第十单元：BS公式PPT课件.ppt

Black Scholes模型分析 1 股票价格的对数正态分布特性 如果股票价格服从几何布朗运动 那么 lnS是一般维纳过程 2 在时刻t和时刻T之间 lnS服从正态分布 因此 lnST是正态分布 ST是对数正态分布 3 ST的数学期望为 ST的方差为 4 连续复利收益率分布将t与T之间的连续复利年收益率定义为 得到 收益率的分布 和 于是 5 的标准差 T t 1 2 显然 随着时间的增加 的标准差降低 例子 考虑一个股票 其预期收益和标准差分别为17 和20 求其3年内的连续复利收益的分布和95 的置信区间 答案 N 0 15 0 1155 7 6 37 6 6 期望收益率是什么 几年内收益率的平均值并不等于几年内按年复利计算的每年的平均收益率瞬时收益率 很短时间内的预期收益率 一段时间的预期连续复利收益率 预期收益率 7 期望收益与期望连续复利收益 根据对数正太分布性质 我们得到 根据连续复利收益定义 我们得到 8 于是 根据对数正太分布假设 我们得到 9 由取对数我们得到 如果 我们得到 E x 遗憾的是 上述假设不成立 事实上 10 因此 显然可以得出 E x 事实上 从对数正太分布可以知道 E x u 0 5 2 11 估计股票价格的波动率 观测时间间隔固定 n 1 观测次数 样本个数 Si 第i个观测时期的股票价格 i 0 1 2 n 以年为单位表示的时间间隔长度 令 从历史数据估计波动率 i的标准差s 12 估计股票价格的波动率 观测时间间隔固定 i的标准差为 此估计的标准差近似为 因此 变量s是的估计值于是本身可被估计为 13 观测样本个数的选择 观测样本要尽可能的多注意到 随时间变化 样本也不能太多 也许90天到180天是合适的选择经验 设定度量波动率的时期等于将应用波动率对应的时期日历天数或交易天数计算 交易天数 14 思想Black Scholes微分方程 不付红利股票的任意衍生证券价格f必须满足的方程Black Scholes定价方法 构造包含衍生证券头寸和标的股票头寸的无风险证券组合 在无套利机会条件下 该证券组合的收益率必定为无风险利率股票价格和衍生证券价格都受同一种基本的不确定因素影响 股票价格的变动头寸仅在瞬时时间无风险 因此 头寸必须经常调整 Black Scholes微分方程的基本概念 15 假设股票价格服从漂移为 方差为 的扩散过程允许使用全部所得 收入 卖空衍生证券没有交易费用或税收 所有证券都是无限可分的在衍生证券的有效期内没有红利支付不存在无风险套利机会证券交易是连续的无风险利率r为常数 且对所有到期日都相同注 有些条件可以放松 简化 16 Black Scholes微分方程的推导 假设 股票价格服从如下过程 假设f是基于S的衍生证券的价格 则f一定是S和t的函数 于是 17 18 构造证券组合 定义这个证券组合的价值为 于是 t时间后证券组合的价值变化为 1 衍生证券 股票 19 将和代入证券组合的变化中 可得 注意这个表达式中已经没有随机项 它是无风险的 于是 应用无套利机会条件 应有 此即 20 化简 即得 这就是Black Scholes微分方程 不同的衍生证券 对应的Black Scholes微分方程边界条件不同 求解该方程 就能得到衍生证券的价值 不同的边界条件 对应不同的衍生证券 21 2020 3 19 22 例 基于不付红利股票的远期合约 记其价值为f 则 K是交割价格 注意到 满足Black Scholes方程 23 风险中性定价的理论依据 Black Scholes微分方程不包含任何受投资者风险偏好影响的变量在对衍生证券定价时 可以使用任何一种风险偏好 特别地 假设所有投资者都是风险中性的在风险中性的世界 所有证券的预期收益率皆为无风险利率r 这样的假设获得的Black Scholes微分方程的解 也是任何风险偏好下的解 从风险中性世界进入风险厌恶世界时 发生两件事 股票价格的期望收益率改变了 在衍生证券任何损益中使用的贴现率改变了 互相抵消 风险中性定价 24 应用于股票远期合约不付红利股票的远期和约 交割价格是K 在T时刻到期假设利率为r 常数 到期日合约价值为ST K ST是时刻T的股票价格在风险中性世界 对远期合约在t时刻的价值f 即风险中性世界的期望 25 在风险中性世界 股票价格的增长率 等于为r 于是 简单计算 可得 前面我们已经证明f满足Black Scholes微分方程结论 用风险中性定价方法计算的远期合约价值与求解Black Scholes微分方程得到的远期合约价值相同 到期日价值相同 或称边界条件相同 26 Black Scholes定价公式 欧式看涨期权的定价公式在风险中性世界 欧式看涨期权到期日的期望价值为 欧式看涨期权的价格c是这个值以无风险利率的贴现 27 在风险中性世界 lnST的分布与 11 2 相同 只要将 换成r即可 根据lnST的分布函数 可以计算看涨期权的价格c 积分 其中 28 解释期权价格c 是风险中性世界中大于X的概率 即欧式看涨期权被执行的概率 是X的风险中性期望值的现值 是的风险中性期望值的现值 29 欧式看涨期权与看跌期权的平价关系 由此 可以得到 美式看涨期权的价值与欧式看涨期权的价值相同 美式看跌期权的价值与欧式看跌期权的价值不同 没有解析解 30 Black Scholes公式的性质 当股票价格很大时 看涨期权肯定会被执行 它与执行价格为X的远期合约非常相似 看涨期权的期望价格为 当波动率趋于零时 31 累积正态分布函数 32 公司拥有N股流通股股票 M份欧式认股权证 认股权证的持有者有权在时刻T以每股X的执行价格向该公司购买 股股票该认股权证的价值设T时刻该公司的股权价值是 含认股权证的价值 如果认股权证得到执行 则认股权证执行后瞬时股票价值为 公司发行的本公司股票认股权证 33 此时 认股权证持有者的盈利收入为 只当盈利为正时 认股权证才会被执行 所以 认股权证持有者的盈利收入为 结论 认股权证的价值是 份基于V N的普通看涨 期权的价值 其中 V是该公司的股权价值 34 如果股票价格S用S M N W替换波动率 为公司股权 股票加认股权证 的波动率则认股权证W的价格为 V的价值由下式计算 其中 S是股票价格 W是认股权证的价格 所以 35 隐含波动率 隐含波动率 期权市场价格所蕴含的波动率隐含波动率的计算 数值解隐含波动率随时间变化可用来根据某一期权的价格估计另一个期权的价格隐含波动率的估计方法 36 波动率产生的原因 股票价格的波动率仅仅是由于股票的未来收益的新消息的随机到来而产生的 股票价格的波动率主要是由交易本身产生对Black Scholes模型的可能意义 对Black Scholes可能的调整 37 红利 关于红利假设在期权有效期内支付的股票红利数量和支付时刻已知股票价格服从几何布朗运动在股票除权日 股票价格下降 红利被解释为除权日股票价格的减少量欧式期权假设股票价格是两部分的和 支付已知红利的无风险部分和一个有风险部分无风险部分是从除权日贴现到当前时间的现值股票价格减去无风险部分即可应用Black Scholes公式 38 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q 单位为年 时 我们只要用原公式中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格 39 美式期权美式看涨期权在有红利的情况下 只有在股票支付红利前的瞬时时刻执行才最优 在大多数情况下 提前执行需要考虑的唯一时间是最终的除权日有时提前执行不是最佳选择Black近似 分别计算在时刻T和到期的欧式期权的价格 然后将二者之中较大的值确定为美式期权的价格 40 对Black Scholes期权定价公式的实证研究 Black Scholes期权