定积分的概念教学案例设计.doc

定积分的概念教学案例设计1 教学目标及重点、难点1.1 教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2 教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3 教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2 教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题 教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤是什么？” 学生：分割以直代曲求和取极限（逼近） 教师：“对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究2.2 演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.”（教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念.2.2.1 定积分的概念 设函数在区间上有定义，任意用分点将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，. 再作和.若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作. 即 . (1)其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为，则在时间区间上，物体经过的路程为 . (2)同理，图51所示的曲边梯形面积可表为 图51a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =bxiOxnx1 x2y=f(x)xy(3)变力做功 (4)I在可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点在小区间上如何选取，只要，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？ 定理 在闭区间上连续的函数必在上可积；在区间上有界且只有有限个间断点的函数也必在上可积.II定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即III定义定积分时已假定下限小于上限，为便于应用，规定当时，2.2.2 定积分的几何意义 I若，则积分表示如图所示的曲边梯形的面积，即针对训练：用定积分表示下列图形的面积.(两名学生上黑板板书)学生1：学生2：随堂检测：利用定积分的几何意义求值:yxo12 (请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法)学生3：（略）学生4：半径为2的半圆，此积分计算的是半圆的面积.练习：计算下列定积分学生5：（略）学生6：（略）II若，则积分表示如图53所示的曲边梯形面积的负值，即y=f(x)baOyx这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是而不是对定积分的几何意义的几点补充说明： 根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?ab y=f (x)Ox yyOx y y=f (x)学生7：可以用两部分面积的差表示：y=f(x)OyxIII如果在上的值有正也有负，如图，则积分表示介于轴、曲线及直线之间各部分面积的代数和即在轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积：2.2.3 定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 （定积分的线性性质）性质4 （定积分对积分区间的可加性）教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？（学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出）说明：推广： 推广: 性质解释：性质4性质1练习：1、根据定积分的可加性，可将下列定积分 表示为？学生8：2、计算定积分： 学生9：（2）式表示半圆2.3 发散思考，深入探索不计算积分，比较下列各组积分的大小:(1) , ;(2) , ;(3) , ;(4) , .（四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出）学生10：在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。学生11：同一函数在不同区间内的积分值比较大小，先看函数值的正负，再看区间范围的大小.教师： 表述更严谨应该怎么说？学生11：应该是区间长度的大小 .教师：推广到一般情形呢？:学生12：若在区间上，则学生13： 若在区间上，则学生14： 先画图再定值. 比较积分区间上两函数大小,再由即得(3)令,.2.4 归纳小结，提炼升华（学生从知识和数学思想两方面总结，教师加以归纳引导）1、本节课学习了哪些内容？定积分的概念、定积分法求简单的定积