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第6章 线性空间练习题一、填空题（）1. 已知三维向量空间的一组基是，则向量在这组基下的坐标是 2. 从R2的基到基的过渡矩阵为 3. 已知，则解空间的维数是 ，解空间一组基是 4. 设中定义，则不作成线性空间的理由可以为 5. 设是有理数域，关于实数的加法和乘法作成线性空间，该空间的维数是 二、单项选择题（）1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R上的一个线性空间的是 ( )(A) 所有mn的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(B) 所有n阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(C) 所有n阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(D) 所有n阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法2. 设VR3，下列集合为V的子空间的是 ( )(A) (B) (C) (D) (Q为有理数域)3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构 (A) (B) 是复数域(C) (D) 是复数域4. 向量空间，则W的维数为( ) (A) 1 (B) 2 (C) n (D) n-15. 在中，由基到基的过渡矩阵为C，则C ( )(A) (B) (C) (D) 三、计算题（）1. 在线性空间中，（1）求基向量组到基向量组的过渡矩阵C；（2）求在基下的坐标2. 设的有两个基向量组和，(1) 求在这两组基下的坐标；(2) 求向量，使它在这两组基下有相同的坐标3. 在中，求子空间的一组基和维数4.在中，两个子空间分别求一组基和维数 四、证明题1设线性空间中为向量，且，证明：向量组线性无关的充分必要条件是线性无关2设是线性空间的两个子空间，证明：是的子空间的充分必要条件是3设是线性空间的两个子空间，证明：是直和的充分必要条件是中至少有一个向量可以唯一地表示为，其中4叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式5设，证明：（1）是的子空间；（2）与同构参考答案一、填空题（)1. (-1，0，2)；2. ；3. 2 ，（不唯一）；4. ；5. 2二、选择题()1. D ；2. A ；3. D 4. D ；5. B 三、计算题（）1.（1），（2） (2, 5, -1)T2.(1) ；(2) Y(0, -4, 5) T，X(1, 2, 4) T；(3) 。3. 基4. 的一组基为，的一组基，维数是4； 的一组基 维数是1四、证明题1利用向量组的线性表示。
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