高等数学之微分学应用复习资料.pdf

第第 4 章章 微分学应用微分学应用 之内容方法之内容方法 本章以导数为工具 结合函数 极限 连续等概念 综合地用来对函数的性态进行较全 面的研究以及解决一些较简单的实际问题 微分学应用的理论基础是微分中值定理 本章重点 微分中值定理 罗彼塔法则 函数的极值及其求法 函数的最大 最小值及 其应用问题 难点是函数的最大 最小值及其应用问题 4 1 微分学中值定理微分学中值定理 微分学中值定理是本章的理论基础 它指的是拉格朗日中值定理 而罗尔定理是其特例 柯西定理是其推广 罗尔定理罗尔定理 如果函数 xy 在闭区间 a b 连续 在开区间 a b 可导 且 ba 那么在 a b 内至少有一点c 使 0 c bca 罗尔定理的几何意义是 闭区间上连续 开区间内可导且两端点函数值相等的函数 至 少必有一点存在水平切线 拉格朗日定理拉格朗日定理 如果函数在区间 xfy a b 连续 在开区间可导 那么至少 有一点c 使 a b abcfafbf bca 成立 拉格朗日中值定理的几何意义是 在闭区间内连续 在开区间内可导的函数 必有一点 其切线平行于两端点所连的割线 若 则拉格朗日中值定理即是罗尔定理的情形 bfaf 柯西定理柯西定理 如果函数 xgxf 在闭区间 连续 在开区间 a b a b 可导 而且 0 xg 则在 a b 内至少有一点c 使得 bca cg cf agbg afbf m内可导 对 x 而言 且 0 x g 2 lim xg xf 为0 0 型或 型未定式 3 lim xg xf 为实数或 1 则 lim lim xg xf xg xf 此方法称为罗彼塔法则 应用此法求极限时应特别注意三点 1 先判断所求极限是0 0 型或 型未定式 2 若用此法一次后仍然为未定式 则可以连续使用 直到求出为止 3 对型未定式 lim f xg x 由 1 1 1 1 xgxf xfxg xgxf 可化为0 0 型 对于 0 型未定式 lim f x g xi 由 1 xg xf xgxf 或 1 xf xg xgxf 可化为0 0 型或 型未定式 对于型 型及型未定式 由可化为 0 型 0 0 0 1 lim xg xf ln lim ln lim xfxgxfxg ee 4 3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 判断函数的单调性时 以前只会用其定义 学习微积分后 可以使用导数这一工具来判 断 其理论依据还是拉格朗日中值定理 函数增减性的判定函数增减性的判定 设 f x 在 a b 上连续 在内可导 a b 1 在 a b 上f x 单调增在 a b 内 0 x f 2 在 a b 上f x 单调减在 a b 内 0 x f 3 在 a b 上f x 为常数在 a b 内 0 x f 这样 在求函数的单调性区间时 应求出 0 x f 的点 称为驻点 驻点将定义域 分成若干区间 在每个区间上判断 x f 的符号 与单调性紧密相关的是函数的极值 极值的定义极值的定义 如果在的某邻域内恒有 则称 0 x 0 xfxf f x 在取得极大值 称为极大值点 类似地 若很有 0 x 0 x 0 xfxf 则称 f x 在 0 x 取得极小值 0 x 称为 极小值点 该定义是非常直观的 而且由导数的定义可得出为极值点的一个必要条件 0 x 极值必要条件 如果函数 f x 在可导 且在取得极值 那么 0 x 0 x0 0 x f 只是可导函数 0 0 x f f x 在取极值的必要条件 而非充分条件 如立方抛物线 在处 0 x 3 xy 0 x 0 0 y 但 0 不是极值点 另外 在导数不存在的点也可能取得极值 例如 xxf 在 0 x 处导数不存在 但 0 x 是极小值点 驻点和导数不存在的点统称为 临界点 对于临界点 有两个用来判断其是否为极值的充分条件 极值充分条件一 设函数 f x 在连续 且在的去心邻域内可导 0 x 0 x 2 1 当x时 0 x0 x f 0 x0 x f 那么 f x 在取得极大值 0 x 2 当x时 0 x0 x f 那么 f x 在取得极小值 0 x 3 当x时不变号 则 0 x 0 x x f f x 在不取得极值 0 x 极值充分条件二 设函数 f x 在有二阶导数 且 0 x0 0 x f 但 则 0 0 x f 1 当时 0 0 x f f x 在取得极小值 0 x 2 当 0 0 x f 2 在使的区间 曲线下凹 0 0 x f 拐点 一条处处具有切线的连续曲线 yf x 的上凹与下凹部分的分界点称为曲线拐 点 拐点判定法 设连续函数 f x 在的某邻域内二阶可导 且 0 x0 0 x f 或不 存在 而 0 x f fx 在的左 右邻域内分别有确定的符号 如果在这邻域内 0 x 1 当x时 0 x 0 x fx 异号 那么 是曲线的拐点 0 x 0 xf 2 当x时 0 x 0 x fx 同号 那么 不是曲线的拐点 0 x 0 xf 4 6 函数作图函数作图 基于前几节对函数性态的讨论 可以画出函数的略图 具体步骤如下 1 确定函数 f x 的定义域 间断点 奇偶性 周期性 对称性等 2 求出 f x 的一 二阶导数 并求出使 0 0 x f 0 0 x f 的点和和 x f 0 x f 不存在的点以及 用作分点将 2 1 nixi i xf i x f x 的定义域分成若干区间 3 根据 的正负号 列表讨论函数在上述各区间的单调性 凹向 从 0 x f 0 x f 而确定出极值点和拐点 4 讨论函数是否有渐近线 若 by x lim 则y b 是一条水平渐近线 若则 limxf axxa 是一条垂直渐近线 5 必要时再确定图形上的几个其它特殊点 并描述出 f x 的大致图形 第第 4 章章 微分学应用微分学应用 之例题解析之例题解析 例例 4 1 写出函数在区间 1 2 上的柯西公式 并求出的值 32 xxgxxf c 解 f x g x 在 1 2 上可导且 由柯西定理得 在 1 2 中至少必有一点 03 2 xxg c 3 使得 1 2 1 2 cg cf gg ff 即 2 3 2 18 14 c c 得9 14 c 例例 4 2 证明当时 0 x xx x x 1ln 1 证明 设 ln 1 f xx 则 f x 在 0 x 上满足拉格朗日中值定理的条件 根据该定理得 0 0 xcffxf 0 cx 由于f 0 0 x xf 1 1 因此上式即为 c x x 1 1ln 又由 0 cx 有 x c x x x 11 故 xx x x n x x n x 3 4 xxn x lnlim 0 x x x 0 lim 解 使用罗彼塔法则 1 6 1 6 sin lim 3 cos1 lim sin lim 0 2 0 3 0 x x x x x xx xxx 2 0 1 lim 1 lim ln lim 1 n x n x n x nxnx x x x 3 1 0000 1 ln limlnlimlimlim0 n n nn xxxx xx x xx xnxn 4 1 0 lnlim ln 00 0 limlimeeex xx xx x x x x 例例 4 4 已知 2 3 36 1 x x y 试讨论函数的性态 解 1 函数的定义域为 3 3 2 43 3 6 72 3 3 36 x x xf x x xf 0 x f 的根为 3x 的根为 0 x f 6x xfxf 不存在的点为 3 3 3 6xxxx 把定义域分成四个区间 6 6 3 3 3 3 3 11 6 4 3 ff 3 在各部分区间内的符号 相应曲线的单调性 凹向 以及极值点和拐点 等列表如下 xfxf x 3 3 3 3 3 6 3 6 6 x f 0 4 x f 0 xf 单调减 下凹 单调增 下凹 极大单调减 下凹 拐点单调减 上凹 4 由于 lim 1 lim 3 xfxf xx xf 所以有一条水平渐近线和一条铅直 渐近线 1 y 3 x 例例 4 5 把一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁 问矩形截面的高 h 和宽 b 应如何选择 才能使得梁的抗弯截面模量最大 解 由力学分析知 矩形梁的抗弯截面模量为 2 6 1 bhw 而所以 222 bdh 0 6 1 22 dbbdbw 11 banababanb nnnn 0 是为的 0 xf xf 极小值的 A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 3 x x x sin 1 0 coslim A e B 1 C e 1 D 0 4 函数在区间内 3 1 xy 2 1 A 单调增 B 单调减 C 不增不减 D 有增有减 5 曲线 2 x ey A 没有拐点 B 有一个拐点 C 有二个拐点 D 有三个拐点 6 若直线是曲线的铅垂渐近线 则 1x yf x f x 6 A 1 2 x x B 1 1 2 x x C 12 1 2 xx D 12 1 2 xx 答案 测测 4 2 用拉格朗日公式证明 当时 1x xeex 测测 4 3 求下列极限 1 2