第章二叉树模型PPT课件.ppt

陕西师范大学国际商学院 曹培慎 1 Chapter12Binomial ba nom l Trees二叉树模型 Options Futures andOtherDerivatives 8thEdition Copyright JohnC Hull2012 2 为期权进行定价的一个有用且常见的方法是构造二叉树图 这个树图表示了股票价格在期权的有效期内可能遵循的路径 在这里 我们基本的假设是股票价格遵循几何随机游走 每一时间步中 价格上升一定的百分比有一定的概率 价格下降一定的百分比也有一定的概率 极限情况下 也就是时间步变得很小的时候 这个模型会导致股票价格遵循对数正态分布 在本章 首先简要看一下二叉树图 并解释它们与风险中性估值原理之间的关系 3 对股价如何建模 在Excel中对各种过程的模拟 4 12 1单步二叉树模型与无套利方法ASimpleBinomialModel Astockpriceiscurrently 20In3monthsitwillbeeither 22or 18 5 ACallOption Figure12 1 page254 A3 monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21 6 StockPrice 18OptionPrice 0 SettingUpaRisklessPortfolio ForaportfoliothatislongDsharesandashort1calloptionvaluesarePortfolioisrisklesswhen22D 1 18DorD 0 25 7 ValuingthePortfolio Risk FreeRateis12 Therisklessportfoliois long0 25sharesshort1calloptionThevalueoftheportfolioin3monthsis22 0 25 1 4 50Thevalueoftheportfoliotodayis4 5e 0 12 0 25 4 3670 8 ValuingtheOption Theportfoliothatislong0 25sharesshort1optionisworth4 367Thevalueofthesharesis5 000 0 25 20 Thevalueoftheoptionistherefore0 633 5 000 0 633 4 367 9 Generalization Figure12 2 page255 AderivativelastsfortimeTandisdependentonastock 10 Generalization continued ValueofaportfoliothatislongDsharesandshort1derivative TheportfolioisrisklesswhenS0uD u S0dD dor 11 S0uD u S0dD d 12 1 Generalization continued ValueoftheportfolioattimeTisS0uD uValueoftheportfoliotodayis S0uD u e rTAnotherexpressionfortheportfoliovaluetodayisS0D fHence S0D S0uD u e rT 12 Generalization continued SubstitutingforDweobtain p u 1 p d e rTwhere 13 12 2 12 3 pasaProbability Itisnaturaltointerpretpand1 pasprobabilitiesofupanddownmovementsThevalueofaderivativeisthenitsexpectedpayoffinarisk neutralworlddiscountedattherisk freerate 14 Excel应用 运用复制公式的技巧 15 12 2风险中性定价Risk NeutralValuation Whentheprobabilityofanupanddownmovementsarepand1 ptheexpectedstockpriceattimeTisS0erTThisshowsthatthestockpriceearnstherisk freerateBinomialtreesillustratethegeneralresultthattovalueaderivativewecanassumethattheexpectedreturnontheunderlyingassetistherisk freerateanddiscountattherisk freerateThisisknownasusingrisk neutralvaluation 16 OriginalExampleRevisited pistheprobabilitythatgivesareturnonthestockequaltotherisk freerate 20e0 12 0 25 22p 18 1 p sothatp 0 6523Alternatively 17 ValuingtheOptionUsingRisk NeutralValuation Thevalueoftheoptionise 0 12 0 25 0 6523 1 0 3477 0 0 633 18 IrrelevanceofStock sExpectedReturn 19 Whenwearevaluinganoptionintermsofthepriceoftheunderlyingasset theprobabilityofupanddownmovementsintherealworldareirrelevantThisisanexampleofamoregeneralresultstatingthattheexpectedreturnontheunderlyingassetintherealworldisirrelevant 现实世界与风险中性世界 必须强调的一点是 p是在一个风险中性的世界中股价上升的概率 事实上由股价变动所决定 而在现实世界中概率事实并不一定是这样的 20 不幸的是 现实世界中很难确定能适用于该预期收益的准确贴现率 持有看涨期权头寸比持有相应股票头寸的风险更大 所以用来贴现看涨期权收益的贴现率应该高于16 不知道期权价值的情况下 我们也不知道这个贴现率应该比16 高多少 21 12 3两步二叉树ATwo StepExample K 21 r 12 Eachtimestepis3months 22 ValuingaCallOptionFigure12 4 page260 ValueatnodeB e 0 12 0 25 0 6523 3 2 0 3477 0 2 0257ValueatnodeA e 0 12 0 25 0 6523 2 0257 0 3477 0 1 2823 23 一般结论 24 12 4看跌期权的例子APutOptionExample K 52 K 52 timestep 1yrr 5 25 APutOptionExampleFigure12 7 page263 K 52 timestep 1yrr 5 u 1 2 d 0 8 p 0 6282 26 12 5美式期权WhatHappensWhenthePutOptionisAmerican 27 TheAmericanfeatureincreasesthevalueatnodeCfrom9 4636to12 0000 Thisincreasesthevalueoftheoptionfrom4 1923to5 0894 12 6Delta Delta D istheratioofthechangeinthepriceofastockoptiontothechangeinthepriceoftheunderlyingstockThevalueofDvariesfromnodetonode股票期权的D是股票期权价格的变化与标的股票价格的变化之比 为了构造一个无风险对冲 对一个卖空的期权头寸应该持有的股票数量 构造无风险对冲有时就被称为D对冲 看涨期权的D是正值 而看跌期权的D是负值 28 2020 3 19 29 12 7用u和d匹配波动率Choosinguandd 30 31 Choosinguandd OnewayofmatchingthevolatilityistosetwheresisthevolatilityandDtisthelengthofthetimestep ThisistheapproachusedbyCox Ross andRubinstein 32 Girsanov sTheorem Volatilityisthesameintherealworldandtherisk neutralworldWecanthereforemeasurevolatilityintherealworldanduseittobuildatreefortheanassetintherisk neutralworld 33 34 AssetsOtherthanNon DividendPayingStocks Foroptionsonstockindices currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofp 35 12 8二叉树公式 为了与波动率匹配 我们取 36 ProvingBlack Scholes MertonfromBinomialTrees AppendixtoChapter12 Optionisinthemoneywhenj awheresothat 37 ProvingBlack Scholes MertonfromBinomialTreescontinued TheexpressionforU1canbewrittenwhereBothU1andU2cannowbeevaluatedintermsofthecumulativebinomialdistributionWenowletthenumberoftimestepstendtoinfinityandusetheresultthatabinomialdistributiontendstoanormaldistribution 38 12 9增加二叉树的时间步数 在实际中应用二叉树时 期权的期限通常会被分割为30步或更多的步数 39 12 10使用DerivaGem软件 DerivaGem可以展示的树形最多为10步 但计算量最多可以达到500步 40 12 11对于其他标的资产的期权 对于指数期权 外汇期权和期货期权 可以利用二叉树模型分析这些资产的价格 除了计算p的公式变化之外 方法和股票期权的分析方法相同 公式 12 12 说明期初的价格等于p乘以上升的价值加上1 p乘以下降的价值再以无风险利率贴现所得到的值 41 支付连续红利收益的股票的期权 42 股票指数期权 在前面计算股票指数的未来价格时 我们假设指数的标的股票组合支付的红利收益率为q 在这里 沿用这个假设 因此 股票指数期权的估值和支付连续红利收益率的股票期权的估值非常相似 43 例12 1 当前某个股票指数为810 波动率为20 红利收益率为2 无风险利率为5 用DerivaGem对6个月期执行价格为800的欧式看涨期权估值 44 外汇期权 可以把一种外汇看作是支付外汇无风险利率的一种资产 和股票指数期权的情况一样 可以利用公式 12 13 12 16 构造外汇期权的二叉树图 在这种情况下 设定 45 例11 2 当前 一澳元等于0 6100美元 汇率波动率为12 澳元无风险利率为7 美元无风险利率为5 用DerivaGem估值执行价格为0 6000的3个月期美式看涨期权的价格 46 期货期权 买入和卖出期货合约不需要任何成本 因此 在风险中性世界里 期货价格的预期增长率应该为零 和上述分析一样 可以定义p为期货价格上述的概率 u为期货价格上升的百分比 d为价格下降的百分比 47 48 例11 3 当前的期货价格为31 波动率为30 无风险利率为5 利用DerivaGem估值执行价格为30的9个月期美式看跌期权的价格 49 TheProbabilityofanUpMove 50 小结 本章简要介绍了基于股票和其他一些资产的期权的定价 估值问题 如果在股票期权有效期内股票价格的变化 运动是按单步二叉树图的方式进行的话 那么有可能构造一个由股票期权和股票本身组成的无风险证券组合 无套利机会的世界中 无风险证券组合的收益率应该等于无风险利率 这有可能要根据股票来定价股票期权 有意思的是 没有必要在每个节点假设股票价格上升和下降的概率 51 如果股票价格的运动是按多步二叉树图方式进行的 我们可以分别处理每个单步二叉树图 并从期权有效期的末尾推回到开始位置 获得期权的当前价格 其中只用到了无套利假设 而没有必要假设股票价格在每个节点上升和下降的概率 另一个为期权估值的方法是运用所谓的风险中性估值原理 这是一个非常重要的原理 它说明在为期权和其他衍生证券估值时 可以假设世界是风险中性的 本章已经用数字和表达式说明 无套利和风险中性估值都可得到同样的期权价格 股票期权的delta 考虑了标的股票价格的一个小变化对期权价格的