桂电三院·数学建模1参考答案.doc

数学建模参考答案及评分标准一、 应用题（15分）解：设该厂每月生产a、b两种药剂的重量分别为x、y公斤时总利润p最大。则x、y应满足Max p=7x+11ySt. 2x30003x+5y4000y1500x,y0将以上数学模型转化为如下的Matlab标准形式：Min w=-7x-11yS.t2,03,50,1xy30004000150000xy(评分标准: 能正确介绍解释数学模型中所出现的各个变元的含义得3分、给出正确的数学模型得10分、给出正确的标准形式得满分)二、 方案设计（15分）解：由于当x0时，y=|log2(x)|0且y=4-(x-2)24。所以它们的相交区域介于x轴与直线y=4之间。由于抛物线y=4-(x-2)2与x轴交于(0,0)及(4,0)，所以相交区域在y轴与直线x=4之间。综上所述，相交区域必然被顶点分别为 0,04,4的矩形所完全覆盖。 因此设计的随机实验思想如下：在0,04,4的矩形区域上产生服从均匀分布的数量庞大的随机点集合S。统计落在相交区域内的随机点数目Num，则其面积近似为16Num/|S|。（注：16为矩形区域面积，|S|为产生的所有随机点的数目）其中Num=|S|，S=(x,y)|0x4，|log2(x)|y4-(x-2)2。（评分标准：能正确解释并求出覆盖矩形得7分，在此基础上能正确且清晰阐述实验思想的得满分）三、 形式转化（15分） (第一条约束中的改为)解：设置一个绝对值非常大的实数M（例如M=10000000000）。原问题是一个求带约束的极小值的问题，因此我们可以针对其各个约束项增加目标公式中的子公式使得当某候选解a不满足相应约束时，a所对应的目标公式值必然是一个非常大的实数值（这样a就必然不是新目标公式的极小值解）。修改方案如下：(1) 针对约束x12-x2100增加子目标公式-Mmin(100-x12+x2,0)。因为当候选解a违反该约束时，该子公式取值一个绝对值很大的正实数；而当a符合该约束时，该子公式不会对整体的目标公式值有任何影响。下面同理：(2) 针对约束-x1-x22=-1增加子目标公式M|1-x1-x22|。(3) 针对约束x1，x20增加子目标公式 -Mminx1,x2，0。综合以上，原问题可以转化为一个无约束的最优化问题，其目标公式为：min gx=fx-Mmin(100-x12+x2,0)+M|1-x1-x22|-Mminx1,x2,0 其中 fx=x1+x22-x1x2（评分标准：能正确给出各约束的对应子目标公式各得3分，在此基础上能给出正确数学模型得满分）四、 计算题（第1小题10分、第2小题15分，共25分）1. 解：用prim算法Step1: 选择点V1为初始点，既P=V1，Q=Step2:P不等于图中节点的全集V，因此找到边cost()=2=mincost(pv)|pP，vP,pv图中的边集E。所以，P=V1,V2，Q=Step3:与Step2类似，P=V1,V2,V5，Q=,Step4: 与Step3类似，P=V1,V2,V5,V6，Q=,Step5: 与Step4类似，P=V1,V2,V3,V5,V6，Q=,Step6: 与Step5类似，P=V1,V2,V3,V4,V5,V6，Q=,Step7: 与Step6类似，P=V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7，Q=,。至此P=V，因此算法结束（又或者）用kruskal算法Step1：Q=，（初始化）Step2：由于Q中包含不足|V|-1=6条边，又由于cost()=2=mincost(e)|eE-Q且Qe无环且eE-Q|Qe无环。注意，这里的E表示图中边的全集。所以Q=，Step3：与Step2类似，Q=,，Step4：与Step3类似，Q=,，Step5：与Step4类似，Q=,，Step6：与Step5类似，Q=,，Step7：与Step6类似，Q=,。至此Q中包含|V|-1=6条边，因此算法结束（以上两种算法只选择其一完成作答即可）（评分标准：能选择方法并给出第一步结果得3分，在此基础上能给出正确求解步骤得满分）2. 解： Step1：当前所有边的剩余容量初始化为它们各自的容量，当前费用C=0，当前流量F=0Step2：将各剩余容量不为0的边上的单位流量费用视为距离值，可以发现Vs到Vt的最短路径为Vs-V2-V3-Vt。该路径上剩余容量最小的边为v3-Vt，其容量为3。所以当前流量F=F+3=3，当前费用C=C+3*（1+2+2）=15，边Vs-V2、V2-V3、V3-Vt的剩余容量分别减少3为4、7、0（因此可以在后面计算中不再考虑V3-Vt边）Step3：与Step2类似，可以发现Vs到Vt的最短路径为Vs-V1-Vt。该路径上剩余容量最小的边为V1-Vt，其容量为7。所以当前流量F=F+7=10，当前费用C=C+7*（3+4）=64，边Vs-V1、V1-Vt的剩余容量分别减少7为2、0（因此可以在后面计算中不再考虑V1-Vt边）Step6：Vs已不可到达Vt，算法结束。求得最大流为F=10，其最小费用为C=64。（评分标准：按步骤正确求得最大流最小费用得满分，按步骤酌情扣分）五、 程序设计（15分）解： 编写程序如下X=10 24 49 63 91;Y=1.0975 0.9485 0.8207 0.7875 0.7664;R=x.(-1), ones(5,1);Ab=ryX0=10:0.1:91;Y0=ab(1)*x0.(-1)+ab(2);Plot(x,y,o,x0,y0,r)（评分标准：能正确使用数组格式得2分，在此基础上能给出正确matlab代码的得满分）六、 分析题（15分）解：设杯子内部温度随时间的变化函数为c(t)，由题目知c(0)=20。而杯中的冰（水）的温度变化函数为w(t)，由题目知w(0)=0。又设杯子从外界吸收的能量为ce(t)，冰（水）吸收的能量为ie(t)，易由题目知ce(0)= ie(0)=0。由条件(3)知 dce/dt=l1(20-c(t) 由条件(2)知 die/dt=l2(c(t)-w(t)2 由条件(1)及能量守恒定律可得 c*dc/dt= dce/dt- die/dt 由题目知：一开始冰的温度始终是0摄氏度，设在t1时刻冰刚刚全化成水。则当将写成die/dt=l2(c(t)2 利用、构成的微分方程组及各初值条件求解各c(t)、ce(t)、ie(t)。当冰完全化为水需吸收100a焦耳=ie(t1)。利用求出的ie(t)表达式求出t1。以t1为新的初始时刻，由能量守恒定律可得b*dw/dt= die/d