2000-2010全国高中数学联赛试题.doc

2010 年全国高中数学联合竞赛一试试卷一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分把答案填在横线上1函数 f x x 5 24 3 x 的值域是 2 已 知 函 数 y a cos 2 x 3 sin x 的 最 小 值 为 3 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围是 3双曲线 x 2 y 2 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点 （纵横坐标均为整数的点）的个数是 4已知 an 是公差不为 0 的等差数列， bn 是等比数列，其中 a1 3 ， b1 1 ， a2 b2 ， 3a5 b3 ， 且 存 在 常 数 ， 使 得 对 每 一 个 正 整 数 n 都 有 an log bn ，则 5函数 f x a 2 x 3a x 2 （ a 0 ， a 1 ）在区间 x 11 上的最大值为 8， 则它在这个区间上的最小值是 6两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投掷先投掷人的获胜概率是 7 正 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 ， P 是 CC1 的 中 点 ， 二 面 角B A1 P B1 ，则 sin 8方程 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解 x ，y ，z ） （ 的个数是 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9 （本小题满分 16 分）已知函数 f x ax3 bx 2 cx d（ a 0 ） 当 0 x 1 时， ， f x 1 ，试求 a 的最大值10 （本小题满分 20 分）已知抛物线 y 2 6 x 上的两个动点 A（ x1 ，y1 ） B（ x2 ， 和y2 ） 其中 x1 x2 且 x1 x2 4 ， 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ， ABC 求面积的最大值11（本小题满分 20 分）证明：方程 2 x 3 5 x 2 0 恰有一个实数根 r ，且存在 2唯一的严格递增正整数数列 an ，使得 r a1 r a2 r a3 5 2010 年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A 卷） （考试时间：10 月 17 日上午 9401210）一、 （本题满分 40 分）如图，锐角三角形 ABC 的外心为 O ，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点） D 是线段 AK 延长线上一点，直线 BD 与 ACA ， 交于点 N ，直线CD 与 AB 交于点 M 求证：若 OK MN ，则 A ， B ， D ， C 四点共圆 O K C B D N M 1 （本题满分 40 分）设 k 是给定的正整数，r k 记 f r f r r r ， 1二、 2f l r f f l 1 r ，l 2 证明：存在正整数 m ，使得 f m r 为一个整数这 1里 x 表示不小于实数 x 的最小整数，例如： 1 ， 1 1 2三、 （本题满分 50 分）给定整数 n 2 ，设正实数 a1 ，a2 ，an 满足 ak 1 ，k 1 ， a1 a2 ak n n n 12，n ， Ak 记 ，k 1 ，2 ，n 求证： ak Ak k k 1 k 1 2四、 （本题满分 50 分）一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 2009 年全国高中数学联合竞赛一试题一、填空（共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分） x 1 若函数 f x 且 f n x f f f f x ，则 f 99 1 1 x2 n 2 已知直线 L : x y 9 0 和圆 M : 2 x 2 y 8 x 8 y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， 2 2B ， C 为圆 M 上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， AB 过圆心 M ，则点 A 横坐标范围为 y0 3 在坐标平面上有两个区域 M 和 N ，M 为 y x ，N 是随 t 变化的区域， y2 x它由不等式 t x t 1 所确定，t 的取值范围是 0 t 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数 f t 1 1 1 1 4 使不等式 a 2007 对一切正整数 n 都成立的最小 n 1 n 2 2n 1 3正整数 a 的值为 2 2 x y 5 椭圆 2 2 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ a b的最小值为 6 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 7 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8 某车站每天 8 00 9 00 ， 9 00 1000 都恰有一辆客车到站，但到站的时 刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 8 10 8 30 8 50 到站时刻 9 10 9 30 9 50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 820 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分） 二、解答题 1 （本小题满分 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆x2 y2 x2 y2 1 交于不同两点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否16 12 4 12存在直线 l ，使得向量 AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 2 （本小题 15 分）已知 p ， q q 0 是实数，方程 x 2 px q 0 有两个实根 ， ，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan1 qan2 n 3 ，4 ， 求数列 an 的通项公式（用 ， 表示）； 1 若 p 1 ， q ，求 an 的前 n 项和 4 3 （本小题满分 15 分）求函数 y x 27 13 x x 的最大和最小值2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）一、如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （ A B ）的外接圆 上弧BC 、AC 的中点过点 C 作 PC MN 交圆 于 P 点， I 为 ABC 的内心，连接 PI 并延长交圆 于T 求证： MP MT NP NT ； 在弧AB（不含点 C ）上任取一点 Q （ Q A ，T ， B ），记 AQC ，QCB 的内心分别为 I1 ， I 2 ， P C N M I B T A Q 求证： Q ， I1 ， I 2 ， T 四点共圆 n k 1二、求证不等式： 1 ln n ， n 1 ，2， k 1 k 1 2 2三、设 k ， l 是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数 m k ，使得 Ck 与 l m互素四、在非负数构成的 3 9 数表 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 P x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x x x x x x x x x 31 32 33 34 35 36 37 38 39 中每行的数互不相同，前 6 列中每列的三数之和为 1， x17 x28 x39 0 ， x27 ，x37 ， x18 ， x38 ， x19 ， x29 均大于如果 P 的前三列构成的数表 x11 x12 x13 S x21 x22 x23 x x x 31 32 33 x1k 满足下面的性质 O ：对于数表 P 中的任意一列 x2 k （ k 1 ，2，9）均 x 3k存在某个 i 1 ，2 ，3 使得 xik ui min xi1 ，xi 2 ，xi 3 求证： （）最小值 ui min xi1 ，xi 2 ，xi3 ， i 1 ，2，3 一定自数表 S 的不同列 x1k （）存在数表 P 中唯一的一列 x2 k ， k 1 ，2，3 使得 3 3 数表 x 3k x11 x12 x1k S x21 x22 x2 k x31 x32 x 3k 仍然具有性质 O 2008 全国高中数学联合竞赛一试试题 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1函数 f x 5 4 x x 在 2 上的最小值是 2 （ ） 2 x A0 B1 C2 D3 2设 A 2 4 ，B x x ax 4 0 ，若 B A ，则实数 a 的取值范围为（ ） 2 A 1 2 B 1 2 C 03 D 03 3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止设甲在每局中获胜的概率为 2 ，乙 3在每局中获胜的概率为 1 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期 3望 E 为 （ ） A. 241 B. 266 C. 274 D. 670 81 81 81 243 4若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为 564 cm2，则这 三 个 正 方 体 的 体 积 之 和 为（ ） A. 764 cm3 或 586 cm3 B. 764 cm3 3 3 C. 586 cm 或 564 cm D. 586 cm3 x y z 0 5方程组 xyz z 0 的有理数解 x y z 的个数为 （ ） xy yz xz y 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6设 ABC 的内角 ABC 所对的边 a b c 成等比数列，则 sin A cot C cos A 的 sin B cot C cos B取 值 范 围 是（ ） A. 0 B. 0 5 1 C. 5 1 5 1 D. 2 2 2 5 1 2 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 7 f x ax b ， 设 其中 a b 为实数，f1 x f x ，f n1 x f f n x ， 1 23 ， n若 f 7 x 128 x 381 ，则 a b . 8设 f x cos 2 x 2a1 cos x 的最小值为 1 ，则 a 2 将 9 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种 10设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足： Sn an n 1 ， n 1 2 ，则通项 nn 1an 11设 f x 是定义在 R 上的函数，若 f 0 2008 ，且对任意 x R ，满足f x 2 f x 3 2 x ， f x 6 f x 63 2 x ，则 f 2008 12一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20分） 13已 知函 数 f x sin x 的图像与直线y kx k 0 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证： cos 1 2 sin sin 3 4 答 13 图 14解不等式: log 2 x12 3x10 5 x8 3 x 6 1 1 log 2 x 4 1 15 如 题 15 图 ， P 是 抛 物 线 y 2 2 x 上 的 动 点 ， 点 BC 在 y 轴 上 ， 圆 x 12 y 2 1 内切于 PBC ，求 PBC 面积的最小值 答 12 图 1 答 15 图 2008 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷） 一、（本题满分 50 分） 如题一图，给定凸四边形 ABCD ， B D 180 ， P 是平面上的动点，令f P PA BC PD CA PC AB （）求证：当 f P 达到最小值时， PABC 四点共圆； （）设 E 是 ABC 外接圆 O 的 AB 上一点，满足： AE 3 ， BC 3 1 ， AB 2 EC 1ECB ECA ，又 DA DC 是 O 的切线， AC 2 ，求 f P 的最小值 2 二、（本题满分 50 分） 设 f x 是周期函数， T 和 1 是 f x 的周期且 0 T 1 证明： 1 答一图 1 （）若 T 为有理数，则存在素数 p ，使 是 f x 的周期； p （） T 为无理数， 若 则存在各项均为无理数的数列 an 满足 1 an an 1 0n 1 2 ，且每个 an n 1 2 都是 f x 的周期 三、（本题满分 50 分） 2008 设 ak 0 ， k 1 2 2008 证明：当且仅当 ak 1 时，存在数列 xn 满足以 k 1下条件： （） 0 x0 xn xn1 ， n 1 23 ； （） lim xn 存在； n 2008 2007 （） xn xn 1 ak xn k ak 1 xn k ， n 1 23 k 1 k 0 2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） P 1. 如图，在正四棱锥 PABCD 中，APC60，则二面角 APBC 的平面角的余弦值为（ ） M D C A B 1 1 1 1 A. B. C. D.