2020届市第一高级中学高三月考数学（理）试题（PDF版后附答案）

1 理 科数学试题 第 卷 满分 60 分 一 选择题 每小题 5分 共 12 小题 1 已知集合 2 2 40 log0Ax xBxx 则 BA A 2 B 2 2 C 1 2 D 2 2 下列命题中的假命题是 A 1 20 x xR B 2 1 0 xNx C 00 lg1xRx D 00 tan2xRx 3 已知角 的终边上一点坐标为 55 sin cos 66 则角 的最小正值为 A 5 6 B 11 6 C 5 3 D 2 3 4 等差数列 n a 的前n项和为 n S 若 2310 9aaa 则 9 S A 3 B 9 C 18 D 27 5 为不同的平面 mnl 为不同的直线 则m 的一个充分条件是 A nnm B m C m D lml 6 函数 0 0 sin2 x x ee xf xx 的图像大致是 7 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 2 8 已知圆锥的顶点为P 母线PAPB 所成角的余弦值为 7 8 PA与圆锥底面所成角为45o 若PAB 的面 积为5 15 则该圆锥的侧面积为 A 4021 B 40 2 C 8105 D 8 10 9 已知P是直线 40 0 lkxyk 上一动点 PAPB 是圆 22 20Cxyy 的两条切线 切点分 别为AB 若四边形PACB的最小面积为2 则k A 2 3 B 6 3 C 2 D 4 10 在 九章算术 中 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 已知在鳖臑MABC 中MA 平 面ABC 2MAABBC 则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 A 124 2 B 123 2 C 244 2 D 248 2 11 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的左 右焦点分别为 12 FF 过 1 F的直线l交C于 AB两点 若 ABAF 7 4 1 212 AFFF 则椭圆C的离心率为 A 2 7 B 3 7 C 4 7 D 5 7 12 已知点O为ABC 外接圆的圆心 角A BC 所对的边分别为abc 且3a 若 2 ACBO 则当角C取到最大值时ABC 的面积为 A 5 B 2 5 C 10 D 2 3 第 卷 非选择题 满分 90 分 二 填空题 每小题 5 分 共 4 小题 13 过三点 A 12 1 B 10 7 C 2 9 的圆的方程为 14 已知实数 x y满足 3260 20 4 yx xy x 则 32zxy 的最大值为 15 设P是 22 4Oxy 内一定点 1 0 过P作两条互相垂直的直线分别交圆 O 于AB 两点 则弦AB 中点的轨迹方程是 16 如图正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1 EFG 分别为 11 BCCCBB 的中点 则下列命题 直线 1 AG与平面AEF平行 直线 1 D D与直线AF垂直 平面AEF截正方体所得的截面面积 3 为 9 8 点C与点G到平面AEF的距离相等 平面AEF截正方体所得两个几何体的体积比 为 7 17 其中正确命题的序号为 三 解答题 共 70 分 17 在等差数列 n a 中 4 6a 且 235 aaa成等比数列 求数列 n a 的通项公式 若数列 n a 的公差不为0 设3 n a nn ba 求数列 n b 的前n项和 n T 18 设函数 2 23 sinsin3cos 22 f xxxx 求函数 f x的单调递增区间 在锐角ABC 中 若 1f A 且能盖住ABC 的最小圆的面积为4 求ABC 周长的取值范围 19 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是梯形 AB CD ABAD 22ABADCD APD 为等边三角形 当PB长为多少时 平面PAD 平面ABCD 并说明理由 若二面角PADB 的大小为150o 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 4 20 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的右焦点为 10 F M点的坐标为 0 b O为坐标原点 OMF 是等腰直角三角形 求椭圆C的方程 经过点 02 N 作直线AB交椭圆C于AB 两点 求AOB 面积的最大值 是否存在直线l交椭圆于P Q 两点 使点F为 PMQ 的垂心 垂心 三角形三边高线的交点 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 21 已知函数 2 1 ln f xax aR x 讨论 f x的单调性 若 1212 xx xx 是 f x的两个零点 求证 21 2 ln10 e axx a 5 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一道作答 作答前填上所选的题号 如若多做 则按所做第一 题计分 22 参数方程与极坐标选讲 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 cos3sin sin3cos x y 为参数 以坐标原点O为极点 x轴 的正半轴为极轴 取相同长度单位建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 cos3 6 求曲线C的普通方程和极坐标方程 设射线 3 OM 与曲线C交于点A 与直线l交于点B 求线段AB的长 23 不等式选讲 已知函数 12f xxx 记 f x的最小值为k 解不等式 1f xx 是否存在正数 ab 同时满足 12 2 4abk ab 并说明理由 6 试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D A D B B C D D A 13 14 15 16 100 2 1 22 yx 4 03222 22 xyx 17 设数列 n a 的公差为d 因为 235 aaa成等比数列 所以 2 32 5 aa a 又 4 6a 所以 2 6626ddd 即 20d d 解 得0d 或2d 当0d 时 6 n a 当2d 时 4 4 22 n aandn 因为公差不为0 由 知22 n an 则 2 2 223 n n bn 所以 1 2 1 1 02 999 1 288 1 9 n n n nn Tnn 18 因为 2 32 cos3cossin 2 xxxxf 1 2 3 2 2cos1 32sin 2 1 x x12cos 2 3 2sin 2 1 xx sin 21 3 x 由 2 2 3 2 2 2 kxk 解得 1212 5 kxk Zk 所以函数 xf的单调递增区间为 5 1212 kkkZ 因为1 Af 所以0 3 2sin A 又因为ABC 为锐角三角形 所以 2 0 A 4 2 333 A 7 所以 3 2A 故有 3 A 已知能盖住ABC 的最小圆为ABC 的外接圆 而其面积为 4 所以 4 2 外 R 解得2R 外 ABC 的角CBA 所对的边分别为cba 由正弦定理42 sinsinsin 外 R C c B b A a 所以32 3 sin4 a Bbsin4 Ccsin4 2 4sin4sin4sin4sin 4 3sin 36 bcBCBBB 由ABC 为锐角三角形 所以 26 B 所以 3 2 63 B 则 1 6 sin 2 3 B 故 346 cb 所以 36326 cba 故此ABC 的周长的取值范围为 36 326 19 当 2 2PB 时 平面PAD 平面ABCD 理由如下 在PAB 中 结合已知有2ABADPA 2 2PB 满足勾股定理 所以ABPA 又ABAD AADPA 所以ABPAD平面 而ABABCD平面 所以平面PAD 平面ABCD 分别取线段ADBC 的中点OE 连接POOE 因为APD 为等边三角形 O为AD的中点 所以POAD 且 OEAB 又ABAD 所以OEAD 故POE 为二面角PADB 的平面角 所以150POE o 如图 分别以 OA OE 的方向以及过O点垂直于平面ABCD向上的方向作为x yz 轴的正方向 建立 空间直角坐标系Oxyz 因为3OP 150POE o 所以 33 0 22 P 1 0 0A 1 2 0B 1 1 0C 可得 2 3 2 5 1 2 3 2 7 1 0 2 0 PCPBAB 设 zyxn 为平面PBC的一个法向量 则有 0 0 PCnPB 8 即 73 0 22 53 0 22 xyz xyz 令x 1 可 34 2 1 n 直线AB与平面PBC所成角为 则有 53 2 sin 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 2 53 53 20 由OMF 是等腰直角三角形 可得1 22bab 故椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 由A OB 构成三角形 所以AB不垂直x轴 设过点 02 N 的直线AB的方程为 2ykx AB 的横坐标分别为 AB xx 联立直线AB与椭圆C的方程 消元可得 22 12 860kxkx 首先 2 16240k 有 2 3 2 k 同时 22 86 1212 ABAB k xxx x kk 所以 2 2 22 1624 4 12 ABABAB k xxxxx x k 令 2 kt 则 3 2 t 2 1624 12 AB t xx t 令 3 2 ut 则0u 2 12 44 4 42 2 4 AB u xx u u u 当且仅当2u 时取等号 又AOB 面积 2 2 12 1 2 1 AOBABAB Skxxxx k 所以AOB 面积的最大值为 2 2 假设存在直线l交椭圆于P Q 两点 且使点F为 PMQ 的垂心 设 1122 P xyQ xy 因为 1 0 0 1 FM 1 MF k 所以 1 PQ k 于是设直线l的方程为y xm 联立椭圆方程 消元可得 22 34220 xmxm 由0 得 2 3m 同时 且 2 1212 422 33 mm xxx x 由题意应有 FQMP 其中 1 1 2211 yxFQyxMP 所以 1221 1 1 0 x xyy 2 1 212 2 1 0 x xxxmmm 2 2 224 2 1 0 33 mm mmm 解得 4 3 m 或1m 当1m 时 PMQ 不存在 故舍去 9 当 4 3 m 时 所求直线l存在 且直线l的方程 4 3 yx 21 易知函数 f x的定义域为 0 且 2 3 3 2 2 aax fxx xx 当0a 时 有 0fx 所以函数 f x的单调减区间是 0 当0a 时 由 0fx 有 2 x a 故函数 f x的单调增区间是 2 a 单调减区间是 2 0 a 因为函数 f x有两个零点 1212 xx xx 由 知0a 且 22 ln0 22 aa f aa 解 得2ae 欲证不等式 21 2 ln10 e axx a 成立 只需证 21 1 ln 2 e xx aa 成立 也就只需证 1 2 21 a e xxe a 成立 即需证 1 2 12 2 a e xxe aa 成立即可 一方面 因为2ae 所以 1 1 21 1 a ee ae 因此 11 0 2 11 0 22 aa f eee 所以 1 2 2 0 a f ef a 且 f x在上 2 a 单调递增 故有 1 2 2 2 a xe a 另一方面 研究 2 ln eae fa aea 的符号我们考察函数 1 lng xx ex 因为 22 111 ex g x xexex 易知 1 lng xx ex 在 1 0 e 上单调递减 在 1 e 上单调递增 所以 min 1 1 10gxg e 故 0g x 即 1 ln x ex 在定义域上恒成立 则 2 ln0 eae fa aea 另外 2 2 22 22 224 0 eeaee aaaa 结合 2 0 e ff aa 且 f x在 2 0 a 上单调递减 有 1 2e x aa 10 综上所述不等式 1 2 12 2 a e xxe aa 成立 所以原不等式成立 22 由 cos3sin sin3cos x y 平方取和有 2222 4sin4cos4xy 则曲线C的普通方程为 22 4xy 代入 222 xy 有曲线C的极坐标方程2 02 由射线 3 OM 与曲线C交于点A 有2O