y=x对称c坐标原点对称d直线y=x对称3已知m=x|x=a2+2a+2，an，n=y|y=b24b+5，bn，则m，n之间的关系是（）amnbnmcm=ndm与n之间没有包含关系4设函数，则下列结论正确的是（）f（x）的图象关于直线对称f（x）的图象关于点对称f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象f（x）的最小正周期为，且在上为增函数abcd5已知等差数列an的前，且满足条件=（）ab2016cd20156已知f1、f2为双曲线c：x2y2=2的左、右焦点，点p在c上，|pf1|=2|pf2|，则cosf1pf2=（）abcd7已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（）a0，b（，0，+）c2，d（，2，+）8对于下列四个命题p1：x0（0，+），（）x0（）x0p2：x0（0，1），logx0logx0p3：x（0，+），（）xlogxp4：x（0，），（）xlogx其中的真命题是（）ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p49已知数列an是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）a2b2cd4210若曲线c1：x2+y24x=0与曲线c2：y（ymxx）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）a（，）b（，0）（0，）c，d（，）（，+）11已知椭圆（ab0）上一点a关于原点的对称点为点b，f为其右焦点，若afbf，设abf=，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）abcd12已知，平面区域d由所有满足（1a，1b）的点p构成，其面积为8，则4a+b的最小值为（）a13b12cd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13过抛物线y2=8x的焦点f作倾斜角为135的直线交抛物线于a、b两点，则弦长ab的长为14如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n1，nn）个点，每个图形总的点数记为an，则a6=； +=15设非直角abc的内角a、b、c所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是（写出所有正确结论的编号）“sinasinb”是“ab”的充分必要条件；“cosacosb”是“ab”的充分必要条件；“tanatanb是“ab”的充分必要条件；“sin2asin2b”是“ab”的充分必要条件；“cos2acos2b”是“ab”的充分必要条件16已知圆o1：（x2）2+y2=16和圆o2：x2+y2=r2（0r2），动圆m与圆o1、圆o2都相切，切圆圆心m的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2（e1e2），则e1+2e2的最小值是三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=2cosx（sinxcosx）+m（mr），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间内的最大值为（）求实数m的值；（）在abc中，内角a、b、c的对边分别是a、b、c，若，且a+c=2，求abc的周长l的取值范围18已知四棱锥pabcd的底面abcd是菱形，abc=60，ab=pc=2，（1）求证：平面pad平面abcd；（2）求二面角apcb的余弦值19已知数列an中，的对称轴为（1）试证明2nan是等差数列，并求an的通项公式；（2）设an的前n项和为sn，求sn20已知d为圆o：x2+y2=8上的动点，过点d向x轴作垂线dn，垂足为n，t在线段dn上且满足（1）求动点t的轨迹方程；（2）若m是直线l：x=4上的任意一点，以om为直径的圆k与圆o相交于p，q两点，求证：直线pq必过定点e，并求出点e的坐标；（3）若（2）中直线pq与动点t的轨迹交于g，h两点，且，求此时弦pq的长度21已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设f（x）=2f（x）3x2kx（kr），若函数f（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数f（x）在点（x0，f（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22如图：已知圆上的弧，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点，证明：（）ace=bcd（）bc2=becd23已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4（）求实数a，b的值；（）求+的最大值24选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆c的方程为=6sin（i）求圆c的直角坐标方程；（）设圆c与直线l交于点a，b若点p的坐标为（1，2），求|pa|+|pb|的最小值2015-2016学年黑龙江省大庆一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）a2b2cd【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的基本概念，列出方程求解即可【解答】解：依题意由复数为纯虚数可知，且，求得m=2故选：a2函数的图象关于（）ay轴对称b直线y=x对称c坐标原点对称d直线y=x对称【考点】奇偶函数图象的对称性【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案【解答】解：f（x）=+x=f（x）是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选c3已知m=x|x=a2+2a+2，an，n=y|y=b24b+5，bn，则m，n之间的关系是（）amnbnmcm=ndm与n之间没有包含关系【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果【解答】解：m=x|x=a2+2a+2=（a+1）2+1，an=2，5，10，n=y|y=b24b+5=（b2）2+1，bn=1，2，5，10，所以mn故选：a4设函数，则下列结论正确的是（）f（x）的图象关于直线对称f（x）的图象关于点对称f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象f（x）的最小正周期为，且在上为增函数abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性【分析】研究函数的性质，可利用代入法，将2x+看做整体，若它的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标，则其对应的x值即为所研究函数的对称轴或对称中心横坐标，同理2x+所在区间为正弦函数的单调增区间，则其对应的x所在区间为所研究函数的单调增区间，由此判断的正误，利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、偶函数的定义可证明正确【解答】解：2+=，x=不是正弦函数的对称轴，故错误；2+=，（，0）不是正弦函数的对称中心，故错误；f（x）的图象向左平移个单位，得到y=sin2（x+）+=sin（2x+）=cos2x，y=cos2x为偶函数，故正确；由x，得2x+，不是正弦函数的单调递增区间，故错误；故选a5已知等差数列an的前，且满足条件=（）ab2016cd2015【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知得a1+a2015=1，由此能求出等差数列an的前2015项和【解答】解：，且，a1+a2015=1，等差数列an，=故选：c6已知f1、f2为双曲线c：x2y2=2的左、右焦点，点p在c上，|pf1|=2|pf2|，则cosf1pf2=（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义，结合|pf1|=2|pf2|，利用余弦定理，即可求cosf1pf2的值【解答】解：将双曲线方程x2y2=2化为标准方程=1，则a=，b=，c=2，设|pf1|=2|pf2|=2m，则根据双曲线的定义，|pf1|pf2|=2a可得m=2，|pf1|=4，|pf2|=2，|f1f2|=2c=4，cosf1pf2=故选c7已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（）a0，b（，0，+）c2，d（，2，+）【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论【解答】解：z=2+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到d（0，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得，即a（3，2），则ad的斜率k=，cd的斜率k=，则k的取值范围是k或k2，则k+2或k+20，即z或z0，故选：b8对于下列四个命题p1：x0（0，+），（）x0（）x0p2：x0（0，1），logx0logx0p3：x（0，+），（）xlogxp4：x（0，），（）xlogx其中的真命题是（）ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p4【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据幂函数的单调性，我们可以判断p1的真假，根据对数函数的单调性，及指数函数的单调性，我们可以判断p2，p3，p4的真假，进而得到答案【解答】解：p1：x0（0，+），（）x0（）x0，是假命题，原因是当x0（0，+），幂函数在第一象限为增函数；p2：x0（0，1），logx0logx0，是真命题，如；p3：x（0，+），（）xlogx，是假命题，如x=时，；p4：x（0，），1，是真命题故选：d9已知数列an是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）a2b2cd42【考点】等比数列的性质；定积分【分析】求定积分可得a2013+a2015=，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=22=，a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014a2012+2a2014a2014+a2014a2016=+2a2013a2015=（a2013+a2015）2=2故选：a10若曲线c1：x2+y24x=0与曲线c2：y（ymxx）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）a（，）b（，0）（0，）c，d（，）（，+）【考点】直线与圆的位置关系【分析】曲线c1表示以c1：（2，0）为圆心、半径等于2的圆；当m0时，曲线c2表示x轴及过点（1，0）且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆 （x4）2+y2=16 相交，根据圆心到此直线的距离小于半径，求得m的范围当m=0时，检验不满足条件综合可得m的范围【解答】解：曲线c1：x2+y24x=0 即（x2）2+y2=4，表示以c1：（2，0）为圆心、半径等于2的圆对于曲线c2：y（ymxm）=0，当m0时，曲线c2即 y=0，或y=m（x+1），表示x轴及过点（1，0）且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆（x2）2+y2=4相交，故有2，求得m，且m0当m=0时，曲线c2：即y2=0，即y=0，表示一条直线，此时曲线c2和曲线c1只有一个交点，不满足条件综上可得，实数m的取值范围是（，0）（0，），故选：b11已知椭圆（ab0）上一点a关于原点的对称点为点b，f为其右焦点，若afbf，设abf=，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：ab=nf，再根据椭圆的定义：|af|+|an|=2a，由离心率公式e=由的范围，进一步求出结论【解答】解：已知椭圆（ab0）上一点a关于原点的对称点为点b，f为其右焦点，设左焦点为：n则：连接af，an，af，bf所以：四边形afnb为长方形根据椭圆的定义：|af|+|an|=2aabf=，则：anf=所以：2a=2ccos+2csin利用e=所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为故选：a12已知，平面区域d由所有满足（1a，1b）的点p构成，其面积为8，则4a+b的最小值为（）a13b12cd【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】先求出sinbac=，上平面区域d的面积s=2（a1）2（b1）sinbac=2ab（a+b）+1=8，得到ab（a+b）=3，由此能求出4a+b的最小值【解答】解：，cosbac=，sinbac=，设p（x，y），平面区域d由所有满足（1a，1b）的点p构成，平面区域d的面积s=2（a1）2（b1）sinbac=2ab（a+b）+1=8，ab（a+b）=3，解得a+b6或a+b2（舍），ab=3+（a+b）9，4ab36，4a+b=12故4a+b的最小值为12故选：b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13过抛物线y2=8x的焦点f作倾斜角为135的直线交抛物线于a、b两点，则弦长ab的长为16【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点，设出直线ab的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到所求值【解答】解：抛物线y2=8x的焦点f为（2，0），设直线ab的方程为y0=（x2），即为y=2x，代入抛物线的方程，可得x212x+4=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=12，由抛物线的定义可得，|ab|=x1+x2+p=12+4=16故答案为：1614如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n1，nn）个点，每个图形总的点数记为an，则a6=15； +=【考点】归纳推理【分析】根据图象的规律可得出通项公式an，根据数列的特点可用列项法求其前n项和的公式，而+是前2011项的和，代入前n项和公式即可得到答案【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n3，即an=3n3，a6=15；令sn=+=+=1+=故答案为：15，15设非直角abc的内角a、b、c所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是（写出所有正确结论的编号）“sinasinb”是“ab”的充分必要条件；“cosacosb”是“ab”的充分必要条件；“tanatanb是“ab”的充分必要条件；“sin2asin2b”是“ab”的充分必要条件；“cos2acos2b”是“ab”的充分必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据正弦定理判断，利用函数y=cosx在（0，）上单调递减得ab，结合三角形的边角关系判断即可特殊值判断：如a为锐角，b为钝角，如 a=45，b=60时不符合，利用二倍角公式得sin2asin2b，再结合正弦定理判断即可【解答】解：由sinasinb，利用正弦定理得 a=2rsina，b=2rsinb，故sinasinb，等价于ab，正确；由cosacosb，利用函数y=cosx在（0，）上单调递减得ab，等价于ab，正确；由tanatanb，不能推出ab，如a为锐角，b为钝角，虽然有tanatanb，但由大角对大边得ab，错误；由sin2asin2b，不能推出ab，如 a=45，b=60时，虽然有sin2asin2b，但由大角对大边得ab，错误；由cos2acos2b，利用二倍角公式得sin2asin2b，sinasinb，故等价于ab，正确故答案为：16已知圆o1：（x2）2+y2=16和圆o2：x2+y2=r2（0r2），动圆m与圆o1、圆o2都相切，切圆圆心m的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2（e1e2），则e1+2e2的最小值是【考点】椭圆的简单性质【分析】讨论：当动圆m与圆o1、o2都相内切时，当动圆m与圆o1相内切而与o2相外切时，分别求出e1、e2（e1e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值【解答】解：当动圆m与圆o1、o2都相内切时，|mo2|+|mo1|=4r=2a，e1=当动圆m与圆o1相内切而与o2相外切时，|mo1|+|mo2|=4+r=2a，e2=，e1+2e2=+=，令12r=t（10t12），e1+2e2=22=故答案为：三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=2cosx（sinxcosx）+m（mr），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间内的最大值为（）求实数m的值；（）在abc中，内角a、b、c的对边分别是a、b、c，若，且a+c=2，求abc的周长l的取值范围【考点】余弦定理【分析】（）先利用两角和公式和对函数解析式化简整理，根据图象的平移确定g（x）的解析式，根据x的范围和三角函数的图象与性质确定g（x）的最大值的解析式，求得m（）根据第一问中函数的解析式确定b的值，进而利用余弦定理和基本不等式确定b的范围，最后确定周长的范围【解答】解：（）由题设得，因为当时，所以由已知得，即时，所以m=1；（）由已知，因为三角形中，所以，所以，即，又因为a+c=2，由余弦定理得：，当且仅当a=c=1时等号成立，又ba+c=2，1b2，所以abc的周长l=a+b+c3，4），故abc的周长l的取值范围是3，4）18已知四棱锥pabcd的底面abcd是菱形，abc=60，ab=pc=2，（1）求证：平面pad平面abcd；（2）求二面角apcb的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）根据面面垂直的判定定理进行证明即可（2）ap为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角apcb的余弦值【解答】（）证明：取ad中点o，连结po、co，pa=pd=，ab=2，pad为等腰直角三角形，po=1，poad，ab=bc=2，abc=60，abc为等边三角形，又pc=2，po2+co2=pc2，poco，又abco=o，ab平面abcd，co平面abcd，po平面acd，又po平面pab，平面pab平面abcd（2）建立以o为坐标原点，oc，od，op分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则a（0，1，0），c（，0，0），p（0，0，1），b（，2，0），设平面apc的法向量=（x，y，z），由，令z=，则x=1，y=即=（1，）设平面pcb的法向量=（x，y，z），由，令z=，则x=1，y=0，即=（1，0，）cos，=，二面角apcb的是锐二面角，二面角apcb的余弦值是19已知数列an中，的对称轴为（1）试证明2nan是等差数列，并求an的通项公式；（2）设an的前n项和为sn，求sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由于的对称轴为可得an0， =，化简整理即可证明（2）由（1）可得：an=利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（1）证明：的对称轴为an0， =，化为：2n+1an+12nan=2，2nan是等差数列，首项为2，公差为22nan=2+2（n1）=2n（2）解：由（1）可得：an=sn=1+，=+，=1+=2，sn=420已知d为圆o：x2+y2=8上的动点，过点d向x轴作垂线dn，垂足为n，t在线段dn上且满足（1）求动点t的轨迹方程；（2）若m是直线l：x=4上的任意一点，以om为直径的圆k与圆o相交于p，q两点，求证：直线pq必过定点e，并求出点e的坐标；（3）若（2）中直线pq与动点t的轨迹交于g，h两点，且，求此时弦pq的长度【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）利用代入法，求动点t的轨迹方程；（2）设m（4，m），则圆k方程为x（x+4）+y（ym）=0与圆o：x2+y2=8联立消去x2，y2得pq的方程为4xmy+8=0，能够证明直线pq必过定点e，并求出点e的坐标；（3）设g（x1，y1），h（x2，y2），则，知（x1+2，y1）=3（2x2，y2），结合向量求出pq的方程，由此入手能够求出弦pq的长【解答】解：（1）设t（x，y），则|dn|=|tn|，d为圆o：x2+y2=8上的动点，x2+（y）2=8，|dn|0，y0，动点t的轨迹方程为=1；（2）设m（4，m），则圆k方程为x（x+4）+y（ym）=0与圆o：x2+y2=8联立消去x2，y2得pq的方程为4xmy+8=0，令y=0，可得x=2，得直线pq过定点e（2，0）（3）设g（x1，y1），h（x2，y2），则，（x1+2，y1）=3（2x2，y2），即：x1=83x2，y1=3y2，代入解得：x2=，y2=（舍去正值），kpq=1，所以pq：xy+2=0，从而圆心o（0，0）到直线pq的距离d=，pq=2=221已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设f（x）=2f（x）3x2kx（kr），若函数f（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数f（x）在点（x0，f（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g（x）0，x（0，+）恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；（）由（）知，利用换元法令t=ex，则t1，2，则h（t）=t33at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；（）对于能否问题，可先假设能，即设f（x）在（x0，f（x0）的切线平行于x轴，其中f（x）=2lnxx2kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴【解答】解：（）g（x）=f（x）ax=lnx+x2ax，由题意知，g（x）0，对任意的x（0，+）恒成立，即又x0，当且仅当时等号成立，可得（）由（）知，令t=ex，则t1，2，则h（t）=t33at，由h（t）=0，得或（舍去），若，则h（t）0，h（t）单调递减；若，则h（t）0，h（t）单调递增当时，h（t）取得极小值，极小值为（）设f（x）在（x0，f（x0）的切线平行于x轴，其中f（x）=2lnxx2kx结合题意，有得所以，由得所以设，式变为设，所