线性代数期中试题A卷评析.pdf

A1 全部 全部 专业 2008 专业 2008 级本级本科 科 线性代数 期中试题 A 卷评析 一 单项选择题 本大题共 8 个小题 每小题 2 分 共 16 分 一 单项选择题 本大题共 8 个小题 每小题 2 分 共 16 分 1 在 5 级排列 12345 52341 54321 14325 41325 中有几个是偶排列 1 个 2 个 3 个 4 个 讲评 讲评 考点 奇偶排列的概念与性质 排列的逆序数的计算 本题 N 12345 0 N 52341 7 N 54321 10 N 14325 3 N 41325 4 共有 3 个偶排列 或用交换排列中的两个数码 所得的排列恰改变奇偶性 偶 奇 偶 奇 偶 选 C 2 如果 D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a32 1 D1 3a11 2a12 a13 4a13 3a31 2a32 a33 4a33 3a21 2a22 a23 4a23 A 24 B 24 C 6 D 6 讲评 讲评 考点 行列式的性质 交换行列式两行 列 行列式改变符号 行列式可依行 列 提出公因 子 将行列式某行 列 乘以一个数加到另一行 列 上去 行列式的值不变 本题 因为 D1 3a11 2a12 a13 4a13 3a31 2a32 a33 4a33 3a21 2a22 a23 4a23 3 4 a11 2a12 a13 a13 a31 2a32 a33 a33 a21 2a22 a23 a23 12 a11 2a12 a13 a31 2a32 a33 a21 2a22 a23 24 a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23 24 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a32 24D 24 选 B 3 设矩阵 A a11 a12 a21 a22 B a21 a11 a22 a12 a11 a12 P1 0 1 1 0 P2 1 1 0 1 则必有 A P1P2A B B P2P1A B C AP1P2 B D AP2P1 B 讲评 讲评 考点 矩阵的初等变换与初等方阵的关系 作列变换相当右乘一个初等方阵 作行变换相 当左乘一个初等方阵 本题 交换 A 的第一行与第二行得到 A1 将 A1的第二行乘以 1 加到第一行上去得到矩阵 B 所以 P2P1A B 选 B 4 设 n 阶可逆矩阵 A B C 满足 ABC I 则 B 1 A A 1C 1 B C 1A 1 C AC D CA 讲评 讲评 考点 矩阵的乘法与逆矩阵的运算的性质 本题 ABC I B A 1C 1 B 1 CA 选 D 5 设 A B C 均为 n 阶矩阵 且 AB BA AC CA 则 ABC A ACB B CBA C BCA D CAB 讲评 讲评 考点 矩阵的乘法的左乘与右乘 本题 BCA BAC ABC 而 ACB CAB CBA 都不等于 ABC 选 C 6 设 A B 均为 2 阶矩阵 A B 分别为 A B 的伴随矩阵 且 A 2 B 3 则分块矩阵 0 A B 0 的伴随矩阵为 A 0 3B 2A 0 B 0 2B 3A 0 C 0 3A 2B 0 D 0 2A 3B 0 讲评 讲评 考点 伴随矩阵的性质与分块矩阵的运算性质 本题 设 C 0 A B 0 C 0 X Y 0 注意 C A B 6 且 CC C E4 6 E4 A2 根据分块矩阵的乘法得到 0 A B 0 0 2B 3A 0 3AA 0 0 6BB 6 E2 0 0 E2 所以 C 0 2B 3A 0 选 B 7 设矩阵 A 1 2 1 2 ab 4 2 2 4 a 2 的秩为 2 则 A a 0 b 0 B a 0 b 0 C a 0 b 0 D a 0 b 0 讲评 讲评 考点 矩阵的秩的定义与性质 矩阵的秩的计算 本题 因为 A 1 2 1 2 ab 4 2 2 4 a 2 1 2 1 0 ab 0 0 0 a A 的秩为 2 讨论 a 与 b 的零与非零的 4 种情况 只有 a 0 b 0 才能适合 选 C 8 设向量组 1 2 3线性无关 则下列向量组线性相关的是 A 1 2 2 3 3 1 B 1 2 2 3 3 1 C 1 2 2 2 2 3 3 2 1 D 1 2 2 2 2 3 3 2 1 讲评 讲评 考点 线性无关的基本判别法 设 1 2 3线性无关 1 2 3 1 2 3 A 则 1 2 3线 性无关 A 0 本题 线性表示的行列式 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 线性相关 性表示的行列式 1 0 1 1 1 0 0 1 1 2 线性无关 线性表示的行列式 1 0 2 2 1 0 0 2 1 7 线性无关 性表示的行列式 1 0 2 2 1 0 0 2 1 9 线性无关 选 A 二 简答题 本大题共 8 个小题 每小题 4 分 共 32 分 二 简答题 本大题共 8 个小题 每小题 4 分 共 32 分 9 计算行列式 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 讲评 讲评 考点 高阶行列式计算没有对角线法则 必须使用性质化简 化为三角形行列式或展开为 低阶的行列式计算 解解 D 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 7 7 以上通过交换 D 的第 1 6 列 交换 D 的第 2 5 列 交换 D 的第 3 4 列得到 10 设 设 3 阶行列式阶行列式 D3的第的第 2 列元素分别为列元素分别为 1 2 3 对应的余子式分别为 对应的余子式分别为 3 2 1 求 求 D3 讲评 讲评 考点 行列式依行依列展开的性质 解解 D3的第 2 列元素对应的代数余子式分别为 A12 1 1 2M12 3 A22 1 2 2M22 2 A32 1 3 2M32 1 所以 D3 1 3 2 2 3 1 4 11 设设 A aij 3 3 A 4 Aij表示表示 A 中元素中元素 aij的代数余子式的代数余子式 i j 1 2 3 计算 计算 A3 a11A11 a12A12 a13A13 2 a11A21 a12A22 a13A23 2 a11A31 a12A32 a13A33 2 讲评 讲评 考点 行列式展开的性质 行列式的第 i 行元素与第 j 行的代数余子式乘积之和 ai1Aj1 ai2Aj2 ai1Aj n A 若i j 0 若i j 本题 a11A11 a12A12 a13A13 2 a11A21 a12A22 a13A23 2 a11A31 a12A32 a13A33 2 中的第一个括号中是 第 1 行元素与第 1 行的代数余子式乘积之和 2 第二一个括号中是第 1 行元素与第 2 行的代数余 子式乘积之和 0 第三个括号中是第 1 行元素与第 3 行的代数余子式乘积之和 0 所以 a11A11 a12A12 a13A13 2 a11A21 a12A22 a13A23 2 a11A31 a12A32 a13A33 2 42 02 02 16 12 若若 kx1 3x2 0 2x1 x2 0 有非零解 求有非零解 求 k 讲评 讲评 考点 n 元齐次线性方程组 AX 0 有非零解 秩 A n 当 A 为方阵时 AX 0 有非零解 A 0 解解 kx1 3x2 0 2x1 x2 0 有非零解 k 3 2 1 0 k 6 0 即 k 6 13 设 设 A 1 2 1 0 计算 计算 A2 2A I 讲评 讲评 考点 矩阵的加法 数乘与乘法运算 本题 A2 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 A2 2A I 1 2 1 2 2 1 2 1 0 1 0 0 1 2 2 1 1 14 设设 A 为为 2 阶矩阵 将阶矩阵 将 A 的第的第 2 列的 列的 2 倍加到第 倍加到第 1 列得到矩阵列得到矩阵 B 若若 B 1 2 3 4 求 求 A 讲评 讲评 考点 矩阵的初等变换与初等方阵的关系 作列变换相当右乘一个初等方阵 作行变换相 当左乘一个初等方阵 本题 对 A 作列变换相当于右乘一个初等方阵 P P 1 0 2 1 即 AP B A BP 1 1 2 3 4 1 0 2 1 5 2 11 4 15 设向量组 设向量组 1 0 1 T 2 k 1 T 1 1 4 T线性相关 求线性相关 求 k 讲评 讲评 考点 线性相关的判别方法 本题 线性相关 行列式 1 2 1 0 k 1 1 1 4 0 4k 2 k 1 0 k 1 16 设矩阵 设矩阵 A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 求 求 A3的秩 的秩 讲评 讲评 考点 幂零矩阵的性质 设 n 阶矩阵 A 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 则 A 每作一次乘幂 这一排 斜 1 向右上方升一位 An 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 An 0 A4 本题 A 是一个 4 阶幂零矩阵 A2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 所以 A3的秩为 1 三 计算题 本大题共 5 小题 每小题 8 分 共 40 分 三 计算题 本大题共 5 小题 每小题 8 分 共 40 分 17 求行列式求行列式 D 1 2 4 0 4 0 3 0 2 0 2 2 7 6 2 2 的值 的值 讲评 讲评 考点 四阶 高阶行列式计算没有对角线法则 必须使用性质化简 化为三角形行列式或 展开为低阶的行列式计算 解解 将 D 第二列展开得到 D 2 A12 6A42 2 1 1 2 4 3 0 2 2 2 7 2 2 6 1 4 2 1 4 0 4 3 0 2 2 2 2 2 9 3 6 2 13 48 D 1 2 4 0 4 0 3 0 2 0 2 2 7 6 2 2 1 2 4 0 4 0 3 0 9 6 0 0 7 6 2 2 2 1 2 4 4 0 3 9 6 0 2 0 96 54 0 0 18 2 24 48 18 已知已知A 3 3 2 2 B 4 1 3 1 C 1 1 1 1 2 0 D 1 2 1 2 2 1 矩阵矩阵X满足方程满足方程AX BX D C 求 求X 解解 AX BX D C A B X D C X A B 1 D C 其中 A B 1 2 1 1 A B 1 1 2 1 1 D C 0 3 0 1 0 1 所以 X A B 1 D C 1 2 1 1 0 3 0 1 0 1 2 3 2 1 3 1 19 已知 已知 3 2 1 1 a b a b 是任意实数 求矩阵是任意实数 求矩阵 A T 并计算矩阵 并计算矩阵 A 的秩的秩 讲评 讲评 考点 矩阵的乘法运算规则 AB 的第 i j 位置元素等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素 乘积之和 设 A 为 m n 阶矩阵 B 为 n s 阶矩阵 则 AB 为 m s 阶矩阵 相加 解解 A T 3 3a 3b 2 2a 2b 1 a b 秩 A 1 20 设设 3 阶矩阵阶矩阵 A 0 0 1 0 2 2 3 3 3 求 求 A 1 讲评 讲评 考点 求矩阵的逆矩阵的方法 对于 3 阶矩阵可用伴随矩阵法 A 1 1 A A 或初等变换法 A I 通过一系列行变换变为 I A 1 解一解一 A I 0 0 1 1 0 0 0 2 2 0 1 0 3 3 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 3 0 0 0 3 2 1 1 0 0 0 1 2 1 3 0 1 0 1 1 2 0 0 0 1 1 0 0 所以 A 1 0 1 2 1 3 1 1 2 0 1 0 0 解二解二 A 6 A11 0 A12 6 A13 6 A21 3 A22 3 A23 0 A31 2 A32 0 A33 0 A5 所以 A 1 1 A A 1 6 0 3 2 6 3 0 6 0 0 0 1 2 1 3 1 1 2 0 1 0 0 21 设 设 1 1 0 2 2 1 2 3 3 1 1 0 2 5 0 试将 试将 表示为 表示为 1 2 3的线性组合 的线性组合 讲评 讲评 考点 可由 1 2 s线性表示 方程组 x1 1 x2 2 s 有解 具体表示系数为解方程组 x1 1 x2 2 s 解解 设 x1 1 x2 2 x3 3 令 A 1T 1T 1T T 1 1 1 2 0 2 1 5 2 3 0 0 1 1 1 2 0 2 1 5 0 1 2 4 1 0 3 6 0 1 2 4 0 0 3 3 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 则 x1 3 x2 2 x3 1 即 3 1 2 2 3 四 综合题 本大题共 2 小题 每小题 6 分 共 12 分 四 综合题 本大题共 2 小题 每小题 6 分 共 12 分 22 设设 A 为为 n 阶矩阵 满足阶矩阵 满足 2A2 3A 5I 0 证明 证明 A 3I 1 1 14 2A