4-1(10年秋)实数基本概念及化简(数的开方)讲义教师版.doc

数的开方中考要求内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值知识点睛板块一 平方根、立方根、实数实数可按下图进行详细分类：实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论)平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根也就是说，若，则就叫做的平方根一个非负数的平方根可用符号表示为“”算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根通过验算我们可以知道：当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若，则；不管为何值，总有注意二者之间的区别及联系若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也介于、 之间，即：利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根，一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略.前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为.读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根通过归纳我们可以知道：当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍，若一个数介于另外两个数、之间，即，它的立方根也介于和之间，即利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围例题精讲一、实数的概念【例1】 在实数中无理数的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】实数及其分类【难度】1星【题型】选择【关键词】2009年，义乌市中考试题【解析】略【答案】B【例2】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入为64时，输出的是（ ）A8 B C D【考点】实数及其分类【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】B【例3】 证明是无理数。【考点】简单数论【难度】5星【题型】解答【关键词】竞赛，反证法【解析】略【答案】用反证法。假设不是无理数，则是有理数，设（是互质的正整数） 两边同时平方后，整理得，所以一定是偶数。设（是自然数），代入上式得。所以是也是偶数，与均为偶数和互质矛盾，所以不是有理数，于是是无理数。【巩固】说明边长为1的正方形的对角线的长度为。【解析】如图1，四边形是边长为的正方形，它的面积为1，的面积为 将4个与一样大的三角形拼成一个正方形，它的面积是2，所以它的边长, 也就是说正方形的对角线长度为。【例4】 下面有四个命题：有理数与无理数之和是无理数有理数与无理数之积是无理数无理数与无理数之和是无理数无理数与无理数之积是无理数请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。【考点】简单数论【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】设是有理数，是无理数 若，则，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的，故是无理数。正确。当时，是有理数，不正确当时，是有理数，故不正确当时，是有理数，故不正确【答案】正确；不正确；不正确；不正确【巩固】已知在等式中，为有理数，是无理数。（1）当满足什么条件是，是有理数？（2）当满足什么条件是，是无理数？【考点】简单数论【难度】5星【题型】解答【关键词】2002年，第13届希望杯试题【解析】显然有，于是有，且不能同时为0。（1）将上式整理得。当是有理数时，应有，否则有，此式左边是无理数，右边是有理数，不能成立。于是有 从而 若，则，此时应有，为有理数若，则由得，代入，得，即，此时为有理数（2）当是有理数时，若，则，故若，且时，是无理数；若，则，若，且时，是无理数。当，且，时，或，且时，是无理数【答案】（1）若，则，此时应有，为有理数若，则由得，代入，得，即，此时为有理数（2）当，且，时，或，且时，是无理数【例5】 若是不等于1的有理数，求证：为有理数。【考点】简单数论【难度】5星【题型】解答【关键词】竞赛【解析】略【答案】因为是不等于1的有理数，所以可设（为整数，），所以，故。因为均为整数，且，所以为有理数。【巩固】已知是两个任意有理数，且，问是否存在无理数，使得成立？【考点】简单数论【难度】5星【题型】解答【关键词】竞赛【解析】，即 又，即 由、有，所以，取，是有理数，且，所以是无理数。即存在无理数，使得。二、数的开方【例6】 的平方根是（ ）A81 B C3 D【考点】数的开方【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，湖北省荆门市中考试题【解析】略【答案】B【例7】 下列命题中，真命题是（ ）A的平方根是 B的平方根是C D若，则【考点】数的开方【难度】2星【题型】选择【关键词】1995年，浙江省温州市中考试题【解析】D【例8】 若，则的算术平方根是_。【考点】数的开方【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，肇庆市八年级数学竞赛初赛试题【解析】【答案】【例9】 判断下列各题，并说明理由的平方根是( )一定是正数( )的算术平方根是( )若，则.( ).( )是的平方根( )的平方根是( )若，则.( )若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等( )如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等( )算术平方根一定是正数( )没有算术平方根( )的立方根是 ( )是的立方根( )( )互为相反数的两个数的立方根互为相反数( )正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根( )【考点】数的开方【难度】3星【题型】判断【关键词】【解析】略【答案】、正确【例10】 设是整数，则使为最小正有理数的的值是_。【考点】数的开方【难度】3星【题型】选择【关键词】1989年，第3届中华少年杯初二数学邀请赛【解析】因为，故应取。【答案】221【巩固】已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）A2B3C4D5【考点】数的开方【难度】3星【题型】判断【关键词】江西省中考试题【解析】略【答案】D.【例11】 若，则 ；若，则 .【考点】数的开方【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】；.【例12】 若，则的平方根是 ；若，则 .【考点】数的开方【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】；.【例13】 方程的根是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】判断【关键词】上海市中考试题【解析】略【答案】.【例14】 已知某正数的两个平方根是与，求这个正数【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得：，则，所以这个正数为.【答案】4【巩固】若一正数的平方根是与，求这个正数【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】正数的平方根互为相反数，所以，这个正数是.【答案】9【例15】 已知为两个连续整数，且，则_。【考点】数的开方【难度】2星【题型】填空【关键词】2008年，长沙市中考试题【解析】由已知得，【答案】5【巩固】已知数的小数部分是，求【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】因为，即，所以的整数部分是3。设，两边同时平方得，所以。故【答案】10【例16】 当，的算术平方根是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】.【巩固】算术平方根是，则 .【考点】数的开方【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】.【例17】 若一个自然数的一个平方根是，那么比它大的自然数的平方根是 .【考点】数的开方【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】.【例18】 8的立方根是（ ）A2 B C4 D【考点】数的开方【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】A【巩固】的绝对值是（ ）A3 B C D【考点】数的开方【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】A【例19】 的相反数是 ；的立方根是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】判断【关键词】威海市中考试题【解析】略【答案】；2【巩固】平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】判断【关键词】【解析】略【答案】；和；和；.【例20】 若，则 _.【考点】数的开方【难度】3星【题型】判断【关键词】【解析】略【答案】.【例21】 若，求所有可能值【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知，所以或.【答案】1或【例22】 求的值；【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】，；【答案】，； 【例23】 求的值【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】，；【答案】【例24】 ；【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】原式；【答案】3；【例25】 已知，求的值(为正整数).【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得：，解得，【答案】【例26】 已知的平方根是，的立方根是，求的平方根【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】101中学实验班单元练习【解析】的平方根是，的立方根是，即，即得，的平方根是【答案】【巩固】已知的负的平方根是，的立方根是，求的平方根.【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】101中学实验班单元练习【解析】根据题意可得：，解得，其平方根为.【答案】 【例27】 已知，()，且()，求的值.【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，；又，解得，进而可得，.【答案】32【例28】 若和互为相反数，求的值.【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】若，则.根据题意可得：，.【答案】【例29】 求的平方根.【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】换元法【解析】设，则的平方根是【答案】【巩固】设，求【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】换元法【解析】设，则【答案】40164013【例30】 （1995年第6届希望杯全国数学邀请赛试题）设表示不大于的最大整数，如，则。【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】估算【解析】 。原式【答案】625课后作业1. 这7个实数中，无理数的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】实数及其分类【难度】2星【题型】选择【关键词】1983年，河北省初中数学竞赛试题【解析】是无理数。【答案】D2. 的平方根是 ；的平方根是 ；的平方根是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】判断【关键词】安顺市中考试题【解析】略【答案】3. 一个数的平方根是和，求这个数【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得：所以，则，这个数为【答案】1694. 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本