北京市东城区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

北京市东城区 2016届九年级上期末数学试卷含答案解析 一、选择题（本题共 30分，每小题 3分） 1若关于的 x+a=0有一个根为 1，则 ) A 4 B 2 C 2 D 4 2二次函数 y= x+4的最大值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 3下列图形中，是中心对称图形的为 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4一只不透明的袋子中装有 4个黑球、 2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3个球，下列事件为必然事件的是 ( ) A至少有 1个球是黑球 B至少有 1个球是白球 C至少有 2个球是黑球 D至少有 2个球是白球 5在 C=90，若 ， ，则 ) A B C D 2 6若二次函数 y=x2+2， 0）且平行于 关于 x2+的解为 ( ) A ， B ， C ， 5 D 1， 7如图，在 ， ，则 的值为 ( ) A B C D 8如图， ，点 接 ， P=30，则弦 ) A 2 B 2 C D 2 9如图，点 A， B， 延长线交 ， A=50， B=30，则 ) A 70 B 90 C 110 D 120 10如图 1，在 C， 20，点 A从 设点 x，图 1中某条线段的长为 y，若表示 y与 所示，则这条线段可能是图 1中的 ( ) A 、填空题（本题共 18分，每小题 3分） 11请你写出一个一元二次方程，满足条件： 二次项系数是 1； 方程有两个相等的实数根，此方程可以是 _ 12抛物线 y=2x+3向上平移 2个单位长度，再向右平移 3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 _ 13已知， 直径，延长 点，使 点，若 ，则 _ 14如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板 们通过调整测量位置，使斜边 使边 在同一直线上，已知 测点 G=旗杆的水平距离 0米，则旗杆的高度为 _米 15如图，已知 A（ 2 ， 2）， B（ 2 ， 1），将 逆时 针旋转 90，得到 A则图中阴影部分的面积为 _ 16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图，过圆外一点作圆的切线 已知： 求过点 小涵的主要作法如下： 如图，（ 1）连结 线段 ； （ 2）以 ， C； （ 3）作直线 C 所以 老师说： “小涵的做法正确的 ” 请回答：小涵的作图依据是 _ 三、解答题（本题共 72分，第 17小题 5分，第 27题 7分，第 28题 7分，第 29题 8分） 17计算： 4 （ 1） 2 18解方程： 6x 1=0 19如图， C， ， ，求 20已知：抛物线 y= 2m 1） x+1经过坐标原点，且当 x 0时， y随 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）结合图象写出 y 0时，对应的 （ 3）设点 点 A作 抛物线于另一点 D，再作 ， 当 时，直接写出矩形 21列方程或方程组解应用题： 某公司在 2013年的盈利额为 200万元，预计 2015年的盈利额达到 242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？ 22如图，在方格网中已知格点 （ 1）画 ABC和 成中心对称； （ 2）请在方格网中标出所有使以点 A、 O、 C、 点 23石头剪子布，又 称 “猜丁壳 ”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做 “石头 ”、 “剪刀 ”、 “布 ”三种手势中的一种，规定 “石头 ”胜 “剪刀 ”、 “剪刀 ”胜 “布 ”、“布 ”胜 “石头 ”两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么： （ 1）直接写 出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率； （ 2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率 24如图， C，以 ，与 延长线相交于点 E，过点 F （ 1）求证： （ 2）若 ，半径 ，求 25如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆 们采取的方法是：先在地面上的点 的仰角是 45，再向前走到 得杆顶端点 的仰角分别是 60和 30，这时只需要测出 同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路 26请阅读下面材料，并回答所提出的问题 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例 已知： = 证明：过 E 1= E， 2= 3 1= 2 3= E 又 = = （ 1）上述证明过程中，步骤 处的理由是什么？（写出两条即可） （ 2）用三角形内角平分线定理解答，已知， C=6 长； （ 3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究 27在平面直角坐标系 物线 y=86m 1（ m 0）与 （ 0）， B（ 0） （ 1）求证：抛物线总与 （ 2）若 ，求此抛物线的解析式 （ 3）已知 （ 2， 0）， D（ 5， 0），若抛物线 y=86m 1（ m 0）与线段 写出 28已知，在等边 ， D， B， 图 1）若将 逆时针旋转，得到 旋转角为 （ 0 180），记射线 （ 1）判断 （ 2）在图 2中补全图形， 猜想在旋转 过程中，线段 求 （ 3）点 _（直接填写结果） 29已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 有点（ x， （ x， 于点（ x， x）对称，则称这两个函数为关于 y=如，x和 y= （ 1）判断： x和 x； y1=x+1和 y2=x 1； y1=和 y2=1，其中为关于 y= _（填序号） （ 2）若 x+2和 y2=kx+b（ k0）为关于 y= 求 k、 对于任意的实数 x，满足 x _ （ 3）若 y1=bx+c（ a0）和 y2=x2+y=对于任意的实数 x，都有 结合函数的图象，求 2015）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30分，每小题 3分） 1若关于的 x+a=0有一个根为 1，则 ) A 4 B 2 C 2 D 4 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 根据一元二次方程的解的定义，把 x= 1代入方程得到关于 后解此一次方程即可 【解答】 解：把 x= 1代入方程 x+a=0得 1 3+a=0， 解得 a=2 故选： C 【点评】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 2二次函数 y= x+4的最大值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 二次 函数的最值 【专题】 计算题 【分析】 先利用配方法得到 y=（ x 1） 2+5，然后根据二次函数的最值问题求解 【解答】 解： y=（ x 1） 2+5， a= 1 0， 当 x=1时， 大值为 5 故选： C 【点评】 本题考查了二次函数的最值：当 a 0时，抛物线在对称轴左侧， y随 对称轴右侧， y随 为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x= 时， y= ；当 a 0时，抛物线在对称轴左侧， y随 对称轴右侧， y随 为图象有最高点，所以函 数有最大值，当 x= 时，y= ；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值 3下列图形中，是中心对称图形的为 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【考点】 中心对称图形 【分析】 根据中心对称图形的概念求解 【解答】 解：第 1个、 3个图形是中心对称图形，共 2个 故选 B 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称 中心，旋转 180度后与原图重合 4一只不透明的袋子中装有 4个黑球、 2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3个球，下列事件为必然事件的是 ( ) A至少有 1个球是黑球 B至少有 1个球是白球 C至少有 2个球是黑球 D至少有 2个球是白球 【考点】 随机事件 【分析】 由于只有 2个白球，则从中任意摸出 3个球中至少有 1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断 【解答】 解：一只不透明的袋子中装有 4个黑球、 2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3个球，至少有 1个球是黑球是必然事 件；至少有 1个球是白球、至少有 2个球是黑球和至少有 2个球是白球都是随机事件 故选 A 【点评】 本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件， 5在 C=90，若 ， ，则 ) A B C D 2 【考点】 锐角三角函数的定义 【分析】 根据题意画出图形，进而利用勾股定理求出斜边长，再利用锐角三角函数关系得出答案 【解答】 解：如图 所示： C=90， ， ， ， = 故选： B 【点评】 此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键 6若二次函数 y=x2+2， 0）且平行于 关于 x2+的解为 ( ) A ， B ， C ， 5 D 1， 【考点】 抛物线与 【分析】 根据对称轴方程 =2，得 b= 4，解 4x=5即 可 【解答】 解： 对称轴是经过点（ 2， 0）且平行于 =2， 解得： b= 4， 解方程 4x=5， 解得 1， ， 故选： D 【点评】 本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大 7如图，在 ， ，则 的值为 ( ) A B C D 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 条件可以求出 ； 3，再由条件可以得出 后由相似三角形的性质就可以得出结论 【解答】 解： ， ， ， =（ ） 2=（ ） 2= 故选 D 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键 8如图， ，点 接 ， P=30，则弦 ) A 2 B 2 C D 2 【考点】 垂径定理；含 30度角的直角三角形；勾股定理 【分析】 连接 ，根据垂直定理得到 C，根据直角三角形的性质得到 ，根据勾股定理求出 【解答】 解：连接 ， 则 C， ， P=30， ， = ， ， 故选： A 【点评】 本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键 9如图，点 A， B， 延长线交 ， A=50， B=30，则 ) A 70 B 90 C 110 D 120 【考点】 圆周角定理 【分析】 根据圆周角定理求得 00，进而根据三角形的外角的性质求得 0，然后根据邻补角求得 【解答】 解： A=50， A=100， B=30， B+ B=100 30=70， 80 10， 故选 C 【点评】 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 10如图 1，在 C， 20，点 A运动到 C设点 x，图 1中某条线段的长为 y，若表示 y与 所示，则这条线段可能是图 1中的 ( ) A 考点】 动点问题的函数图象 【分析】 根据图象，结合等腰三角形的性质，分点当点 点 【解答】 解：当点 线段 示为 y=x，线段 y=符合图象； 同理当点 为为一次函数，不符合图象； 如图， 作 点 C=a， 20 ， a， a， a， 设 BD=x， OD=y， C=a， a x， 在 a x） 2+（ a） 2 整理得： y2= 当 0 xy2=数的图象呈抛物线并开口向上 ， 由此得出这条线段可能是图 1中的 故选： B 【点评】 本题考查了动点问题的函数图象，根据图形运用数形结合列出函数表达式是解决问题的关键 二、填空题（本题共 18分，每小题 3分） 11请你写出一个一元二次方程，满足条件： 二次项系数是 1； 方程有两个相等的实数根，此方程可以是 x+1=0 【考点】 根的判别式 【专题】 开放型 【分析】 一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于 0答案不唯一 【解答】 解： 一元二次方程 bx+c=0（ a0）有两个相等的实数根， 4， 符合条件的一元二次方程可以为 x+1=0（答案不唯一） 故答案是： x+1=0 【点评】 此题考查了根的判别式一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根与 =4 当 0时，方程有两个不相等的两个实数根； 当 =0时，方程有两个相等的两个实数根； 当 0时，方程无实数根 上面的结论反过来也成立 12抛物线 y=2x+3向上平移 2个单位长度，再向右平移 3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 y=8x+20 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式 【解答】 解： y=2x+3=（ x 1） 2+2，其顶点坐标为（ 1， 2） 向上平移 2个单位长度，再向右平移 3个单位长度后的顶点坐标为（ 4， 4），得到的抛物线的解析式是 y=（ x 4） 2+4=8x+20， 故答案为： y=8x+20 【点评】 此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减 13已知， 长 点，使 点，若 ，则 【考点】 切线的性质 【分析】 如图，连接 先根据切线的性质可以得到 0，又 此可以得到 C=30，利用锐角三角函数的定义可得 得结果 【解答】 解：如图，连接 0， C=2 C=30， ， C=1 故答案为： 1 【点评】 本 题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解答本题的关键 14如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板 们通过调整测量位置，使斜边 使边 在同一直线上，已知 测点 G=旗杆的水平距离 0米，则旗杆的高度为 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 根据题意证出 而利 用相似三角形的性质得出 可得出答案 【解答】 解：由题意得： 0， 则 ，即 ， 解得： 0， 故 C+0+m）， 即旗杆的高度为 故答案为： 【点评】 此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键 15如图，已知 A（ 2 ， 2）， B（ 2 ， 1），将 逆时针旋转 90，得到 A则图中阴影部分的面积为 【考点】 扇形面 积的计算；坐标与图形变化 【分析】 根据旋转的性质可知阴影部分的面积 =S 扇形 AS 扇形 B据扇形的面积公式S= 计算即可 【解答】 解： 点 2 ， 2）， ， 点 2 ， 1）， ， 由旋转的性质可知， S AS 阴影部分的面积 =S 扇形 AS 扇形 B = ， 故答案为： 【点评】 本题考查的是扇形的面积计算和旋转的性质，掌握扇形的面积公式 S= 、正确根据旋转的性质表示出阴影部分的面积是解题的关键 16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图，过圆外一点作圆的切线 已知： 求过点 小涵的主要作法如下： 如图，（ 1）连结 线段 ； （ 2）以 ， C； （ 3）作直线 C 所以 老师说： “小涵的做法正确的 ” 请回答：小涵的作图依据是 直径所对的圆周角是直角 【考点】 切线的判定；作图 复杂作图 【分析】 根据圆周角定理得出 0，即 可证得 【解答】 解： 0， 则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角 故答案为：直径所对的圆周角是直角 【点评】 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了切线的判定 三、解答题（本题共 72分，第 17小题 5分，第 27题 7分，第 28题 7分，第 29题 8分） 17计算： 4 （ 1） 2 【考点】 实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】 分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等运算，然后合并 【解答】 解：原式 =2 + 2 1 = 1 【点评】 本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等知识，属于基础题 18解方程： 6x 1=0 【考点】 解一元二次方程 【分析】 将方程的常数项移动方程右边，两边都加上 9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解 【解答】 解： 6x 1=0， 移项得： 6x=1， 配方得： 6x+9=10，即（ x 3） 2=10， 开方得： x 3= ， 则 + ， 【点评】 此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为 1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解 19如图， C， ， ，求 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 易证 后运用相似三角形的性质可求出 而可得到 【解答】 解： C， B= B， = ， ， = ， ， C 4=5 【点评】 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键 20已知：抛物线 y= 2m 1） x+1经过坐标原点，且当 x 0时， y随 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）结合图象写出 y 0时，对应的 （ 3）设点 点 A作 ，再作 ， 当 时，直接写出矩形 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）根据图象过原点，可得关于 据解方程，可得答案； （ 2）根据函数与不等式的关系：图象位于 得答案； （ 3）根据平行 于 得 A、 据 ， ，可得 据自变量与函数值的对应关系，可得 据矩形的周长公式，可得答案 【解答】 解：（ 1）由 y= 2m 1） x+1经过坐标原点，得 1=0，解得 m=1或 m= 1 当 x 0时， y随 得 m= 1 抛物线的解析式 y=3x； （ 2）由图象 1 ，得 位于 y 0时，对应的 x 3； （ 3）如图 2 ， 由 A、 x= B、 x= ，得 ，即 B（ 1， 0） 当 x=1时， y=1 3= 2， 即 A（ 1， 2） 矩形 （ C） =2（ 2+1） =6 【点评】 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系：图象位于 用平行于 、 21列方程或方程组解应用题： 某公司在 2013年的盈利额为 200万元 ，预计 2015年的盈利额达到 242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？ 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 增长率问题 【分析】 设该公司这两年盈利额的年平均增长率是 x，根据题意可得， 2013年的盈利额 （ 1+增长率） 2=2015年的盈利额，据此列方程求解 【解答】 解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是 x， 由题意得， 200（ 1+x） 2=242， 解得： x= 答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是 【点评】 本题考查了一元二次方程的应 用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解 22如图，在方格网中已知格点 （ 1）画 ABC和 成中心对称； （ 2）请在方格网中标出所有使以点 A、 O、 C、 点 【考点】 作图 行四边形的判定 【专题】 作图题 【分析】 （ 1）根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形， （ 2）根据平行四边形的判定，画出使以点 A、 O、 C、 【解答】 解：（ 1）画 ABC和 成中心对称的图形如下： （ 2）根据题意画图如下： 【点评】 此题考查了作图旋转变换，用到的知识点是旋转、中心对称、平行四边形的判定，关键是掌握中心对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形 23石头剪子布，又称 “猜丁壳 ”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做 “石头 ”、 “剪刀 ”、 “布 ”三种手势中的一种，规定 “石头 ”胜 “剪刀 ”、 “剪刀 ”胜 “布 ”、“布 ”胜 “石头 ”两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游 戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么： （ 1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率； （ 2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率 【考点】 列表法与树状图法 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）甲、乙两人出第一次手势时，共有 9种等可能的结 果数，其中出现相同手势的结果数为 3，于是根据概率公式可计算出不分胜负的概率； （ 2）画树状图展示所有 27种等可能的结果数，再找出三种手势都相同或都不相同的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】 解：（ 1）一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率 = ； （ 2）画树状图为： 共有 27种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为 9， 所以甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率 = = 【点评】 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从 中选出符合事件 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 的概率 24如图， C，以 ，与 延长线相交于点 E，过点 F （ 1）求证： （ 2）若 ，半径 ，求 【考点】 切线的判定 【分析】 （ 1）连接 据等边对等角得出 B= B= C，得出 C，证得 得 而证得 （ 2）连接 0，根据等腰三角形的性质得出 C， C，通过解直角三角形求得 据勾股定理得出 而求得 直角三角形 E，然后根据勾股定理即可求得 【解答】 （ 1）证明：连接 D， B= C， B= C， C， （ 2）解：连接 0， C， C， C， ， = ， ， ， =2 ， ， 在 ， 4 =4 ， 在 = =2 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等 25如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆 们采取的方法是：先在地面上的点 的仰角是 45，再向前走到 得杆顶 端点 的仰角分别是 60和 30，这时只需要测出 同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 延长 ，设测出 直角 据三角函数利用 E，根据 E 在直角 【解答】 解：同意他们的测量方案； 延长 ， 设测出 在直角 A=45， 则 E； 0 0 在直角 E BE=m， 则 PE=m， 解得： m 则 m m= m 在直角 （ m） = m E m m= m 【点评】 本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的 长是解答此类题的一般思路 26请阅读下面材料，并回答所提出的问题 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例 已知： = 证明：过 E 1= E， 2= 3 1= 2 3= E 又 = = （ 1）上述证明过程中，步骤 处的理由是什么？（写出两条即可） （ 2）用三角形内角平分线定理解答，已知， C=6 长； （ 3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究 【考点】 相似形综合题 【分析】 （ 1）由比例式 = ，想到作平行线，用到了平行线的性质定理；只要证明 到了等腰三角形的判定定理；由 出比例式 = ，用到了平行线分线段成比例定理（推论）； （ 2）利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据计算出结果 （ 3）根据三角形的面积公式进行证 明即可 【解答】 解：（ 1）证明过程中用到的定理有： 平行线的性质定理； 等腰三角形的判定定理； 平行线分线段成比例定理； （ 2） ， 又 ， （ （ 3） 可得： = ， 可得： 【点评】 此题是一道材料题，根据材料推得的结果进行解题，主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用 27在平面直角坐标系 物线 y=86m 1（ m 0）与 （ 0）， B（ 0） （ 1）求证：抛物线总与 （ 2）若 ，求此抛物线的解析式 （ 3）已知 （ 2， 0）， D（ 5， 0），若抛物线 y=86m 1（ m 0）与线段 写出 【考点】 抛物线与 定系数法求二次函数解析式 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）证明 0即可； （ 2）利用抛物线与 86m 1=0的两根，利用根与系数的关系得到 x1+， x1，再变形 |2得到（ x1+2 4x1，所以 82 4 =4，然后解出 （ 3）先求出抛物线的对称轴为直线 x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2， y0时，抛物线与线段 是得到 4m 16m+16m 10，然后解不等式即可 【解答】 （ 1）证明： =644m（ 16m 1） =4m， m 0， 0， 抛物线总与 （ 2）根据题意， 86m 1=0的 两根， x1+ =8， x1， |2， （ x1+2 4x1， 82 4 =4， m=1， 抛物线的解析式为 y=8x+15； （ 3）抛物线的对称轴为直线 x= =4， 抛物线开口向上， 当 x=2， y0时，抛物线与线段 4m 16m+16m 10， m 【点评】 本题考查了抛物线与 求二次函数 y=bx+c（ a， b， a0）与 考查了根与系数的 关系 28已知，在等边 ， D， B， 图 1）若将 逆时针旋转，得到 旋转角为 （ 0 180），记射线 （