第十一届江苏省高等数学竞赛本二试题解析_蒋卫军.pdf

第 18 卷第 4 期 江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报 JOURNAL OF JIANGSU TEACHERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol 18 No 4 Aug 20122012 年 8 月 0引言 江苏省普通高校非理科专业第十一届高等数学竞赛已于 2012 年 5 月 26 号落下帷幕 该赛事是目前 江苏高等数学最高级别的竞赛 随着竞赛大纲的不断修改和调整 对参赛学生的能力要求也越来越高 正 从单纯理论型向综合应用型转变 1 虽然竞赛只是面向一部分数学知识较好的学生 试题的难易程度也高于日常教学 但对高职院校提 高数学教学质量和改革教学模式有着更高层面的影响 本届竞赛江苏技术师范学院共有 65 人参加 获奖 情况为一等奖 1 人 二等奖 4 人 其余为三等奖 虽然和兄弟学校相比 成绩不是很突出 但是相比之前取 得的成绩有了很大的提高 之前没有获得一等奖 这说明该校高等数学教学质量和学生整体素质有所提 高 也体现了其高等数学教学改革的成效 本届竞赛试题主要考查基本数学知识 以基本题为主 但又有一定的创新试题和综合型试题 鼓励学 生多角度思考问题 试题类型较常规 没有出现偏题 怪题 有利于学生的正常发挥 笔者拟对竞赛的二本 试题做一些具体的评析 供相关师生在教学中参考 1总体评价 本届竞赛二本试题的难度和题量适中 考生整体感觉能较快入手 除个别题目有一定的灵活性 整体 注重考查学生的基本数学能力 包括空间想象能力 抽象分析能力 推理论证能力及数学运算能力等 试 卷保持了以往的结构特点 充分体现了竞赛二本试题的特征 本届竞赛二本试题严格按照竞赛大纲要求 内容主要包括一元函数微积分 多元函数微积分 空间解 析几何 无穷级数 2 3 试题满分 100 分 具体考点分析如下 第十一届江苏省高等数学竞赛本二试题解析 蒋卫军 施俊 金亚东 江苏技术师范学院 数理学院 江苏 常州213001 摘要 江苏省非理科专业高等数学竞赛是目前江苏高职院校数学最高级别的竞赛 每两年举办一届 目的在 于激发大学生学习高等数学的积极性 提高学生运用数学知识解决问题的能力 推动数学基础课程的改革 提高 教学质量 结合高等数学学习对本二学生综合素质和创新能力培养的特殊功能 对 2012 年江苏省高等数学竞赛 本二试题的结构与考点进行分析 并对典型试题作出解析 以供相关师生在教学中参考 关键词 高等数学竞赛 评析 考点 中图分类号 G642 46文献标识码 A文章编号 1674 8522 2012 04 0147 04 收稿日期 2012 07 01 修回日期 2012 07 10 基金项目 江苏技术师范学院教学研究项目 编号 JG11039 作者简介 蒋卫军 1981 男 江苏武进人 讲师 硕士 主要研究方向为数论 148第 18 卷江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报 1 一元函数微积分 这个点包括 4 个填空题和 4 个计算题 共 40 分 填空题主要涉及求极限 高阶 导数 定积分 广义积分等基本知识 共 16 分 主要以基本题为主 考查学生的计算能力 计算题小题 共 24 分 考查的是极限的计算和连续性和以及导数的应用 第 1 个小题是数列极限 通过变形化为 型 较易 第 2 个小题考点为洛必达法则和利用导数的定义 但要注意的是不能两次运用洛必达法则 要求学 生掌握洛必达法则运用的条件 容易丢分 第 3 个小题为函数在一点的连续和在它的某去心邻域的连续 的关系 第 4 个小题为可导函数的极值点是不是拐点 都要求证明或给出反例 这题有一定的开放性 很 灵活 对于平时只重视计算 不重视理论的学生有一定的难度 不易得分 2 多元函数微积分 这个点包括 2 个填空题和 2 个计算题 共 30 分 填空题主要涉及二元复合函数 的偏导数求导法则与三重积分的计算 共 8 分 主要考查学生的运用法则的基本运算能力 计算题 10 分 考查的是中值定理 但是和二元函数结合起来 有一定的难度 中值定理是竞赛中很重要的知识点 学生 必须掌握好 另一计算题 12 分 考查的是曲线积分 可以利用斯托克斯公式和区域的对称性 计算量较 大 3 空间解析几何和无穷级数 这个点包括 2 个填空题和 2 个计算题 共 30 分 填空题主要涉及点到 直线的距离公式及级数的收敛性 共 8 分 主要考查学生对基本公式的掌握程度 难度不大 计算题 12 分 考查的是平面和球的知识以及二元函数的极值 后一计算题 10 分 考查的是级数的和 2典型试题解析 例 1y ln 1 x2 则 y n 解析 本题考点是 n 阶导数的计算 高阶导数也是竞赛中经常出现的类型 对于这类题目主要是通过 一阶导数 二阶导数 三阶导数的计算 通过其中的规律 得到 n 阶导数的一般形式 对于本题 如果直接 去求导 可能不易找出其规律 可以先利用对数的运算法则 ln 1 x2 ln 1 x ln 1 x 而 ln 1 x 与 ln 1 x 的 n 阶导数容易算出 最后得出 y n 1 n 1 n 1 1 x 1 n 1 x 1 n 例 2函数 x x f x y 皆可微 设 z f x y xy 则 鄣z 鄣x 鄣z 鄣y 解析 本题考点是二元复合函数偏导数的链式法则 z f x y x y u x y v x y 为中 间变量 则 鄣z 鄣x 鄣z 鄣u 鄣u 鄣x 鄣z 鄣v 鄣v 鄣x 鄣z 鄣y 鄣z 鄣u 鄣u 鄣y 鄣z 鄣v 鄣v 鄣y 本题 u x y v xy 则 鄣u 鄣x 鄣u 鄣y x y 鄣v 鄣x y xy 鄣v 鄣y y xy 因此 鄣z 鄣x 鄣z 鄣y y x f2 例 3设 f x 在 x 0 处二阶可导 且 f 0 2 求lim x 0 f ex 1 f x x2 解析 本题考点是 0 0 型极限的计算 但是要注意利用洛必达法则的条件 对于本题只能一次利用洛 必达法则 然后结合导数的定义求出极限 lim x 0 f ex 1 f x x2 lim x 0 exf ex 1 f x 2x 1 2 limx 0 ex f ex 1 f 0 ex 1 lim x 0 f x f 0 x lim x 0 2ex 2 x 1 2 f 0 f 0 2 1 这类型的题目主要考察的 是对定理适用条件的判断 很多学生容易犯两次应用洛必达法则的错误 例 4函数 f x 在 上一阶可导 0 f 0 为极值 且 0 f 0 为曲线 y f x 的拐点 指出满足 上述条件的函数是否存在 若存在 举一例 并证明满足条件 若不存在 请给出证明 第 4 期蒋卫军施俊金亚东 第十一届江苏省高等数学竞赛本二试题解析149 解析 本题考查的是导数的应用 对于可导函数 极值点是驻点 而拐点是凹凸性的分界点 可以借助 于图形分析 由于 0 f 0 为曲线 y f x 的拐点 故 f x 在 x 0 两侧符号相反 即 f x 在 x 0 两侧单调 性相反 所以 f x 在 上有单调性 所以 f 0 不可能为极值 解答如下 反证法 因为 f 0 为极值 所以 f 0 0 不妨设 f 0 为极小值 若 0 f 0 是拐点 则存在 x 0 的去 心邻域 U x y 0 x 1 1 使得 f x 在 0 与 0 上的单调性相反 不妨设在 1 0 上 f x 单调增加 在 0 1 上 f x 单调减少 因为 f 0 0 于是坌x U 都有 f x 0 因此 x U 时 函 数 f x 单调减少 故 f 0 不可能是 f x 的极小值 矛盾 所以满足条件的函数不存在 例 5设函数 f x y 在平面区域 D 上可微 线段 PQ 位于 D 内 点 P Q 的坐标分别为 P a b Q x y 求证 在线段 PQ 上存在点 M 使得 f x y f a b fx x a fy y b 解析 本题考查的是利用中值定理的证明 这是竞赛中很重要的考点 本题难点在于给出的是二元函 数 如何构造出一元函数 结合要证明的等式可联想到可构造直线 PQ 的参数方程 使得 f x y f a b 刚 好是其端点值 然后利用拉格朗日中值定理 解答如下 令 F t f a t x a b t y b 则 F 0 f a b F 1 f x y 且 F t 在 0 1 上连续 在 0 1 上可 导 由拉格朗日中值定理 埚 0 1 使得 F 1 F 0 F 1 0 F 1 因为 F t fx a t x a b t y b x a fy a t x a b t y b y b 令 a x a b y b 则点 M 在线段 PQ 上 则 F fx x a fy y b 代入 1 式得 f x y f a b fx x a fy y b 例 6点 A 1 2 1 B 5 2 3 在平面 2x y 2z 3 的两侧 过点 A B 做球面 使其在平面 上 截得的圆 T 最小 1 求球面 的球心坐标与该球面的方程 2 证明 直线 AB 与平面 的交点是圆 T 的圆心 解析 本题的考点是空间解析几何中的球与平面相关知识 过程中还要涉及二元函数极值的计算 可 以借助于图形分析 球心在线段 AB 的垂直平分面上 然后建立球心坐标与圆的半径之间的函数关系 从 而求出函数的极值 即最值 要证明 AB 与平面 的交点是圆 T的圆心 只须证明球心与交点的连线垂 直于平面 可以利用向量的运算 解答如下 1 向量 AB 4 1 1 1 线段 AB 的中点是 3 0 1 于是线段 AB 的垂直平分面 1的方程是 x y z 4 因为球心在 1上 可设球心为 O a b 4 a b 则 OA 2 a 1 2 b 2 2 5 a b 2 又设球心 O 到平 面 的距离为 d 则 d2 2a b 2 4 a b 3 3 2 1 9 4a 3b 11 2 设圆 T 的 半径为 r 则 u r2 OA2 d2 a 1 2 b 2 2 5 a b 2 1 9 4a 3b 11 2 由 鄣u 鄣a 2 a 1 2 5 a b 8 9 4a 3b 11 0 鄣u 鄣b 2 b 2 2 5 a b 6 9 4a 3b 11 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 0 解得 a 8 b 2 由 于驻点是惟一的 故圆 T的半径 r 的最小值存在 所以球心坐标为 O 8 2 6 OA 90姨 所以球面方 程为 x 8 2 y 2 2 z 6 2 90 2 直线 AB 的参数方程为 x 1 t y 2 t z 1 t 代入平面 的方程 解得 t 1 所以直线 AB 与平面 的交点 M 的坐标为 M 2 1 0 平面 的法向量为n 軋 2 1 2 因为向量O 軑M 6 3 6 3 2 1 2 显然O 軑M n 軋 所以O 軑M 于是点 M 是圆 T的圆心 150第 18 卷江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报 Analysis and Assessment of the eleventh Jiangsu Advanced Mathematics Contest of college level Jiang Wei jun Shi Jun Jin Ya dong School of mathematics and Physics Jiangsu Teachers University of Technology Changzhou 213001 China Abstract The AMC Advanced Mathematics Contest for non science majored Students in Jiangsu Province held everytwoyears is currentlythe highest level ofAMCofcollege level in China The contest is aimed at Stimulating the students enthusiasm for learning advanced mathematics improving the students to use mathematical knowledge to solve the question ability to promote the mathematics course reform improve teaching quality The author analysis and assesses the structure and test spots of the questions of 2012 Jiangsu AMC of college level especially the typical questions in combination with the special function of advanced mathematics on fostering students comprehensive quality and innovative abilitysoas ti facilitate mathematics teachingas well as the counselingofcontest Key words AMC analysis and assessment test spot 责任编辑张