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2009届高三文科数学培优试题 1 1、（本题14分）已知是实数，函数。（）若，求的值及曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最大值。2、（本小题满分14分）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）3.（本小题满分14分）设数列满足， 。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。（1）求数列和的通项公式 2009届高三文科数学培优试题 1 答案 1、（）解：，因为，所以又当时，所以曲线在处的切线方程为（）解：令，解得，当，即时，在上单调递增，从而当，即时，在上单调递减，从而当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述， 2、【解析】（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。3、【解析】（1）由得 又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列， ，当n为奇数时当n为偶数时
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