湖南省长沙市高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

2016年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1设i为虚数单位，则复数3i的虚部是（）a3bic1d12记集合a=x|x+20，b=y|y=sinx，xr，则ab=（）a（2，+）b1，1c1，12，+）d（2，13某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）a圆柱b圆锥c棱锥d棱柱4已知向量=（cos，sin），=（sin，cos），若，则，的值可以是（）a=，=b=，=c=，=d=，=5已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）aan=（1）n1+1ban=can=2sindan=cos（n1）+16已知定义在r上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）af（2.5）bf（f（2.5）cf（f（1.5）df（2）7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：p（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算k2=10，则下列选项正确的是：（）a有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响b有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响c有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响d有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8函数的单调递增区间是（）abcd9平面直径坐标系xoy中，动点p到圆（x2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=1的距离相等，则p点的轨迹方程是（）ay2=8xbx2=8ycy2=4xdx2=4y10非负实数x、y满足ln（x+y1）0，则关于xy的最大值和最小值分别为（）a2和1b2和1c1和1d2和211如果执行如图所示的程序框图，则输出的数s不可能是（）a0.7b0.75c0.8d0.912已知函数f（x）=ex，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）axr，f（x）g（x）bx1，x2r，f（x1）g（x2）cx0r，f（x0）=g（x0）dx0r，使得xr，f（x0）g（x0）f（x）g（x）二、填空题13在空间直角坐标系中，已知点a（1，0，1），b（1，1，2），则线段ab的长度为_14记等差数列an的前n项和为sn，若s3=2a3，s5=15，则a2016=_15abc的周长等于2（sina+sinb+sinc），则其外接圆半径等于_16m，n分别为双曲线=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|的最小值为_三、解答题17如图，opq是半径为2，圆心角为的扇形，c是扇形弧上的一动点，记cop=，四边形opcq的面积为s（1）找出s与的函数关系；（2）试探求当取何值时，s最大，并求出这个最大值18空气质量指数（air quality index，简称aqi）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照aqi大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为严重污染一环保人士记录了去年某地某月10天的aqi的茎叶图如图所示（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（aqi100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（aqi100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率19如图，矩形bdef垂直于正方形abcd，gc垂直于平面abcd，且ab=de=2cg=2（1）求三棱锥afgc的体积（2）求证：面gef面aef20已知椭圆c1： +=1（ab0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，（1）求c1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交c1与a、b两点，若以ab为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程21已知函数f（x）=x2+（a为实常数）（1）若f（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论选修4-1：几何证明选讲22如图，c，d是以ab为直径的半圆上两点，且=（1）若cdab，证明：直线ac平分dab；（2）作deab交ac于e，证明：cd2=aeac选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为24cos+3=0，0，2（1）求c1的直角坐标方程；（2）曲线c2的参数方程为（t为参数），求c1与c2的公共点的极坐标选修4-5：不等式选讲24设、均为实数（1）证明：|cos（+）|cos|+|sin|；|sin（+）|cos|+|cos|（2）若+=0证明：|cos|+|cos|+|cos|12016年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1设i为虚数单位，则复数3i的虚部是（）a3bic1d1【考点】复数的基本概念【分析】直接由复数的基本概念得答案【解答】解：复数3i，复数3i的虚部是：1故选：d2记集合a=x|x+20，b=y|y=sinx，xr，则ab=（）a（2，+）b1，1c1，12，+）d（2，1【考点】并集及其运算【分析】先化简集合a，b，再根据并集的定义即可求出【解答】解：集合a=x|x+20=（2，+），b=y|y=sinx，xr=1，1，则ab=（2，+），故选：a3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）a圆柱b圆锥c棱锥d棱柱【考点】由三视图求面积、体积【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，该空间几何体不可能是圆锥故选：b4已知向量=（cos，sin），=（sin，cos），若，则，的值可以是（）a=，=b=，=c=，=d=，=【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断【解答】解：向量=（cos，sin），=（sin，cos），若，coscossinsin=0，即cos（+）=0，+=k+，kz，对于a：+=0，不符合，对于b，+=，不符合，对于c：+=，符合，对于d，+=，不符合，故选：c5已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）aan=（1）n1+1ban=can=2sindan=cos（n1）+1【考点】数列的概念及简单表示法【分析】令n=1，2，3，4分别代入验证：即可得出答案【解答】解：令n=1，2，3，4分别代入验证：可知c：a3=2，因此不成立故选：c6已知定义在r上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）af（2.5）bf（f（2.5）cf（f（1.5）df（2）【考点】函数的值【分析】由f（x+1）=f（x），得到函数的周期是2，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可【解答】解：由f（x+1）=f（x），得f（x+2）=f（x+1）=f（x），则函数的周期是2，则f（2.5）=f（2+0.5）=f（0.5）=1，f（f（2.5）=f（1）=f（1+2）=f（1）=1f（f（1.5）=f（f（20.5）=f（f（0.5）=f（1）=1，f（2）=f（0）=1，即列函数值为1的f（2），故选：d7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：p（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算k2=10，则下列选项正确的是：（）a有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响b有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响c有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响d有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【考点】独立性检验的应用【分析】根据观测值k2，对照数表，即可得出正确的结论【解答】解：因为7.879k2=1010.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响故选：a8函数的单调递增区间是（）abcd【考点】复合三角函数的单调性【分析】由2k+2k+（kz）与x2，2即可求得答案【解答】解：y=sin（+）的单调递增区间由2k+2k+（kz）得：4kx4k+（kz），x2，2，x即y=sin（+）的单调递增区间为，故选a9平面直径坐标系xoy中，动点p到圆（x2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=1的距离相等，则p点的轨迹方程是（）ay2=8xbx2=8ycy2=4xdx2=4y【考点】直线与圆的位置关系【分析】设动点p（x，y），由已知得|x+1|=1，由此能求出点p的轨迹方程【解答】解：设动点p（x，y），动点p到直线x=1的距离等于它到圆：（x2）2+y2=1的点的最小距离，|x+1|=1，化简得：6x2+2|x+1|=y2，当x1时，y2=8x，当x1时，y2=4x48，不合题意点p的轨迹方程为：y2=8x故选：a10非负实数x、y满足ln（x+y1）0，则关于xy的最大值和最小值分别为（）a2和1b2和1c1和1d2和2【考点】简单线性规划；对数函数的图象与性质【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可【解答】解：由题意得，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=xy，由z=xy，得y=xz表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=xz，当直线y=xz经过点c（2，0）时，直线y=xz的截距最小，此时z最大，最大为zmax=20=2当直线经过点a（0，2）时，此时直线y=xz截距最大，z最小此时zmin=02=2故选：d11如果执行如图所示的程序框图，则输出的数s不可能是（）a0.7b0.75c0.8d0.9【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出s=+的值，结合选项，只有当s的值为0.7时，n不是正整数，由此得解【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值s，并输出s，由于s=+=1+=1=，令s=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9故选：a12已知函数f（x）=ex，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）axr，f（x）g（x）bx1，x2r，f（x1）g（x2）cx0r，f（x0）=g（x0）dx0r，使得xr，f（x0）g（x0）f（x）g（x）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（x）=exx1，则h（x）=ex1，当x0时，h（x）0，h（x）单调递减，当x0时，h（x）0，则h（x）单调递增，即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，即h（x）0，即xr，f（x）g（x）不一定成立，故a是假命题，故选：a二、填空题13在空间直角坐标系中，已知点a（1，0，1），b（1，1，2），则线段ab的长度为【考点】空间两点间的距离公式【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可【解答】解：空间直角坐标系中，点a（1，0，1），b（1，1，2），所以线段ab的长度为|ab|=故答案为：14记等差数列an的前n项和为sn，若s3=2a3，s5=15，则a2016=2016【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为ds3=2a3，s5=15，d=2（a1+2d），d=15，解得a1=d=1则a2016=1+1=2016故答案为：201615abc的周长等于2（sina+sinb+sinc），则其外接圆半径等于1【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理得出a，b，c和外接圆半径r的关系，根据周长列出方程解出r【解答】解：设abc的三边分别为a，b，c，外接圆半径为r，由正弦定理得，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，a+b+c=2（sina+sinb+sinc），2rsina+2rsinb+2rsinc=2（sina+sinb+sinnc），r=1故答案为：116m，n分别为双曲线=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|的最小值为4【考点】双曲线的简单性质【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可【解答】解：由向量数量积的定义知即向量在向量上的投影|模长的乘积，故求|的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知|的最小值为4，故答案为：4三、解答题17如图，opq是半径为2，圆心角为的扇形，c是扇形弧上的一动点，记cop=，四边形opcq的面积为s（1）找出s与的函数关系；（2）试探求当取何值时，s最大，并求出这个最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；弧度制的应用；三角函数的最值【分析】（1）由面积公式即可得到s与的函数关系（2）对三角函数化简，由的范围，得到s的最大值【解答】解：（1）s=sopc+soqc=op0csinpoc+oqocsinqoc=2sin+2sin（）（0，）（2）由（1）知，s=2sin+2sin（）=sin+cos=2sin（+）（0，），+（，）当+=，即=时，s最大，为218空气质量指数（air quality index，简称aqi）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照aqi大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为严重污染一环保人士记录了去年某地某月10天的aqi的茎叶图如图所示（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（aqi100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本的空气质量不佳（aqi100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为a，重度污染为1天，记为，列举可得总的基本事件共15个，其中空气质量等级恰好不同有9个，由概率公式可得的【解答】解：（1）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为1，空气质量为良的天数为3，故空气质量优良的概率为=，故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为30=12；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为a，重度污染为1天，记为，则从中随机抽取2天的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，a）（a，）（b，c）（b，d）（b，a）（b，）（c，d）（c，a）（c，）（d，a）（d，）（a，）共15个，其中空气质量等级恰好不同有（a，a）（a，）（b，a）（b，）（c，a）（c，）（d，a）（d，）（a，）共9个，该两天的空气质量等级恰好不同的概率p=19如图，矩形bdef垂直于正方形abcd，gc垂直于平面abcd，且ab=de=2cg=2（1）求三棱锥afgc的体积（2）求证：面gef面aef【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）由平面bdef平面abcd得fb平面abcd，故fbab，又abbc，于是ab平面fbcg，即ab为棱锥afcg的高；（2）建立空间坐标系，分别求出平面aef和平面efg的法向量，证明他们的法向量垂直即可【解答】解：（1）平面bdef平面abcd，平面bdef平面abcd=bd，fbbd，fb平面bdef，fb平面abcd，ab平面abcd，abfb，又abbc，ab平面bcgf，vafgc=（2）以b为原点，ab，bc，bf为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：则a（2，0，0），e（2，2，2），f（0，0，2），g（0，2，1），=（0，2，2），=（2，2，0），=（0，2，1）设平面aef的法向量为=（x，y，z），平面efg的法向量为=（a，b，c），则，即，令z=1得=（1，1，1），令c=1得=（，1）=0，平面aef平面efg20已知椭圆c1： +=1（ab0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，（1）求c1的标准方程；（2）设平行于l1的直线l交c1与a、b两点，若以ab为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由ab，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，运用点到直线的距离公式，计算可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=x+t（t0），代入椭圆方程x2+4y2=4，设a（x1，y1），b（x2，y2），运用韦达定理和判别式大于0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得t，进而得到所求直线l的方程【解答】解：（1）由ab，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，可得=，即a=2，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，可得=，即b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l的方程为y=x+t（t0），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得5x2+8tx+4t24=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），即有=64t220（4t24）0，解得t，且t0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（x1+t）（x2+t）=x1x2+t2+t（x1+x2）=+t2=，以ab为直径的圆恰好过坐标原点，可得oaob，即有=0，即x1x2+y1y2=0，即为+=0，解得t=，满足t，且t0，则直线l的方程为y=x21已知函数f（x）=x2+（a为实常数）（1）若f（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出导数，由题意可得2x3a0在（0，+）上恒成立，即a2x3，求出右边函数的值域，即可得到a的范围；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1），（x2，f（x2），由假设可得f（x1）=f（x2）=，运用导数和函数的解析式，化简整理，即可得到矛盾【解答】解：（1）函数f（x）=x2+的导数为f（x）=2x=，由f（x）在（0，+）上单调递增，可得2x3a0在（0，+）上恒成立，即a2x3，由2x3在（0，+）上递增，可得2x3的值域为（0，+），则a0，即有a的取值范围为（，0；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点证明：假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1），（x2，f（x2），由假设可得f（x1）=f（x2）=，由f（x1）=f（x2），可得2x1=2x2，即有2（x1x2）=a，显然x1+x20，x1x20，即有a=，而f（x1）=2x1+=x1+x22x1+=x2x1+=0，即f（x1）=f（x2），故不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点选修4-1：几何证明选讲22如图，c，d是以ab为直径的半圆上两点，且=（1）若cdab，证明：直线ac平分dab；（2）作deab交ac于e，证明：cd2=aeac【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【分析】（1）证明：直线ac平分dab，只要证明dac=bac，利用平行线的性质及等弧对等角即可；（2）作deab交ac于e，证明：adeacd，即可证明cd2=aeac【解答】证明：（1）cdab，dca=bac，=，dac=dca，dac=bac，直线ac平分dab；