2020届中学高三上学期期中检测数学（理）试题（PDF版内含答案）

1 期中检测试卷 高 三 数 学 理 考试时间 120 分钟 试卷分值 150 分 一 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 设集合 5 4Ax xx Bx xa 若ABB 则a的值可以是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 已知i为虚数单位 若复数 1 1 ti z i 在复平面内对应的点在第四象限 则t的取值范围为 A 1 1 B 1 1 C 1 D 1 3 已知 1 sin 123 则 17 cos 12 的值等于 A 1 3 B 2 2 3 C 1 3 D 2 2 3 4 若1 01acb 则下列不等式不正确的是 A 20192019 loglogab B loglog cb aa C cb cb acb a D cb ac aac a 5 在等比数列 n a中 412 a a是方程 2 x3x10 的两根 是 8 a1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知 f x是定义在 2 1 bb 上的偶函数 且在 2 0 b 上为增函数 则 1 2 f xfx 的解集为 A 2 1 3 B 1 1 3 C 1 1 D 1 1 3 7 如图 在平行四边形ABCD中 M N 分别为 AB AD上的点 且 连接 AC MN 交于P 点 若 则点N在AD上的位置为 2 A AD中点 B AD上靠近点D的三等分点 C AD上靠近点D的四等分点 D AD上靠近点D的五等分点 8 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 5 B 16 3 C 7 D 17 3 9 执行如图所示的程序框图 如果输出6T 那么判断框内应填入的条件是 A 32k B 33k C 64k D 65k 10 函数 sin 0 f xx 的图象向右平移 12 个单位得到函数 yg x 的图象 并且函数 g x在区 间 6 3 上单调递增 在区间 3 2 上单调递减 则实数 的值为 A 7 4 B 3 2 C 2 D 5 4 11 已知x y满足约束条件 20 53120 3 xy xy y 当目标函数zaxby 0a 0b 在该约束条件下 取得最小值 1 时 则 12 3ab 的最小值为 A 42 2 B 4 2 C 3 2 2 D 3 2 12 设函数 3 3 x a f xex xx 若不等式 0f x 有正实数解 则实数a的最小值为 3 A 3 B 2 C 2 e D e 二 填空题 共二 填空题 共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 合计分 合计 2020 分 分 13 已知函数2cosyx 02x 的图象和直线2y 围成一个封闭的平面图形 则这个封闭图形 的面积是 14 若函数 ln2f xxax 的图象存在与直线2 0 xy 垂直的切线 则实数a的取值范围是 15 已知球 O 是正三棱锥 底面为正三角形 顶点在底面射影为底面中心 A BCD 的外接球 BC 3 2 3AB 点 E 在线段 BD 上 且 BD 3BE 过点 E 作圆 O 的截面 则所得截面圆面积的取值范围是 16 在ABC 中 角A B C的对边长分别为a b c 满足 2 2sin3cos40aaBB 2 7b 则 ABC 的面积为 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 已知数列 n a是等差数列 前n项和为 n S 且 53 3Sa 46 8aa 1 求 n a 2 设2n nn ba 求数列 n b的前n项和 n T 18 本小题满分 12 分 ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 已知点 a b在直线 sinsinxAB sinsinyBcC 上 1 求角C的大小 2 若ABC 为锐角三角形且满足 11 tantantan m CAB 求实数m的最小值 当且仅当ab 实数m的最小值为 2 19 本小题满分 12 分 绿水青山就是金山银山 为了保护环境 减少空气污染 某空气净化器制造厂 决定投入生产某种惠 民型的空气净化器 根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统计规律如下 年固定生产成本为 2 万元 每生产该型号空气净化器 1 百台 成本增加 1 万元 年生产x百台的销售收入R x 4 万元 假定生产的该型号空气净化器都能卖出 利润 销售收入 生产成本 1 为使该产品的生产不亏本 年产量x应控制在什么范围内 2 该产品生产多少台时 可使年利润最大 20 本小题满分 12 分 如图 点C在以AB为直径的圆O上 PA垂直与圆O所在平面 G为 AOC 的垂心 1 求证 平面OPG 平面 PAC 2 若22PAABAC 求二面角A OPG 的余弦值 21 本小题满分 12 分 已知函数f x 2 x k 1 2 x x R R 是偶函数 1 求实数k的值 2 求不等式f x 的解集 3 若不等式f 2x 4 mf x 在x R R 上有解 求实数m的取值范围 22 本小题满分 12 分 已知函数 lnf xxxaxaR 1 若1a 求函数 fx的图像在点 1 1f处的切线方程 5 2 若函数 fx有两个极值点 1 x 2 x 且 12 xx 求证 2 1 2 f x 6 高 三 数 学 理 答案 一 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1D 2B 3A 4D 5A 6B 7B 8D 9C 10C 11C 12D 二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 合计 20 分 二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 合计 20 分 134 14 1 4 15 2 4 16 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 答案 1 23 n an 2 2 4 216 n n Tn 解析 1 由题意 数列 n a是等差数列 所以 53 5Sa 又 53 3Sa 3 0a 由 465 82aaa 得 5 4a 所以 53 24aad 解得2d 所以数列的通项公式为 3 323 n aandn 2 由 1 得 1 232 nn nn ban 2341 221 20 232n n Tn 3412 221 242322 nn n Tnn 两式相减得 23412 22 222232 nn nn TTn 1 22 8 1 2 8 3 2 4 216 1 2 n nn nn 即 2 4 216 n n Tn 18 本小题满分 12 分 答案 1 3 2 实数m的最小值为 2 解析 1 由条件可知 sinsinsinsinaABbBcC 根据正弦定理得 222 abcab 7 又由余弦定理 222 1 cos 22 abc C ab 故角C的大小为 3 2 11 tan tantan mC AB sincoscos cossinsin CAB CAB sincos sincos sin cossin sin CABBA CAB 22 2sin2 sin sin Cc ABab 22 2 abab ab 21 ab ba 22 12 19 本小题满分 12 分 解析 1 由题意得 成本函数为C x x 2 从而年利润函数为L x R x C x 要使不亏本 只要L x 0 当 0 x 4 时 由L x 0 得 0 5x 2 3x 2 5 0 解得 1 x 4 当x 4 时 由L x 0 得 5 5 x 0 解得 4 x 5 5 综上 1 x 5 5 答 若要该厂不亏本 产量x应控制在 100 台到 550 台之间 2 当 0 x 4 时 L x 0 5 x 3 2 2 故当x 3 时 L x max 2 万元 当x 4 时 L x 1 5 2 综上 当年产 300 台时 可使利润最大 20 答案 1 见解析 2 2 51 17 解析 1 如图 延长OG交AC于点M 因为G为AOC 的重心 所以M为AC的中点 因为O为AB的中点 所以 OMBC 因为AB是圆O的直径 所以BCAC 所以OMAC 因为PA 平面ABC OM 平面ABC 所以PAOM 又PA 平面PAC AC 平面 PAC PAAC A 所以OM 平面PAC 即OG 平面PAC 又OG 平面OPG 所以平面OPG 平 面PAC 8 2 以点C为原点 CB CA AP方向分别为x y z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz 则 0 0 0C 0 1 0A 3 0 0B 3 1 0 22 O 0 1 2P 1 0 0 2 M 则 3 0 0 2 OM 3 1 2 22 OP 平面OPG即为平面OPM 设平面OPM的一个法向量为 nx y z 则 3 0 2 31 20 22 n OMx n OPxyz 令 1z 得 0 4 1n 过点C作CHAB 于点H 由PA 平面ABC 易得CHPA 又PA ABA 所以CH 平面PAB 即CH为平面PAO的一个法向量 在Rt ABC 中 由2ABAC 得30ABC 则60HCB 13 22 CHCB 所以 3 cos 4 H xCHHCB 3 sin 4 H yCHHCB 所以 3 3 0 44 CH 设二面角A OPG 的大小为 则cos CH n CHn 22 33 041 0 44 2 51 1739 41 1616 21 本小题满分 12 分 解析 解 1 f x 是偶函数 f x f x 即 2 x k 1 2x 2x k 1 2 x 即 k 2 2 2x 1 0 恒成立 则k 2 0 得k 2 2 k 2 9 f x 2 x 2 x 不等式 f x 等价为 2 x 2 x 即 2 2 x 2 5 2x 2 0 得 2 2 x 1 2x 2 0 得2 x 2 得 1 x 1 即不等式的解集为 1 1 3 不等式f 2x 4 mf x 等价为 2 2x 2 2x 4 m 2x 2 x 即f 2 x 2 mf x f x 2 x 2 x 2 当且仅当 x 0 时 取等号 则m f x 函数y x在 2 上是增函数 则f x 的最小值为 3 即m 3 故实数m的取值范围是 3 22 本小题满分 12 分 答案 1 0 xy 2 见解析 解析 1 由已知条件 lnf xxxx 当1x 时 1f x ln1 2fxxx 当1x 时 1fx 所以所求切线方程为0 xy 2 由已知条件可得 ln1 2fxxax 有两个相异实根 1 x 2 x 令 fxh x 则 1 2hxa x 1 若0a 则 0hx h x单调递增 fx不可能有两根 2 若0a 令 0hx 得 1 2 x a 可知 h x在 1 0 2a 上单调递增 在 1 2a 上单调递减 令 1 0 2 f a 解得 1 0 2 a 10 由 11 2ea 有 12 0 a f ee 由 2 11 2aa 有 2 12 2ln10fa aa 从而 1 0 2 a 时函数 fx有两个极值点 当x变化时 fx fx的变化情况如下表 单调