2014年天津市高考数学试卷(理科).doc

2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1（5分）（2014天津）i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC+iD+i2（5分）（2014天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A2B3C4D53（5分）（2014天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A15B105C245D9454（5分）（2014天津）函数f（x）=log（x24）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）5（5分）（2014天津）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=16（5分）（2014天津）如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）ABCD7（5分）（2014天津）设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8（5分）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、DC上，=，=，若=1，=，则+=（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）（2014天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生10（5分）（2014天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m311（5分）（2014天津）设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为12（5分）（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为13（5分）（2014天津）在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为14（5分）（2014天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，xR，若方程f（x）a|x1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为三、解答题（共6小题，共80分）15（13分）（2014天津）已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值16（13分）（2014天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）（）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望17（13分）（2014天津）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点（）证明：BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值18（13分）（2014天津）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率19（14分）（2014天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（）设s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n证明：若anbn，则st20（14分）（2014天津）设f（x）=xaex（aR），xR，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2（）求a的取值范围；（）证明：随着a的减小而增大；（）证明x1+x2随着a的减小而增大2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1（5分）（2014天津）i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC+iD+i【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数34i，即求出值【解答】解：复数=，故选A【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题2（5分）（2014天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A2B3C4D5【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B（1，1）时，直线y=的截距最小，此时z最小此时z的最小值为z=1+21=3，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3（5分）（2014天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A15B105C245D945【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】算法和程序框图【分析】算法的功能是求S=135（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=135（2i+1）的值，跳出循环的i值为4，输出S=1357=105故选：B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键4（5分）（2014天津）函数f（x）=log（x24）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）【考点】复合函数的单调性菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】令t=x240，求得函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），且函数f（x）=g（t）=logt根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（，2）（2，+） 上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数t在（，2）（2，+） 上的减区间【解答】解：令t=x240，可得 x2，或 x2，故函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），当x（，2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，所以y=log（x24）随x的增大而增大，即f（x）在（，2）上单调递增故选：D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题5（5分）（2014天津）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程【解答】解：双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=5，即焦点坐标为（5，0），c=5，双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1故选：A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题6（5分）（2014天津）如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）ABCD【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项【解答】解：圆周角DBC对应劣弧CD，圆周角DAC对应劣弧CD，DBC=DAC弦切角FBD对应劣弧BD，圆周角BAD对应劣弧BD，FBD=BAFAD是BAC的平分线，BAF=DACDBC=FBD即BD平分CBF即结论正确又由FBD=FAB，BFD=AFB，得FBDFAB由，FB2=FDFA即结论成立由，得AFBD=ABBF即结论成立正确结论有故答案为D【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题7（5分）（2014天津）设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若ab，ab0，不等式a|a|b|b|等价为aabb，此时成立0ab，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立a0b，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立若a|a|b|b|，当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab当a0，b0时，ab当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab即必要性成立，综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键8（5分）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、DC上，=，=，若=1，=，则+=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由=1，求得4+42=3 ；再由=，求得+= 结合求得+的值【解答】解：由题意可得若=（+）（+）=+=22cos120+=2+4+4+22cos120=4+422=1，4+42=3 =（）=（1）（1）=（1）（1）=（1）（1）22cos120=（1+）（2）=，即+= 由求得+=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）（2014天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生【考点】分层抽样方法菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300=60，故答案为：60【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题10（5分）（2014天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】立体几何【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，几何体的体积V=124+222=4+=故答案为：【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键11（5分）（2014天津）设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为【考点】等比数列的性质菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】由条件求得，Sn=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1S4，由此求得a1的值【解答】解：由题意可得，an=a1+（n1）（1）=a1+1n，Sn=，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1S4，即 =a1（4a16），解得 a1=，故答案为：【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题12（5分）（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为【考点】余弦定理；正弦定理菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA= 的值【解答】解：在ABC中，bc=a ，2sinB=3sinC，2b=3c ，由可得a=2c，b=再由余弦定理可得 cosA=，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题13（5分）（2014天津）在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为3【考点】简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【专题】坐标系和参数方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y2）2=4，可得a的值【解答】解：直线sin=a即y=a，（a0），曲线=4sin，即2=4sin，即x2+（y2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，AOB是等边三角形，B（a，a），代入x2+（y2）2=4，可得（a）2+（a2）2=4，a0，a=3故答案为：3【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题14（5分）（2014天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，xR，若方程f（x）a|x1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）（9，+）【考点】根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】由y=f（x）a|x1|=0得f（x）=a|x1|，作出函数y=f（x），y=a|x1|的图象利用数形结合即可得到结论【解答】解：由y=f（x）a|x1|=0得f（x）=a|x1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x1|的图象，当a0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a0，此时g（x）=a|x1|=，当3x0时，f（x）=x23x，g（x）=a（x1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时x23x=a（x1），即x2+（3a）x+a=0，则由=（3a）24a=0，即a210a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=9（x1），g（0）=9，此时不成立，此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0a1，若a1，此时g（x）=a（x1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x1），整理得x2+（3a）x+a=0，则由=（3a）24a0，即a210a+90，解得a1（舍去）或a9，综上a的取值范围是（0，1）（9，+），方法2：由f（x）a|x1|=0得f（x）=a|x1|，若x=1，则4=0不成立，故x1，则方程等价为a=|=|x1+5|，设g（x）=x1+5，当x1时，g（x）=x1+5，当且仅当x1=，即x=3时取等号，当x1时，g（x）=x1+5=54=1，当且仅当（x1）=，即x=1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）a|x1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a9或0a1，故答案为：（0，1）（9，+）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题（共6小题，共80分）15（13分）（2014天津）已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（）由（）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值【解答】解：（）由题意得，f（x）=cosx（sinxcosx）=所以，f（x）的最小正周期=（）由（）得f（x）=，由x，得，2x，则，当=时，即=1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题16（13分）（2014天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）（）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】（）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值【解答】（）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为（）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力17（13分）（2014天津）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点（）证明：BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据=0，可得BEDC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）根据BFAC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角FABP的余弦值【解答】证明：（I）PA底面ABCD，ADAB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）=（0，1，1），=（2，0，0）=0，BEDC；（）=（1，2，0），=（1，0，2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角满足：sin=，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（）=（1，2，0），=（2，2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=（2，2，2）（01），故=+=（12，22，2）（01），由BFAC，得=2（12）+2（22）=0，解得=，即=（，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角FABP的平面角满足：cos=，故二面角FABP的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键18（13分）（2014天津）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|可得，再利用b2=a2c2，e=即可得出（）由（）可得b2=c2可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（c，0），B（0，c），可得，利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得联立可得=0，解得P设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r设直线l的方程为：y=kx利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：（）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2又b2=a2c2，a2=2c2e=（）由（）可得b2=c2因此椭圆方程为设P（x0，y0），由F1（c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c），=c（x0+c）+cy0=0，x0+y0+c=0，点P在椭圆上，联立，化为=0，x00，代入x0+y0+c=0，可得P设圆心为T（x1，y1），则=，=T，圆的半径r=设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx直线l与圆相切，整理得k28k+1=0，解得直线l的斜率为【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题19（14分）（2014天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（）设s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n证明：若anbn，则st【考点】数列与不等式的综合；数列的求和菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（）当q=2，n=3时，M=0，1，A=x|，xiM，i=1，2，3即可得到集合A（）由于ai，biM，i=1，2，nanbn，可得anbn1由题意可得st=（a1b1）+（a2b2）q+1+q+qn2+qn1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（）解：当q=2，n=3时，M=0，1，A=x|，xiM，i=1，2，3可得A=0，1，2，3，4，5，6，7（）证明：由设s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，nanbn，anbn1可得st=（a1b1）+（a2b2）q+1+q+qn2+qn1=0st【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题20（14分）（2014天津）设f（x）=xaex（aR），xR，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2（）求a的取值范围；（）证明：随着a的减小而增大；（）证明x1+x2随着a的减小而增大【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】（）对f（x）求导，讨论f（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（）由于x1=a，x2=a，则x2x1=lnx2lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x（1，+），得到h（x）在（1，+）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大再由（）知，t随着a的减小而增大，即得证【解答】解：（）f（x）=xaex，f（x）=1aex；下面分两种情况讨论：a0时，f（x）0在R上恒成立，f（x）在R上是增函数，不合题意；a0时，由f（x）=0，得x=lna，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表：x（，lna）lna（lna，+）f（x）+0f（x）递增极大值lna1递减f（x）的单调增区间是（，lna），减区间是（lna，+）；函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：f（lna）0；存在s1（，lna），满足f（s1）0；存在s2（lna，+），满足f（s2）0；由f（lna）0，即lna10，解得0ae1；取s1=0，满足s1（，lna），且f（s1）=a0，取s2=+ln，满足s2（lna，+），且f（s2）=（）+（ln）0；a的取值范围是（0，e1）（）证明：由f（x）=xaex=0，得a=，设g（x）=，由g（x）=，得g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，并且当x（，0）时，g（x）0，当x（0，+）时，g（x）0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a（0，e1）及g（x）的单调性，可得x1（0，1），x2（1，+）；对于任意的a1、a2（0，e1），设a1a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0X11X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0Y11Y2；g（x）在（0，1）上是增函数，由a1a2，得g（Xi）g（Yi），可得X1Y1；类似可得X2Y2；又由X、Y0，得；随着a的减小而增大；（）证明：x1=a，x2=a，lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；x2x1=lnx2lnx1=ln，设=t，则t1，解得x1=，x2=，x1+x2=；令h（x）=，x（1，+），则h（x）=；令u（x）=2lnx+x，得u（x）=，当x（1，+）时，u（x）0，u（x）在（1，+）上是增函数，对任意的x（1，+），u（x）u（1）=0，h（x）0，h（x）在（1，+）上是增函数；由得x1+x2随着t的增大而增大由（）知，t随着a的减小而增大，x1+x2随着a的减小而增大【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；maths；清风慕竹；caoqz；刘长柏；王老师；gongjy；翔宇老师；沂蒙松；szjzl（排名不分先后）菁优网2016年6月8日考点卡片1命题的真假判断与应用【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x22x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分 【解题方法点拨】1判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假 2判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可3判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断【命题方向】该部分内容是课程标准新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现2必要条件、充分条件与充要条件的判断【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点1充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“pq”，称p为q的充分条件意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件如p：x6，q：x2，p是q成立的充分条件，而r：x3，也是q成立的充分条件必要条件：如果q成立，那么p成立，即“qp”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“pq”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p是q成立的必须具备的条件充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq”2从集合角度看概念：如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么“pq”，相当于“PQ”即：要使xQ成立，只要xP就足够了有它就行“qp”，相当于“PQ”，即：为使xQ成立，必须要使xP缺它不行“pq”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物3当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”它的意义是：若q不成立，则p一定不成立这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件4“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立【解题方法点拨】1借助于集合知识加以判断，若PQ，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P=Q，则P与Q互为充要条件2等价法：“PQ”“QP”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的3对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“”连接【命题方向】充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础在每年的高考中，都会考查此类问题3复合函数的单调性【知识点的认识】 所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性平常常见的一般以两个函数的为主【解题方法点拨】 求复合函数y=f（g（x）的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间【命题方向】 理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性4函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）=x23x+2有f（0）f（3）0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点（3）若f（x）在a，b上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）f（b）0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点特别提醒：“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x22x+1=0在0，2上有两个等根，而函数f（x）=x22x+1在0，2上只有一个零点；函数的零点是实数而不是数轴上的点（2）代数法：求方程f（x）=0的实数根5根的存在性及根的个数判断【根的存在性及根的个数判断】 第一个定理应该叫介值定理内容是如果一个连续的函数f（x），a，b在这个函数的定义域内，并且f（a）与f（b）异号，那么存在ca，b使得f（c）=0也就是c是方程f（x）=0的根第二个定理可以叫Rolle定理 如果函数f（x） 在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b） 内可导，且f（a）=f（b），那么在（a，b） 内至少有一点 （aB），使得函数f（）=0，这个可以判断出导函数零点是否存在第三个定理是代数学基本定理 任何复系数一元n次方程在复数域上至少有一根（n1）由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算），这个是复数域上，高考较少涉及【判定方法】 这里面用的比较多的是f（a）f（b）0和数形结合法，我们以具体例子为例：例题：判断函数f（x）=ex5零点的个数解：法一f（0）=40，f（3）=e350，f（0）f（3）0又f（x）=ex5在R上是增函数，函数f（x）=ex5的零点仅有一个 法二令y1=ex，y2=5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，故函数f（x）=ex5的零点仅有一个 【高考趋势】 根的存在问题相对来说是零点里头最重要的一个点，也是比较常考的点，一般都是以中档题的形式在选择题里出现，在解这种题的时候，做出函数图象是首要选择，然后根据图形去寻找答案6利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f（x）； （3）求出f（x）=0的根； （4）用f（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f（x）0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f（x）0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+） C（，1）D（，+）解：设g（x）=f（x）2x4，则g（x）=f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）=2，g（1）=f（1）+24=44=0，则由g（x）g（1）=0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B题型二：导数很函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：解：（）（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（）得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函