2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式.docx

二一般形式的柯西不等式一、选择题1已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2 C3 D42已知a2b2c2d25，则abbccdad的最小值为()A5 B5 C25 D253 设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则等于()A. B. C. D.4已知a，b，c0，且abc1，则的最大值为()A3 B3 C18 D95设a，b，c0，且abc1，则的最大值是()A1 B. C3 D96已知x，y是实数，则x2y2(1xy)2的最小值是()A. B. C6 D3二、填空题7设a，b，cR，若(abc)25恒成立，则正数k的最小值是_8设a，b，c为正数，则(abc)的最小值是_9已知a，b，cR且abc6，则的最大值为_10设x，y，zR,2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2的最小值为_三、解答题11已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a，又正数p，q，r满足pqra，求证：p2q2r23.12设a1a2anan1，求证：0.四、探究与拓展13边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径为1，若s，t，则s与t的大小关系是_14已知x，y，zR，且xyz1.(1)若2x23y26z21，则x，y，z的值分别为_；(2)若2x23y2tz21恒成立，则正数t的取值范围为_二一般形式的柯西不等式一、选择题1已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2 C3 D4答案A解析(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当1时取等号a1x1a2x2anxn的最大值是1.2已知a2b2c2d25，则abbccdad的最小值为()A5 B5 C25 D25答案B解析(abbccdda)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，当且仅当abcd时，等号成立abbccdad的最小值为5.3设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则等于()A. B. C. D.答案C解析由柯西不等式，得(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当时取等号，因此有.4已知a，b，c0，且abc1，则的最大值为()A3 B3 C18 D9答案B解析由柯西不等式，得()2(111)(3a13b13c1)33(abc)3abc1，()23618，3，当且仅当abc时等号成立5设a，b，c0，且abc1，则的最大值是()A1 B. C3 D9答案B6已知x，y是实数，则x2y2(1xy)2的最小值是()A. B. C6 D3答案B解析(121212)x2y2(1xy)2xy(1xy)21，x2y2(1xy)2， 当且仅当xy时等号成立二、填空题7设a，b，cR，若(abc)25恒成立，则正数k的最小值是_答案9解析因为(abc)(11)2(2)2，当且仅当ab时，等号成立，所以(abc)的最小值是(2)2.由(abc)25恒成立，得(2)225.又k0，所以k9，所以正数k的最小值是9.8设a，b，c为正数，则(abc)的最小值是_答案121解析(abc)()2()2()22(236)2121.当且仅当k(k为正实数)时，等号成立9已知a，b，cR且abc6，则的最大值为_答案4解析由柯西不等式，得()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.当且仅当，即2a2b12c3时等号成立又abc6，当a，b，c时，取得最大值4.10设x，y，zR,2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2的最小值为_答案9解析(222212)(x1)2(y2)2(z3)22(x1)2(y2)(z3)2(2x2yz1)281，(x1)2(y2)2(z3)29.当且仅当时，取等号三、解答题11已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a，又正数p，q，r满足pqra，求证：p2q2r23.证明因为f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，即函数f(x)|x1|x2|的最小值为a3，所以pqr3.由柯西不等式得(p2q2r2)(111)(pqr)29，于是p2q2r23.12设a1a2anan1，求证：0.证明为了运用柯西不等式，我们将a1an1写成a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)，于是(a1a2)(a2a3)(anan1)n21.即(a1an1)1，所以，故0.四、探究与拓展13边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径为1，若s，t，则s与t的大小关系是_答案st解析由已知得absin C，2R2，所以abc1，所以abbcca，由柯西不等式得(abbcca)()2，所以2()2，即.当且仅当abc1时等号成立又当等号成立时，面积S，故等号不成立故st.14已知x，y，zR，且xyz1.(1)若2x23y26z21，则x，y，z的值分别为_；(2)若2x23y2tz21恒成立，则正数t的取值范围为_答案(1)，(2)6，)解析(1)(2x23y26