4.4、线段的垂直平分线.doc

线段的垂直平分线知识要点1、线段的垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等2、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理： 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3、线段的垂直平分线的第二定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合把上面的性质定理，画出图形，并用证明的方式表示出来。典型例题例1 证明：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 已知：如图3-62，直线MNAB，垂足是C，且ACCB点P在MN上求证：PA=PB例2 已知：如图3-63，ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P求证：PAPBPC例题答案例1 证明: MNAB(已知)，PCA=PCB(垂直定义).在PCA和PCB中，AC=CB(已知)，PCA=PCB(已证)，PC=PC(公共边)，PCAPCB(SAS).PA=PB(全等三角形的对应边相等).例2 证明：点P在线段AB的垂直平分线上（已知）， PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等）同理 PB=PC PAPBPC练习 一、填空题1线段的垂直平分线可以看作是_的集合。2如果MN是线段AB的垂直平分线，垂足为P，那么_，_=_，设点Q在MN上，则QA=_，如果CA=CB，那么点C在_上。3ED为ABC的AC边上的中垂线，交AC于D，交AB于E，若AB=5，BC=6，则BCE的周长是_。4在ABC中，AB=AC，B=80，AB的垂直平分线交AC于D，则DBC=_。5RtABC中，斜边AB的垂直平分线DE交BC于点D，连结AD，若BAD：DAC=2：3，则BAC=_，B=_。6如图3-86，在ABC的边AB和AC的垂直平分线分别交BC于P、Q，若BAC=100，则PAQ=_，若BAC+PAQ=150，则PAQ=_。7如图3-87，在ABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若BD=6cm，则AC=_cm，若ACD的周长为30cm，则BC+AC=_cm。8如图3-88，P是线段AB中垂线上的一点，如图，O是中垂线与AB的交点，若OB=4cm，APB+3ABP=210，则点B到AP的距离BD=_。二、选择题1若三角形内有一点，这点到三角形三个顶点的距离都相等，则这点一定是三角形的（）A三边中垂线的交点 B三条中线的交点C三条高的交点 D三条角平分线的交点2下列说法中正确的是（）A一个三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等B一个三角形三条角平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C等边三角形的三条中线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等D直角三角形中，斜边的中垂线必经过直角顶点3如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形4到平面上三点A、B、C距离相等的点（）A只有一个 B有二个C三个或三个以上 D一个或没有5如图3-89，ABC中，AD垂直平分BC，C在AE的垂直平分线上，点D、B、C在同一直线上，则AD+DB与DE之间的关系是（）AAD+DBDE BAD+DEDE CAD+BD=DE D无法确定三、作图题如图A、B、C三点，表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置P。（要求用尺规作图，只保留作图痕迹，不定作法）四、已知：如图3-90，AD是ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB和BC的延长线于点F、E。求证：（1）DF/AC；（2）B=CAE。五、如图3-91，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的中垂线MN分别交BC、AB于点M、N。求证：CM=2BM。六、如图3-92，在ABC中，AD平分BAC交BC的中垂线于D，DFAB于F，DEAC于E。求证：BF=CE。七、如图3-93，在ABC中，ACB=90，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线上，DE交AC于F。求证：E在AF的垂直平分线上。八、如图3-94，OE、OF分别是AB、AC边的中垂线，OBC、OCB的平分线相交于点I。求证：OIBC。答案： 一、1和线段两端距离相等的所有点2MNAB；AB=BP；QB；MN 311 460 5 ； 620；40 73；30 84cm二、1.A 2.C 3.B 4.D 5.C三、略四、（1）F在AD的中垂线上 FA=FDFAD=FDAAD平分BACBAD=CADFDA=DACDFAC（2）E在AD的中垂线上 EA=EDDAE=ADEADE=B+BAD，DAE=DAC+CAEBAD=DACB=CAE五、连结AM，AB=AC，BAC=120B=C=30 MN垂直平分ABMB=MA B=MAB=30MAC=90AM= MCBM= MCMC= BM六、连结BD、DC AD平分BAC，DEAC，DFABDE=DF，BFD=DEC=90 DM垂直平分BC BD=DCRtBDERtCDEBF=CE七、E在BD的垂直平分线上 ED=EBB=EDBACB=90 A=9