高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析.pdf

收稿日期 2009 04 22 作者简介 李明生 男 湖北武汉人 讲师 理学硕士 从事高等数学教学与研究 第 29卷第 6期黄 冈 师 范 学 院 学 报Vo l 29 No 6 2009年 12月JournalofHuanggang Nor malUniversityDec 2009 高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析 李明生 武汉体育学院 文化课教研室 湖北 武汉 430079 摘 要 以高等数学中的有关知识为背景 从连续函数在闭区间上的性质 严格凸函数的性 质 詹森不等式三个方面对近几年来全国及各省 市部分高考题 特别是高考压轴题中的函数 与不等式综合题进行了分析和解答 关键词 函数 不等式 导数 单调性 中图分类号 G633 66 文献标识码 A 文章编号 1003 8078 2009 06 021 04 College Entrance Exam ination analysis of function and inequality with advancedmathemactices LIM ing sheng Depart ment ofT raining W uhan Institute of PhysicalEducation W uhan 430079 Hube i China Abstract W ith related know ledge of advanced mathe m actics we apply the properties of continuous function in closed interval and rigorous convex function and Jensen s inequality to analyse and solve some test ques tions of the CollegeEntrance Exam ination in recent years especially the compositive questions of function and inequality Key words function inequality derivative monotone 随着高考制度改革的不断深化 全国以及各省 市自主命题的高考试题不断有所创新 这种创新一 方面体现在更加重视对学生能力的考查 另一方面体现在更加注重对数学思想和数学知识应用的考查 它的一个体现就是高考数学题中出现了以高等数学知识为背景的题目 近几年来 以高等数学知识为 背景的函数与不等式综合题在高考中频繁出现 并且常常充当了压轴题的角色 此类试题有以下特点 在知识上以函数和不等式为载体研究相关函数的性质 在方法上重点考查求一阶导数 二阶导数 判断 函数的单调性 放缩法等方法和数形结合的思想 由于本文出现的定理在各版本的高等数学或数学分 析中都可以查到 所以定理的证明过程略去 仅使用其结论 对于本文中不属于以高等数学中的有关知 识为背景的试题的子问题仅给出结果不写出解答过程 1 连续函数在闭区间上的性质 定理 1 有界性定理 若函数 f x 在闭区间 I上连续 则 f x 在闭区间 I上必有界 例 1 2007年安庆高考模拟题 1 设函数 f x 在闭区间 I上连续 常数 M 对 x I 满足 f x M 那么称 f x 是 I上的有界函数 已知 f x x 2 1 ax 求使 f x 1在 x 0 上恒成 立的 a的取值范围 解 f x x x 2 1 a 因为 f x 在 x 0 上连续 且 f 0 a li m x f x li m x x x 2 1 a 1 a 所以在 x 0 必有界 f x 1 x 2 1 x 2 1 因为 x 0 所以 f x 0 从而 f x 在区间 0 上是增函 数 从而 a f x 1 a 又因为 f x 1 1 f x 1在 x 0 上恒成立 所以 1 a且 1 a 1 求得 0 a 1 本题是以高等数学中连续函数在闭区间上有界定理为背景 结合导数与函数的单调性转化为不等 式求解 它要求学生有较强的知识转化能力 定理 2 根的存在性定理 如果函数 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a f b 1时 方程 f x 0在 e m m e 2m m 内有两个实数根 解 当 m 1时 f x 0 过程略 由条件 m 1知 e m 1 e 2m 则 e m m 1 m 1时 f 1 m 1 m 1 m m 1 m 0 则 f 1 m f e m m 2 2m 3 m 3 1 m 3 m 3 m C 1 m 3 m 1 C m 1 m 3 1 3 m 0 又 f x 在闭区间 1 m e 2m m 上连续且单调递增 所以 f x 在开区间 1 m e 2m m 内存在唯一的 x2 使得 f x2 0 综上所述 当 m 1时 方程 f x 0在 e m m e 2m m 内有两个实数根 解答本题第 问的解答过程简洁明了 其实质就是应用根的存在性定理 考查学生理解题意的 能力 利用已知条件是顺利解题的关键 2 严格凸函数的性质 定义 3 设函数设 f x 定义在区间 I上 若对任意 x1 x2 I 及任意的 0 1 都有 f x1 1 x2 f x1 1 f x2 则称 f x 是 I上的严格上凸函数 定理 3 4 如果取 1 2 总有 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 那么称 f x 在区间 I上的图象是严格上凸的 例 3 2005年湖北高考题 y 2 x y log 2x y cos2x 这四个函数中 当 0 x1 x2 f x1 f x2 2 恒成立的函数个数是 22 黄 冈 师 范 学 院 学 报第 29卷 A 0 B 1 C 2 D 3 解 由不等式 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 可知 函数 f x 在开区间 0 1 内的的图象是严格上凸的 符合条件的函数只有 y log2x 故选 B 本题虽然没有点出所给的定义是严格上凸函数 但考察的是严格上凸函数的定义 它利用定义来理 解图形 考察学生的数形结合思想 定理 4 设函数 f x 在 a b 上连续 在 a b 内具有一阶和二阶导数 如果 f x 0 那么 f x 在 a b 上的图象是严格下凸的 反之如果 f x 0 讨论 y f x 的单调性 若对任意 x 0 1 恒有 f x 1 求 a的取值范围 解 当 0 2时 f x 在 a 2 a a 2 a 1 1 内为增函数 在 a 2 a a 2 a 内为减函数 过程略 由题意可知 对任意 x 0 1 恒有 f x 1 即 1 x 1 x e ax 1 e ax 1 x 1 x 两边同时取自然对数 ln得 ax ln 1 x 1 x对任意 x 0 1 恒成立 令 g1 x ax g2 x ln 1 x 1 x 则 g 2 x 2 1 x 2 g 2 x 4x 1 x 2 2 因为对任意 x 0 1 g 2 x 0且 g 2 x g2 x 知 g1 x 的图象总在 g2 x 的图象的上方 所以 g1 x 的图象不在直线方程 y 2x下方 则 ax 2x 对任意 x 0 1 恒成立 解得 a 2 本题主要考察利用导数的方法判断函数的单调性 左端点求右极限的知识 在此基础上结合严格上 凸函数图象的特性 根据求使不等式成立的条件 巧思妙解求出的取值范围 3 詹森 Jensen 不等式 定理 5 若 f x 是 a b 上的下凸函数 f x 0 则对任意 xi a b i 0 i 1 2 n n i 1 i 1 有 f n i 1 ixi n i 1 if xi 例 5 2005年全国高考题 设函数 f x x log2x 1 x log2 1 x 0 x 1 求 f x 的最 小值 设正数 P1 P2 P3 P2n满足 P1 P2 P3 P2n 1 证明 P1log2P1 P2log2P2 P3log2P3 P2nlog2P2n n 解 构造函数 g x x log2x 那么 g 1 x 1 x log2 1 x 其中 0 x 0 所以 g x 在开区间 0 1 内的图象是严格下凸的 由 Jensen不等式有 g x 1 x 2 1 2 g x g 1 x 即g x g 1 x 2g 1 2 2 1 2 log2 1 2 1 所以 f x 1 即 f x 的最小值是 1 由 Jensen不等式可知 g P 1 P2 P3 P2n 2 n 1 2 n g P1 g P2 g P2n 将 P1 P2 P3 P2n 1代人上式左边得 g 1 2 n 1 2 n g P1 g P2 g P2n 所以 g P1 g P2 g P2n 2 ng 1 2 n 2 n 1 2 nlog2 1 2 n n 即 P1log2P1 P2log2P2 P3log2P3 P2nlog2P2n n 本题是当年全国高考理科卷压轴题 考察了考生巧构函数 利用求导数的方法判断函数图象的凸 性 运用 Jensen不等式 可使解答过程简洁流畅 参考文献 1 刘先德 毛光寿 高等数学背景下的高考函数问题 J 中学数学研究 2007 5 16 18 2 刘翀 以高等数学内容为背景的试题例析 J 中学数学教学参考 2006 6 35 37 3 张喜堂 数学分析 M 武汉 华中师范大学出版社 2000 4 同济大学数学系 高等数学 第六版 M 北京 高等教育出版社 2008 张所滨 上接第 11页 表 3 方差分析 模型平方和自由度均方检验统计量 F检验 P 1回归172 164357 3884691 400 000 a 残差 97980 012 总偏差173 14383 参考文献 1 蒋仲荪 蒋庆 医学科研设计及 SPSS软件应用 第 1版 M 杭州 浙江大学出版社 2