苏科版九年级数学下册第五章：二次函数二次函数最值 同步练习（含解析）

二次函数最值一、选择题1.对于二次函数y=(x1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是()A. 对称轴是直线x=1，最小值是2B. 对称轴是直线x=1，最大值是2C. 对称轴是直线x=1，最小值是2D. 对称轴是直线x=1，最大值是22.关于二次函数y=2x2+4x1，下列说法正确的是()A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧C. 当x0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为33.若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2ax()A. 有最大值a4B. 有最大值a4.C. 有最小值a4D. 有最小值a44.二次函数y=x22x+c在3x2的范围内有最小值5，则c的值是()A. 6 B. 2 C. 2 D. 35.已知二次函数y=x22mx(m为常数)，当1x2时，函数值y的最小值为2，则m的值是()A. 32B. 2C. 32或2D. 32或26.在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，点E为线段AD上一点，且DE=2AE，点G是线段AB上的动点，EFEG交BC所在直线于点F，连接GF.则GF的最小值是()A. 3B. 6C. 62D. 357.已知关于x的二次函数y=x22x1，当axa+2时，函数有最大值2，则a的值为()A. 1或1B. 1或3C. 1或3D. 3或38.如图，正三角形ABC的边长为3+3，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为()A. 32 B. 32 C. 3 D. 929.当axa+1时，函数y=x22x+1的最小值为1，则a的值为()A. 1B. 2C. 0或2D. 1或210.如图，ABC中，CAB=90，B=30，BC=4，点D是AB边上一个动点，将AD绕点A逆时针旋转60得到AD，连接CD，则CD的最小值是()A. 1 B. 3 C. 31 D. 32二、填空题11.如图，P是抛物线y=x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为_12.如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_13.二次函数y=x2+2x3的最小值是_14.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是_15.如图，在RtABO中，AOB=90，AO+BO=5，延长AO到C，使OC=3，延长BO到D，使OD=4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为_ 16.若二次函数y=kx2+k23有最大值1，则k的值是_17.如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EFAE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB=4，则点G到AD距离的最大值是_18. 如图，在ABC中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上，则矩形EFGH的面积最大值为_19.如图，在ABC中，ACB=90，AC=3，CB=5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D顺时针旋转90，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于20.若函数y=a(xh)2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x22x+3相同，则此函数的表达式为_三、解答题21.如图，抛物线经过A(4,0)，B(1,0)，C(0,2)三点在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标22.如图，已知抛物线经过两点A(3,0)，B(0,3)，且其对称轴为直线x=1(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标23.在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PMAB，PNAC，M、N分别为垂足(1)求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；(2)当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值24.如图，已知抛物线y=12x2x+4与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于C(1)求点A、B、C的坐标；(2)若点E是抛物线在第二象限部分上的一动点，其横坐标为a，求a为何值时，图中阴影部分面积最小，并写出此时点E的坐标答案和解析1.【答案】B【解析】解：由抛物线的解析式：y=(x1)2+2，可知：对称轴x=1，开口方向向下，所以有最大值y=2，故选：B根据抛物线的图象与性质即可判断本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型2.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题【解答】解：y=2x2+4x1=2(x+1)23，当x=0时，y=1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=1，故选项B错误，当x1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=1时，y取得最小值，此时y=3，故选项D正确故选D3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限，得到1a0且a0，1a0，二次函数y=ax2ax=ax122a4有最大值a4故选B4.【答案】D【解析】【分析】首先把二次函数y=x22x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在3x2内有最小值，判断c的取值本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单【解答】解：把二次函数y=x22x+c转化成顶点坐标式为y=(x+1)2+c+1，又知二次函数的开口向下，对称轴为x=1，故当x=2时，二次函数有最小值为5，故9+c+1=5，故c=3故选D5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键将二次函数配方成顶点式，分m2和1m2三种情况，根据y的最小值为2，结合二次函数的性质求解可得【解答】解：y=x22mx=(xm)2m2，若m2，当x=2时，y=44m=2，解得：m=322(舍)；若1m2，当x=m时，y=m2=2，解得：m=2或m=21(舍)，m的值为32或2，故选：D6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值等，解题关键是要善于运用函数思想求最值过点F作FMAD于M，证AEGMEF，设AG=x，利用相似的性质用含x的代数式表示EM的长度，在RtGBF中，利用勾股定理用含x的代数式表示出GF2，利用函数的性质求出其最小值，再求出GF的最小值即可【解答】解：如图，过点F作FMAD于M，四边形ABCD为矩形，A=EMF=90，MF=AB=6，EFGE，AGE+AEG=90，AEG+MEF=90，AGE=MEF，AEGMFE，AGME=AEMF，设AG=x，AD=9，DE=2AE，AE=3，xME=36，ME=2x，BF=AM=3+2x，在RtGBF中，GF2=GB2+BF2=(6x)2+(3+2x)2=5x2+45，点G在线段AB上，0x6，由二次函数的性质可知，当x=0时，GF2有最小值45，GF的最小值为35，故选D7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=2时x的值是解题的关键利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=2时x的值，结合当axa+2时函数有最大值2，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：当y=2时，有x22x1=2，解得：x1=1，x2=3当axa+2时，函数有最大值2，a=1或a+2=3，a=1或a=1故选A8.【答案】D【解析】解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，ABC为等边三角形，A=B=60，AB=3+3，在RtADN中，AD=33DN=33m，在RtBPF中，BF=33PF=33n，AD+DE+EF+BF=AB，33m+m+n+33n=3+3，m+n=3，n=3m，S=m2+n2=m2+(3m)2=2(m32)2+92，当点M落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，在RtADN中，AD=33DN，AN=233DN，DN+233DN=3+3，解得DN=333，在RtBPF中，BF=33PF，33(333)+333+EF+33PF=3+3，解得PF=639，633m333，当m=32时，S最小，S的最小值为92故选：D设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得A=B=60，利用含30度的直角三角形三边的关系得AD=33DN=33m，BF=33PF=33n，则33m+m+n+33n=3+3，所以所以n=3m，S=m2+n2=m2+(3m)2=2(m32)2+92，接着确定m的取值范围为633m333，然后根据二次函数的性质求出S的最小值本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质9.【答案】D【解析】解：当y=1时，有x22x+1=1，解得：x1=0，x2=2当axa+1时，函数有最小值1，a=2或a+1=0，a=2或a=1，故选：D利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当axa+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键10.【答案】A【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理和利用二次函数求最小值先根据勾股定理求出的解析式，再根据配方法求出最小值【解答】解：过作于H点，设，ABC中，CAB=90，B=30，BC=4，AC=2，AH=3x，CH=23x，=4x243x+4=4(x32)2+1，CD的最小值是1，故选A11.【答案】6【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的坐标特征求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法本题采用了配方法设P点坐标为(x,y)(0x0)，根据矩形的周长公式得到C=2(x1)2+6.根据二次函数的性质来求最值即可得到结果【解答】解：y=x2+x+2，当y=0时，x2+x+2=0，即(x2)(x+1)=0，解得x=2或x=1，故设P(x,y)(0x0)，四边形OAPB周长C=2(x+y)=2(xx2+x+2)=2(x1)2+6当x=1时，C最大值=6，即：四边形OAPB周长的最大值为6故答案是612.【答案】a0【解析】解：抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，a0，故答案为a0由于原点是抛物线y=ax2+5的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础13.【答案】4【解析】解：y=x2+2x3=(x+1)24，二次函数y=x2+2x3的最小值是4故答案为：4把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便14.【答案】1【解析】解：由题意得，4aa424a=3，整理得，a23a4=0，解得a1=4，a2=1，二次函数有最大值，a0，a=1故答案为：1根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况15.【答案】18【解析】解：设AO=x，则BO=5x，OC=3，OD=4，AC=x+3，BD=9x，S四边形ABCD=12ACBD=12(x+3)(9x)=12x2+3x+272=12(x3)2+18，当x=3时，四边形ABCD的面积有最大值为18，即四边形ABCD面积的最大值为18，故答案为：18设AO=x，则BO=5x，得到AC=x+3，BD=9x，得到二次函数的解析式，于是得到结论本题考查了二次函数的最值，四边形的面积的计算，能根据题意列出函数关系式是解题的关键16.【答案】2【解析】解：二次函数y=kx2+k23有最大值1，k0，k23=1，解得，k=2，故答案为：2根据二次函数的性质得到k0，k23=1，解方程即可本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、二次函数的最值的确定方法是解题的关键17.【答案】1【解析】解：如图所示：设BE=x，FC=y，EFAE，AEB+FEC=90，又四边形ABCD是正方形，B=C=90BAE+AEB=90，BAE=FEC，ABEECF(AA)，BECF=ABCE=ABBCBE，即xy=44x，y=x(4x)4=14(x2)2+1,(0x4)故答案为1因AEF=90得AEB+FEC=90，在RtABE中BAE+CEF=90，根据同角的余角相等得BAE=FEC，可证明ABEECF；由相似三角形的性质和二次函数可求点G到AD距离的最大值是1本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质和二次函数求最值等相关知识；重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是将相似三角形的相似比相等转化为二次函数解析式求最值18.【答案】12【解析】解：设HG=x，(0x8)四边形EFGH是矩形，HG/BC，AHGABC，HGBC=AKAD，即x8=6KD6，解得，KD=634x，则矩形EFGH的面积=x(634x)=34x2+6x=34(x4)2+12，则矩形EFGH的面积最大值为12，故答案为：12设HG=x，根据相似三角形的性质用x表示出KD，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键19.【答案】2【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，关键是得出二次函数的解析式过E作EFBC于F，根据余角的性质得到DEF=ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+(2x)2=2(x1)2+2，于是得到结论【解答】解：过E作EFBC于F，C=ADE=90，EFD=C=90，FED+EDF=90，EDF+ADC=90，DEF=ADC，在EDF和DAC中，EDFDAC(AAS)，DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，则BE2=x2+(2x)2=2(x1)2+2，BE2的最小值是2，BE的最小值是2，故答案为220.【答案】y=2(x2)2+8或y=2(x+2)2+8【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质及待定系数法求解析式函数图象经过原点，可得等式ah2+k=0；已知最大值8，可得k=8；根据抛物线形状相同可知a=2，从而可求h【解答】解：函数y=a(xh)2+k的图象经过原点，把(0,0)代入解析式，得：ah2+k=0，最大值为8，即函数的开口向下，a0，顶点的纵坐标k=8，又形状与抛物线y=2x22x+3相同，二次项系数a=2，把a=2，k=8代入ah2+k=0中，得h=2，函数解析式是：y=2(x2)2+8或y=2(x+2)2+8，故答案为y=2(x2)2+8或y=2(x+2)2+821.【答案】解：该抛物线过点C(0,2)，设该抛物线的解析式为y=ax2+bx2将A(4,0)，B(1,0)代入，得16a+4b2=0a+b2=0，解得a=12b=52，此抛物线的解析式为y=12x2+52x2；如图，设D点的横坐标为t(0t4)，则D点的纵坐标为12t2+52t2过D作y轴的平行线交AC于E由题意可求得直线AC的解析式为y=12x2E点的坐标为(t,12t2)DE=12t2+52t2(12t2)=12t2+2tSDAC=12(12t2+2t)4=t2+4t=(t2)2+4当t=2时，DAC面积最大D点的坐标为(2,1)【解析】已知抛物线经过C(0,2)，则可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx2，再把A(4,0)，B(1,0)代入即可得出抛物线的解析式；过D作y轴的平行线交AC于E，将DCA分割成两个三角形CDE，ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即DCA的面积，运用代数式的变形求最大值本题综合考查了待定系数法求函数解析式，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，掌握待定系数法的方法与步骤，会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形22.【答案】解：(1)抛物线对称轴是直线x=1且经过点A(3,0)由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1,0)设抛物线的解析式为y=a(xx1)(xx2)(a0)即：y=a(x1)(x+3)把B(0,3)代入得：3=3aa=1抛物线的解析式为：y=x22x+3(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，A(3,0)，B(0,3)，3k+b=0b=3，直线AB为y=x+3，作PQx轴于Q，交直线AB于M，设P(x,x22x+3)，则M(x,x+3)，PM=x22x+3(x+3)=x23x，S=12(x23x)3=32(x+32)2+278当x=32时，S最大=278，y=(32)22(32)+3=154，PAB的面积的最大值为278，此时点P的坐标为(32,154)【解析】(1)因为对称轴是直线x=1，所以得到点A(3,0)的对称点是(1,0)，因此利用交点式y=a(xx1)(xx2)，求出解析式(2)根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得