数学练习题2009年新课标地区高考数学试题汇编 导数部分.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试试题数学汇编 导数部分1.(安徽理6)设b,函数的图像可能是解析：，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C2.(安徽理9)已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（A） （B） （C） （D）解析：由得，即，切线方程为，即选A3.(辽宁理7)曲线在点处的切线方程为 答案： D 解析： ，切线方程为，即。4. (福建理4) 等于A B. 2 C. -2 D. +2答案：D解析：.故选D5.(天津理4)设函数则A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 答案：D解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。6.(辽宁文15)若函数在处取极值，则 【解析】f(x) f(1)0 a3【答案】37.(宁夏海南文13)曲线在点（0,1）处的切线方程为 。答案：解析：，斜率k3，所以，y13x，即8. (福建文15)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得9.(山东理21.)（21）（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。A B C x 解法一:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.解法二: （1）同上.（2）设,则,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设0m1m2160,则 ,因为0m1m242402409 m1m29160160所以,所以即函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设160m1m2400,则因为1600m1m2400,所以49160160所以,所以即函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.10.(山东文21.) （本小题满分12分）已知函数,其中 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.11. (海南宁夏理21)（本小题满分12分）已知函数（I） 如，求的单调区间；（II） 若在单调增加，在单调减少，证明6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （21）解：（）当时，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12. (海南宁夏文21)（本小题满分12分）已知函数.(1) 设，求函数的极值；(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（）当a=1时，对函数求导数，得 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是（）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 上的最小值是最大值是由于是有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若a1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13. (辽宁理21)（本小题满分 12 分）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。解：（1）的定义域为，-2分（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。（ii）若，而，故，则当时，；当及时，。故在上单调减少，在，上单调增加。（iii）若，即， 同理可得在上单调减少，在，上单调增加。 （2）考虑函数，则，由于，故，即在上单调增加，从而当时，有，即，故；当时，有。 14. (辽宁文21) k.s.5.u.c.o.（本小题满分12分）设，且曲线yf（x）在x1处的切线与x轴平行。（I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II） 证明：当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （21）解：（）.有条件知， ，故. 于是. 故当时，0；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，0. 从而在，单调减少，在单调增加. （）由（）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而对任意，有. 而当时，. 从而 15. (福建理20)（本小题满分14分）已知函数,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联；Kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时，解得直线MP的方程为令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.16. (福建文21)（本小题满分12分）已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；解法一：（I）依题意，得 由得（）由（I）得（ 故 令，则或 当时， 当变化时，与的变化情况如下表： +单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）当时，得 由，得 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线， 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）当时，得，由，得由（）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得解得所以线段与曲线有异于的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17. (广东理20)（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点W.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ， ， 设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.18. (广东文21).（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.解析：（1）设，则； 又的图像与直线平行 又在取极小值， ， ， ； ， 设 则 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，若， 函数有两个零点；若， ，函数有两个零点； 当时，方程有一解, , 函数有一零点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19.20090423(浙江文21)（本题满分15分）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析：（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得20.(浙江20090423理22)（本题满分14分）已知函数，其中 （I）设函数若在区间上不单调，求的取值范围； （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析：（I）因，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；（II）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，下面讨论的情形，记A，B=（）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（）（）；当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；同理，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意21.（安徽文21）（本小题满分14分） 已知函数，a0，（I） 讨论的单调性;（II） 设a=3，求在区间1，上值域。其中e=2.71828是自然对数的底数。解：（）由于令得 当，即时，恒成立，在上都是增函数。 当，即时，由得或或或又由得，综上 当在上都是增函数；当在及上都是增函数，在是减函数。（2）当时，由（1）知，在1，2上是减函数，在上市增函数。又函数在区间1，上的值域为。（安徽文9）设函数，其中，则导数的取值范围是（A） （B）. （C） （D 解析：，选D22.（安徽理19）（本小题满分12分） 已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时