导数（1）答案.doc

导数及应用（1）一、基础训练:1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+x，2+y），则为 .答案 x+22.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f(x)= .答案 cos2x+cosx3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)-f(x)恒成立，且常数a,b满足ab,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）.af(b)bf(a)af(a)bf(b) af(a)bf(b)af(b)bf(a)答案 4.（2008辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 .答案 5.(2008全国理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .答案 2二、典型例题题型一 利用导数定义解题例1 （1）求函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率.解 y=，=.（2）函数满足，则当x无限趋近于0时， 题型二 、利用法则与公式求导例2 求下列各函数的导数：（1）y=； （2）y=（x+1）（x+2）（x+3）；（3）y=-sin(1-2cos2)；（4）y=+.解 （1）y=x+x3+，y=（x）+(x3)+(x-2sinx)=-x+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.(2)方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.方法二y=（x+1）（x+2）（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）=（x+1）（x+2）+（x+1）（x+2）（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）y=-sin(-cos)=sinx，y=(sinx) = （sinx）=cosx.（4）y=+=，y=()=.例3 求下列函数的导数：（1）y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.解 （1）设u=1-3x,y=u-4.则y x=y uux=-4u-5（-3）=.(2)设y=u2,u=sinv,v =2x+,则y x=y uu vv x=2ucosv2=4sincos=2sin.(3)y=(x)=x+x（)=+=.例4有一倒置的圆锥形容器，其底面的半径等于圆锥的高，若以/s的速度向该容器注水，求当水深为10cm时水面上升的速度.题型三 、求切线方程例5 已知曲线y=x3+.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）y=x2,在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4.曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0，x03+)，则切线的斜率k=y|=x02.切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0),即y=x02x-x03+.点P（2，4）在切线上，4=2x02-x03+,即x03-3x02+4=0,x03+x02-4x02+4=0,x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.题型四 、用导数研究单调性例6 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解 f(x)= e x-a.(1)若a0，f(x)= ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a0, ex-a0,exa,xlna.f(x)的递增区间为（lna，+）.（2）f（x）在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0,a0.（3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.四、巩固练习1. y=tanx的导数为 .解 y=.2.设函数f（x）=cos（x+）（0）.若f(x)+f(x)是奇函数,则= .答案 3.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .答案 2或-4、函数y=3x2-2lnx的单调增区间为 ，单调减区间为 .答案 5.设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= .答案 -26.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 .答案 7.若函数f(x)的导函数为f(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0a1)的单调递减区间是 .答案 8.设函数f(x)=ax+（a,bZ），曲线y=f(x)在点（2，f（2）处的切线方程为y=3.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.(1)解 f(x)=a-,于是解得或因为a,bZ,故f(x)=x+.(2)证明 在曲线上任取一点（x0,x0+）,由f(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=(x-x0).令x=1,得y=,切线与直线x=1的交点为;令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.所以,所围三角形的面积为定值2.9已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解 由已知f(x)=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，f(x)=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，f(x)=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a0.（2）解 由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x