（江苏专用）2018高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第41课 直线、平面垂直的判定及其性质教师用书.doc

第41课 直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲内容要求abc直线与平面垂直的判定及性质两平面垂直的判定及性质1直线与平面垂直图形条件结论判定ab，b(b为内的任意一条直线)aam，an，m，n，mnoaab，ab性质a，baba，bab2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案(1)(2)(3)(4)2(2017南京模拟)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：(1)若l，m，则lm；(2)若l，lm，则m；(3)若l，m，则lm；(4)若l，m，则lm，则其中正确的命题是_(填序号)(1)(2)l，ma，lm，故(1)正确；若l，lm，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m，故(2)正确；若l，m，则l与m可能平行也可能垂直，故(3)错误；若l，m，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故(4)错误3如图411，已知pa平面abc，bcac，则图中直角三角形的个数为_图4114pa平面abc，paab，paac，pabc，则pab，pac为直角三角形由bcac，且acpaa，bc平面pac，从而bcpc.abc，pbc也是直角三角形4(教材改编)在三棱锥pabc中，点p在平面abc中的射影为点o，(1)若papbpc，则点o是abc的_心(2)若papb，pbpc，pcpa，则点o是abc的_心(1)外心(2)垂心po平面abc，且papbpc，oaoboc，o是abc的外心(2)papb，papc，pbpcp，pa平面pbc，pabc，又pobcbc平面paoaobc，同理boac，coab，o是abc的垂心5边长为a的正方形abcd沿对角线bd折成直二面角，则折叠后ac的长为_a如图所示，取bd的中点o，连结ao，co，则aoc是二面角abdc的平面角即aoc90，又aocoa，aca，即折叠后ac的长(ac)为a.线面垂直的判定与性质如图412所示，已知ab为圆o的直径，点d为线段ab上一点，且addb，点c为圆o上一点，且bcac，pd平面abc，pddb.图412求证：pacd. 【导学号：62172224】证明因为ab为圆o的直径，所以accb，在rtabc中，由acbc，得abc30.设ad1，由3addb，得db3，bc2，由余弦定理得cd2db2bc22dbbccos 303，所以cd2db2bc2，即cdao.因为pd平面abc，cd平面abc，所以pdcd，由pdaod，得cd平面pab，又pa平面pab，所以pacd.规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想变式训练1如图413，在三棱锥abcd中，ab平面bcd，cdbd.图413(1)求证：cd平面abd；(2)若abbdcd1，m为ad中点，求三棱锥ambc的体积解(1)证明：因为ab平面bcd，cd平面bcd，所以abcd.又因为cdbd，abbdb，ab平面abd，bd平面abd，所以cd平面abd.(2)由ab平面bcd，得abbd.又abbd1，所以sabd12.因为m是ad的中点，所以sabmsabd.根据(1)知，cd平面abd，则三棱锥cabm的高hcd1，故三棱锥vambcvcabmsabmh.面面垂直的判定与性质如图414，三棱台defabc中，ab2de，g，h分别为ac，bc的中点图414(1)求证：bd平面fgh；(2)若cfbc，abbc，求证：平面bcd平面egh.证明(1)如图所示，连结dg，cd，设cdgfm，连结mh.在三棱台defabc中，ab2de，g为ac的中点，可得dfgc，dfgc，所以四边形dfcg为平行四边形则m为cd的中点，又h为bc的中点，所以hmbd，由于hm平面fgh，bd平面fgh，故bd平面fgh.(2)连结he.因为g，h分别为ac，bc的中点，所以ghab.由abbc，得ghbc.又h为bc的中点，所以efhc，efhc，因此四边形efch是平行四边形，所以cfhe.由于cfbc，所以hebc.又he，gh平面egh，heghh.所以bc平面egh.又bc平面bcd，所以平面bcd平面egh.规律方法1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化关系：线线垂直线面垂直面面判定性质垂直变式训练2如图415，在三棱锥pabc中，平面pab平面abc，papb，m，n分别为ab，pa的中点图415(1)求证：pb平面mnc；(2)若acbc，求证：pa平面mnc. 【导学号：62172225】证明(1)因为m，n分别为ab，pa的中点，所以mnpb，又因为mn平面mnc，pb平面mnc，所以pb平面mnc.(2)因为papb，mnpb，所以pamn.因为acbc，ambm，所以cmab.因为平面pab平面abc，cm平面abc，平面pab平面abcab.所以cm平面pab.因为pa平面pab，所以cmpa.又mncmm，所以pa平面mnc.平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明(2016江苏高考)如图416，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1.图416求证：(1)直线de平面a1c1f；(2)平面b1de平面a1c1f.证明(1)在直三棱柱abca1b1c1中，a1c1ac.在abc中，因为d，e分别为ab，bc的中点，所以deac，于是dea1c1.又因为de平面a1c1f，a1c1平面a1c1f，所以直线de平面a1c1f.(2)在直三棱柱abca1b1c1中，a1a平面a1b1c1.因为a1c1平面a1b1c1，所以a1aa1c1.又因为a1c1a1b1，a1a平面abb1a1，a1b1平面abb1a1，a1aa1b1a1，所以a1c1平面abb1a1.因为b1d平面abb1a1，所以a1c1b1d.又因为b1da1f，a1c1平面a1c1f，a1f平面a1c1f，a1c1a1fa1，所以b1d平面a1c1f.因为直线b1d平面b1de，所以平面b1de平面a1c1f.规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化2垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用角度2平行垂直中探索开放问题如图所示，在rtabc中，c90，d，e分别为ac，ab的中点，点f为线段cd上的一点，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如图所示图417(1)求证：a1fbe；(2)线段a1b上是否存在点q，使a1c平面deq？并说明理由证明(1)由已知，得acbc，且debc.所以deac，则dedc，deda1，因为dcda1d，所以de平面a1dc.由于a1f平面a1dc，所以dea1f.又因为a1fcd，cdded，所以a1f平面bcde，又be平面bcde，所以a1fbe.(2)线段a1b上存在点q，使a1c平面deq.理由如下：如图，分别取a1c，a1b的中点p，q，连结pq，则pqbc.又因为debc，则depq.所以平面deq即为平面deqp.由(1)知，de平面a1dc，所以dea1c.又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点，所以a1cdp.又dpded，所以a1c平面deqp.从而a1c平面deq.故线段a1b上存在点q，使得a1c平面deq.规律方法1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性2平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点思想与方法1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任一直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3转化思想：垂直关系的转化线线垂直面面判定性质垂直 易错与防范1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可课时分层训练(四十一)a组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是_(填序号) 【导学号：62172226】且m；且m；mn且n；mn且.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知正确2(2017徐州模拟)设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是_(填序号)若l，l，则；若l，l，则；若，l，则l；若，l，则l.中，或与相交，不正确中，过直线l作平面，设l，则ll，由l，知l，从而，正确中，l或l，不正确中，l与的位置关系不确定3如图418，在正四面体pabc中，d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，下面四个结论不成立的是_(填序号)图418bc平面pdf；df平面pae；平面pdf平面pae；平面pde平面abc.因为bcdf，df平面pdf，bc平面pdf，所以bc平面pdf，故正确在正四面体中，aebc，pebc，dfbc，所以bc平面pae，则df平面pae，从而平面pdf平面pae.因此均正确4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是_(填序号)若mn，n，则m；若m，则m；若m，n，n，则m；若mn，n，则m.中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误；中，由m，可得m或m与相交或m，错误；中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确；中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误5如图419，在三棱锥dabc中，若abcb，adcd，e是ac的中点，则下列命题中正确的是_(填序号)图419平面abc平面abd；平面abd平面bcd；平面abc平面bde，且平面acd平面bde；平面abc平面acd，且平面acd平面bde.因为abcb，且e是ac的中点，所以beac，同理有deac，于是ac平面bde.因为ac平面abc，所以平面abc平面bde.又ac平面acd，所以平面acd平面bde.6如图4110所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 【导学号：62172227】图4110dmpc(或bmpc等)由定理可知，bdpc.当dmpc(或bmpc)时，有pc平面mbd.又pc平面pcd，平面mbd平面pcd.7(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正确对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由线面平行的定义可知m，故正确对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故正确8如图4111，在三棱柱abca1b1c1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点d是侧面bb1c1c的中心，则ad与平面bb1c1c所成角的大小是_图4111取bc的中点e，连接ae，de，则ae平面bb1c1c.所以ade为直线ad与平面bb1c1c所成的角设三棱柱的所有棱长为a，在rtaed中，aea，de.所以tanade，则ade.故ad与平面bb1c1c所成的角为.9.如图4112，直三棱柱abca1b1c1中，侧棱长为2，acbc1，acb90，d是a1b1的中点，f是bb1上的动点，ab1，df交于点e.要使ab1平面c1df，则线段b1f的长为_图4112设b1fx，因为ab1平面c1df，df平面c1df，所以ab1df.由已知可得a1b1，设rtaa1b1斜边ab1上的高为h，则deh.由面积相等得2h，所以h，de.在rtdb1e中，b1e.由面积相等得x，得x.10.(2017南京模拟)如图4113，pa圆o所在的平面，ab是圆o的直径，c是圆o上的一点，e，f分别是点a在pb，pc上的射影，给出下列结论：afpb；efpb；afbc；ae平面pbc.图4113其中正确结论的序号是_. 【导学号：62172228】由题意知pa平面abc，pabc.又acbc，且paaca，bc平面pac，bcaf.afpc，且bcpcc，af平面pbc，afpb，又aepb，aeafa，pb平面aef，pbef，故正确11(2017盐城模拟)如图4114，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acbc，bccc1.设ab1的中点为d，b1cbc1e，求证：(1)de平面aa1c1c；(2)bc1ab1.图4114证明(1)由题意知，e为b1c的中点，又d为ab1的中点，因此deac.因为de平面aa1c1c，ac平面aa1c1c，所以de平面aa1c1c.(2)因为棱柱abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc.因为ac平面abc，所以accc1.因为acbc，cc1平面bcc1b1，bc平面bcc1b1，bccc1c，所以ac平面bcc1b1.因为bc1平面bcc1b1，所以bc1ac.因为bccc1，所以矩形bcc1b1是正方形，因此bc1b1c.因为ac，b1c平面b1ac，acb1cc，所以bc1平面b1ac.因为ab1平面b1ac，所以bc1ab1.12(2016苏州期末)如图4115，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab，bc的中点，a1c1与b1d1交于点o.(1)求证：a1，c1，f，e四点共面；(2)若底面abcd是菱形，且oda1e，求证：od平面a1c1fe. 【导学号：62172229】图4115证明(1)连结ac，因为e，f分别是ab，bc的中点，所以ef是abc的中位线，所以efac.由直棱柱知aa1綊cc1，所以四边形aa1c1c为平行四边形，所以aca1c1.所以efa1c1，故a1，c1，f，e四点共面(2)连结bd，因为直棱柱中dd1平面a1b1c1d1，a1c1平面a1b1c1d1，所以dd1a1c1.因为底面a1b1c1d1是棱形，所以a1c1b1d1.又dd1b1d1d1，所以a1c1平面bb1d1d.因为od平面bb1d1d，所以oda1c1.又oda1e，a1c1a1ea1，a1c1平面a1c1fe，a1e平面a1c1fe，所以od平面a1c1fe.b组能力提升(建议用时：15分钟)1如图4116，在正方形abcd中，e，f分别是bc，cd的中点，沿ae，af，ef把正方形折成一个四面体，使b，c，d三点重合，重合后的点记为p，p点在aef内的射影为o，则下列说法正确的是_(填序号)图4116o是aef的垂心；o是aef的内心；o是aef的外心； o是aef的重心由题意可知pa，pe，pf两两垂直，所以pa平面pef，从而paef，而po平面aef，则poef，因为popap，所以ef平面pao，所以efao，同理可知aefo，afeo，所以o为aef的垂心2如图4117，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中点，点f在线段aa1上，当af_时，cf平面b1df.图4117a或2ab1d平面a1acc1，cfb1d.为了使cf平面b1df，只要使cfdf(或cfb