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定义证明二重极限 定义证明二重极限 就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为a 关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周0，xo0,xn=/2,n=1,2,收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx0,x20,故lnx/x20 且lnx1),lnx/x2a时,xn-x(n-1)=/2a,a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a. 对原始两边求极限得a=/2.解得a=a 同理可求x00x-0x+y x-y+x2+y2 limlim=1 x-0y-0x+y 当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)-(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。 例1、用数列极限定义证明：limn?2?0 n?n2?7 n?2时n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n 2 上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n2；不等号（1）成立的条件是2 n4，即n2；不等号（4）成立的条件是n?，故取n=max7, 2? 44。这样当nn时，有n7，n?。 ? 4 因为n7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n?，所以不等号（3）成立的条件是1? |不等式（4）能成立，因此当nn时，上述系列不等式均成立，亦即当nn时， 在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?2?0|?。 n2?7n的方法，因此，对于具体的数，2 可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 kn n?4?0 n?n2?n?1 n?4n?4n?4时n?n2n2(1)|2?0|?2?2? n?n?1n?n?1n?n?1n2n 22不等号（1）成立的条件是n?,故取n=max4, ,则当nn时，上面的不等式都成?例2、用数列极限定义证明：lim 立。 注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： n2?n?1?n2 n2?n?1?n n?n?n22 n(n?1)2?n?1 (?1)n 例3、已知an?，证明数列an的极限是零。 2(n?1) (?1)n1(1)1(2) 证明：?0(设0?1)，欲使|an?0|?|?成立 22(n?1)(n?1)n?1 11?解得：n?1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n?1? 1数n都是成立的，因此取n?1，则当nn时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式? 和不等式均成立，所以当nn时，|an?0|?。 在上面的证明中，设定0?1，而数列极限定义中的?是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？ 在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0?1，则n?1就有1 ? 可能不是正整数，例如若?2，则此时n1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?1，这样就能保证n是正整数了。 那么对于大于1的?，是否能找到对应的n？能找到。按照上面已经证明的结论，当?0.5时，有对应的n1，当nn1时，|an?0|0.5成立。因此，当nn1时，对于任意的大于1的?，下列式子成立： |an?0|0.51?，亦即对于所有大于1的?，我们都能找到与它相对应的n=n1。因此，在数列极限证明中，?可限小。只要对于较小的?能找到对应的n，则对于较大的? 就自然能找到对应的n。 极限定义证明 趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 这两个用函数极限定义怎么证明? x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 证明：对于任意给定的0，要使不等式 |sinx/x-0|=|sinx/x|成立，只需要 |sinx/x|22,即sinx2/xsinx2/2, |sinx|1只需不等式x1/2成立， 所以取x=1/2，当xx时，必有|sinx/x-0|0，要使不等式 |1-4x2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|成立，只 需要0|x+1/2|/2成立.所以取=/2,则当0|x+1/2|时，必有 |1-4x2/2x+1-2|=|2x+1|a=0,m1; 那么存在n1,当xn1,有a/mn2时，0ni时，0n,有 (a/m)n=f1(x)n=f1(x)n+.fm(x)n 所以a/m=(1/n) 对n取极限，所以a/m=g(x)n时成立; 令x趋于正无穷， a/m=下极限g(x)=上极限g(x)1,ba都成立，中间两个极限都是固定的数。 令m趋于正无穷，b趋于a; 有a=下极限g(x)=上极限g(x)x时, |y?1|0, x? x? ?x1?0, 使当x?x1时, 有|f(x)?a|? ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|f(x)?a|? . 取x?maxx1, x2, 则当|x|?x时, 有|f(x)?a|? , 即limf(x)?a. x? 8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证明 先证明必要性. 设f(x)?a(x?x0), 则?0, ?0, 使当00,?10, 使当x0?10, 使当x0 取?min?1, ?2, 则当0|x?x0| | f(x)?a| 即f(x)?a(x?x0). 9. 试给出x?时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x?时函数极限的局部有界性的定理? 如果f(x)当x?时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m? 证明 设f(x)?a(x