1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 (2).pptx

8 2空间几何体的表面积与体积 高考理数 考点一几何体的表面积1 柱体 锥体 台体的侧面面积就是各侧面面积之和 表面积是各个面的面积之和 即侧面面积与底面面积之和 2 把柱体 锥体 台体的面展开成一个平面图形 称为它的展开图 它的表面积就是展开图的面积 3 圆柱的侧面积公式是S柱侧 2 rl 表面积公式是S柱 2 r r l 圆锥的侧面积公式是S锥侧 rl 表面积公式是S锥 r r l 圆台的侧面积公式是S台侧 r r l 表面积公式是S台 r 2 r2 r l rl 4 半径为R的球的表面积公式为S球 4 R2 知识清单 考点二几何体的体积1 长方体的体积公式是V abc 正方体的体积公式是V a3 圆柱的体积公式是V r2h 所有棱柱和圆柱的体积公式可以统一为V柱 Sh 其中S为底面面积 h为高 2 圆锥的体积公式是V r2h 棱锥的体积公式是V Sh 圆锥和棱锥的体积公式可以统一为 V锥 Sh 其中S为底面面积 h为高 3 圆台的体积公式为V r 2 r r r2 h 棱台的体积公式为V S S h 圆台和棱台的体积公式可以统一为V台 S S h 其中S S分别为上 下底面的面积 h为高 4 半径为R的球的体积公式为V球 R3 1 求柱 锥 台体的表面积就是求它们的侧面积和底面面积之和 对于圆柱 圆锥 圆台 已知上 下底面半径和母线长可以用表面积公式直接求出 对于棱柱 棱锥 棱台可以直接根据条件求各个面的面积 然后求面积之和 2 球的表面积公式是用无限分割的极限思想推导出来的 主要是记忆 掌握公式 3 求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割或补形成基本的柱 锥 台体 先求出这些基本的柱 锥 台体的表面积 再通过求和或作差 求几何体的表面积 几何体表面积的求解方法 方法技巧 例1 2016课标全国 9 5分 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某多面体的三视图 则该多面体的表面积为 B A 18 36B 54 18C 90D 81 解析由三视图可知 该几何体的底面是边长为3的正方形 高为6 侧棱长为3 则该几何体的表面积S 2 32 2 3 3 2 3 6 54 18 故选B 评析本题考查了几何体的三视图和柱体的表面积 考查了空间想象能力 掌握侧面的形状是求解的关键 1 割补法求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体 锥体等 或补形成柱体 锥体等 分别求出柱体 锥体等的体积 从而得出几何体的体积 2 等体积变换法 1 利用三棱锥的 等积性 可以把任意一个面作为三棱锥的底面 i 求体积时 可选择容易计算的方式来计算 ii 利用 等积性 可求点到面的距离 关键是在面中选取三个点 与已知点构成三棱锥 2 此种方法充分体现了转化的数学思想 在运用过程中要充分注意距离之间的等价转化 几何体体积的求解方法 例2 2017山西五校3月联考 10 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有刍甍 下广三丈 袤四丈 上袤二丈 无广 高一丈 问 积几何 其意思为 今有底面为矩形的屋脊柱的楔体 下底面宽3丈 长4丈 上棱长2丈 高一丈 问它的体积是多少 已知1丈为10尺 现将该楔体的三视图给出 其中网格纸上小正方形的边长为1丈 则该楔体的体积为 A A 5000立方尺B 5500立方尺C 6000立方尺D 6500立方尺 解题导引 解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF 取AB的中点G CD的中点H 连接FG GH HF 则该几何体的体积为四棱锥F GBCH与三棱柱ADE GHF的体积之和 又可以将三棱柱ADE GHF割补成高为EF 底面积为S 3 1 平方丈的一个直棱柱 故该楔体的体积V 2 2 3 1 5立方丈 5000立方尺 与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切点和接点的位置 确定有关元素间的数量关系 并作出合适的截面图 如球内切于正方体 切点为正方体各个面的中心 正方体的棱长等于球的直径 球外接于正方体 正方体的顶点均在球面上 正方体的体对角线长等于球的直径 球与旋转体的组合 通常作它们的轴截面解题 球与多面体的组合 通过多面体的一条侧棱和球心 或 切点 接点 作出截面图 与球有关的表面积 体积的求解方法 例3 2017广东广州一模 10 九章算术 中 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马 将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑 若三棱锥P ABC为鳖臑 PA 平面ABC PA AB 2 AC 4 三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上 则球O的表面积为 C A 8 B 12 C 20 D 24 解题导引 解析如图 因为四个面都是直角三角形 所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等 即PC的中点为球心O 易得2R PC 所以R 球O的表面积为4 R2 20 选C 一题多解将三棱锥P ABC放在长方体中 如图 三棱锥P ABC的外接球就是长方体的外接球 因为PA AB 2 AC 4 ABC为直角三角形 所以BC 2 设外接球的半径为R 依题意可得 2R 2 22 22 2 2 20 故R2 5 则球O的表面积为4 R2 20 选C 方法点拨几何体的外接球问题是立体几何中