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2017中考数学一轮复习-二次函数图像与性质学案 2017年中考数学一轮复习第14讲二次函数图像与性质【考点解析】知识点一、求二次函数图象的顶点坐标【例题】（2016河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 （1，4） 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可【解答】解：A（0，3），B（2，3）是抛物线y=x2+bx+c上两点，代入得： ，解得：b=2，c=3，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键【变式】抛物线y=x22x+3的顶点坐标是 【答案】（1，2）.【解析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标试题解析：y=x22x+3=x22x+11+3=（x1）2+2，抛物线y=x22x+3的顶点坐标是（1，2）知识点二、二次函数图象的增减性及其其它性质【例题】（2015江苏常州）已知二次函数 ，当x1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据二次函数的性质即可做出判断.【解析】抛物线的对称轴为直线 ，当x1时，y的值随x值的增大而增大， ，解得： 故选D【点评】本题考查了二次函数的性质，能正确地判断出确定出对称轴是解题的关键【变式】（2016 鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：abc0；9a+3b+c0；c1；关于x的方程ax2+bx+c（a0）有一个根为 其中正确的结论个数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断；由图象可知当x=3时，y0，可判断；由OA=OC，且OA1，可判断；把 代入方程整理可得ac2bc+c=0，结合可判断；从而可得出答案【解答】解：由图象开口向下，可知a0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c0，又对称轴方程为x=2，所以 0，所以b0，abc0，故正确；由图象可知当x=3时，y0，9a+3b+c，故错误；由图象可知OA1，OA=OC，OC1，即c1，c1，故正确；假设方程的一个根为x= ，把x= 代入方程可得 +c=0，整理可得acb+1=0，两边同时乘c可得ac2bc+c=0，即方程有一个根为x=c，由可知c=OA，而当x=OA是方程的根，x=c是方程的根，即假设成立，故正确；综上可知正确的结论有三个，故选C【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键知识点三 二次函数的对称轴 【例题】（2015湖南怀化）二次函数y= +2x的顶点坐标为 ，对称轴是直线 【答案】(1，1)；直线x=1.【分析】将二次函数配成顶点式，然后得出顶点坐标和对称轴【解析】y= +2x= 1，从而得出抛物线的顶点坐标(1，1)；对称轴直线x=1【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键【变式】（2016 四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（ ）A直线x=1B直线x=1C直线x=2D直线x=2【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程【解答】解：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，抛物线的对称轴为直线x=1故选B【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），它的顶点坐标是（ ， ），对称轴为直线x= 知识点四、二次函数的最大（小）值【例题】（2016 长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（ba0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：该抛物线的对称轴在y轴左侧；关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；ab+c0； 的最小值为3其中，正确结论的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及ba0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b24ac0，从而得到为正确；由x=1及x=2时y都大于或等于零可以得到正确【解答】解：ba0 0，所以正确；抛物线与x轴最多有一个交点，b24ac0，关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，=b24a（c+2）=b24ac8a0，所以正确；a0及抛物线与x轴最多有一个交点，x取任何值时，y0当x=1时，ab+c0；所以正确；当x=2时，4a2b+c0a+b+c3b3aa+b+c3（ba）3所以正确故选：D【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b24ac的符号【变式】（2016 天津）已知二次函数y=（xh）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1x3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）A1或5 B1或5 C1或3 D1或3【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、xh时，y随x的增大而增大、当xh时，y随x的增大而减小，根据1x3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：若1x3h，当x=3时，y取得最小值5；若1x3h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可【解答】解：当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小，若h1x3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1h）2+1=5，解得：h=1或h=3（舍）；若1x3h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）综上，h的值为1或5，故选：B【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键知识点五、二次函数图象与系数的关系【例题】（2016 资阳）已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（ ）Am= n Bm= n Cm= n2Dm= n2【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x= 时，y=0且b24c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（ ，m），B（ + ，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论【解答】解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，当x= 时，y=0且b24c=0，即b2=4c又点A（x1，m），B（x1+n，m），点A、B关于直线x= 对称，A（ ，m），B（ + ，m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（ ）2+（ ）b+c，即m= +c，b2=4c，m= n2，故选D【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键【变式】二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20；4a+c2b；3b+2c0；m（am+b）+ba（m1），其中正确结论的个数是（ ） A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】试题分析：抛物线和x轴有两个交点，b24ac0，4acb20，正确；对称轴是直线x1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，抛物线和x轴的另一个交点在（3，0）和（2，0）之间，把（2，0）代入抛物线得：y=4a2b+c0，4a+c2b，错误；把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c0，2a+2b+2c0，b=2a，3b，2c0，正确；抛物线的对称轴是直线x=1，y=ab+c的值最大，即把（m，0）（m0）代入得：y=am2+bm+cab+c，am2+bm+ba，即m（am+b）+ba，正确；即正确的有3个，故选B知识点六、二次函数图象的平移【例题】（2015黑龙江牡丹江）抛物线y=3x2+2x1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（ ）Ay=3x2+2x5 By=3x2+2x4Cy=3x2+2x+3 Dy=3x2+2x+4【答案】C【分析】利用平移规律“上加下减”即可得出平移后的抛物线解析式【解析】利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x1+4=3x2+2x+3，故选C【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 【变式】（2016 山东省滨州市 3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ）Ay=（x）2 By=（x+）2 Cy=（x）2Dy=（x+）2+【考点】二次函数图象与几何变换【分析】先求出绕原点旋转180的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即可【解答】解：抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，绕原点选择180变为，y=x2+5x6，即y=（x）2+，向下平移3个单位长度的解析式为y=（x）2+3=（x）2 故选A【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键【典例解析】【例题1】（2016 舟山）二次函数y=（x1）2+5，当mxn且mn0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）A B2 C D 【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可【解答】解：二次函数y=（x1）2+5的大致图象如下：当m0xn1时，当x=m时y取最小值，即2m=（m1）2+5，解得：m=2当x=n时y取最大值，即2n=（n1）2+5，解得：n=2或n=2（均不合题意，舍去）；当当m0x1n时，当x=m时y取最小值，即2m=（m1）2+5，解得：m=2当x=1时y取最大值，即2n=（11）2+5，解得：n= ，所以m+n=2+ = 故选：D【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键 【例题2】（2016 兰州）点P1（1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）Ay3y2y1By3y1=y2Cy1y2y3Dy1=y2y3【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2y3 【解答】解：y=x2+2x+c，对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，35，y2y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2y3，故选D【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性【例题3】（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数y= x的图象如图所示，则方程ax2+（b ）x+c=0（a0）的两根之和（ ）A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定【考点】抛物线与x轴的交点【分析】设ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x20，a0，设方程ax2+（b ）x+c=0（a0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解：设ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x20，a0， 0设方程ax2+（b ）x+c=0（a0）的两根为a，b，则a+b= = + ，a0， 0，a+b0故选C【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键 【例题4】（2016 四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1和3，则下列结论正确的是（ ）A2ab=0Ba+b+c0C3ac=0D当a= 时，ABD是等腰直角三角形【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为1，3，得到对称轴为直线x=1，则 =1，即2a+b=0，得出，选项A错误；当x=1时，y0，得出a+b+c0，得出选项B错误；当x=1时，y=0，即ab+c=0，而b=2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误；由a= ，则b=1，c= ，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出ADE和BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论【解答】解：抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为1，3，抛物线的对称轴为直线x=1，则 =1，2a+b=0，选项A错误；当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，x=1时，y0，则a+b+c0，选项B错误；A点坐标为（1，0），ab+c=0，而b=2a，a+2a+c=0，3a+c=0，选项C错误；当a= ，则b=1，c= ，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，抛物线的解析式为y= x2x ，把x=1代入得y= 1 =2，D点坐标为（1，2），AE=2，BE=2，DE=2，ADE和BDE都为等腰直角三角形，ADB为等腰直角三角形，选项D正确故选D【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x= ；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）【中考热点】热点1：（2016 常德）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；c0；a+cb；b24ac0，其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可【解答】解：二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，a0，c0，故正确；0 1，b0，故错误；当x=1时，y=ab+c0，a+cb，故正确；二次函数与x轴有两个交点，=b24ac0，故正确正确的有3个，故选：C【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）热点2：（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致 【解答】