数学人教版九年级下册28．1锐角三角函数（第1课时）.doc

281锐角三角函数（第1课时） 一、内容和内容解析 1.内容 正弦的概念 2.内容解析 本章在前面已经研究了直角三角形中三边的关系、两个锐角之间关系的基础上，通过引进锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，使学生全面掌握直角三角形的组成要素(边、角)之间的关系，并综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决与直角三角形有关的度量问题.锐角的正弦反映了直角三角形中锐角与其对边、斜边之间的关系.从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节，为此，教科书设置了修建扬水站时需要准备多长水管的实际问题.在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论“在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半”,其等价形式为“在直角三角形中，30角所对的边与斜边的比总是常数 ”.后者反映了直角三角形中30锐角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系；由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式，继而利用等腰三角形的性质和勾股定理，探究直角三角形中，45角所对的边与斜边之比的不变性；再利用相似三角形的性质，研究一般直角三角形中锐角的对边与斜边的比的不变性，最后给出锐角的正弦概念. 引入锐角的正弦概念的过程，体现了从特殊到一般的思想方法，先讨论直角三角形中锐角的对边与斜边的比的不变性，进而给出锐角的正弦概念，这种定义锐角的正弦的方式为后续研究其他锐角三角函数提供了范例. 本节课的教学重点是：直角三角形中边角关系的提出过程，锐角正弦的定义过程，正弦的概念. 二、目标和目标解析 1.目标 构建探求锐角的正弦的定义方法，初步理解锐角的正弦概念. 会求锐角的正弦值. 2.目标解析 达成目标的标志是：掌握利用相似三角形的性质研究直角三角形中，对于一个锐角而言，无论直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值为定值的研究过程和方法，体会研究边与斜边的比为定值对锐角的正弦定义的必要性，掌握锐角的正弦表达式的结构. 达成目标的标志是：已知直角三角形的边长，求出锐角的正弦值. 三、教学问题诊断分析 了解锐角的正弦研究内容的必要性和合理性，对学生来说比较困难；利用相似三角形的性质“两个直角三角形的对应边的比相等”探究并认识锐角正铉正弦时，首先要得出结论“直角三角形的形状相同，大小改变，但边与边的比值不变”，然后需要联系函数感念概念，把直角三角形的“边与边的比值”与“锐角”对应起来，进而得到“比值随锐角的的确定而唯一确定，随锐角的改变而改变”，涉及的知识较多，看问题的角度和观点灵活多变，并且要用完全陌生的符号表示锐角A的正弦，对学生具有很大的挑战性. 本节课的教学难点是：研究内容的提出过程;锐角的正弦定义前，先研究直角三角形中锐角的对边与斜边的比为定值的必要性。. 四、教学支持条件分析 本节课使用的媒体资源主要是计算机、几何画板。.教师应用多媒体课件创设环境，演示“运动变化”过程，帮助学生思考，为学生观察猜想创造条件，使之成为学生认识的工具. 五、教学过程设计 1.创设情景，导入新课 如图1，意大利比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1m。.1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后任巍然屹立，有倒塌的危险。.当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了43.8cm。.图1 问题1 我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角”来描述比萨塔斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角度的度数吗？ 师生活动：多媒体动画展示“垂直中心线”“塔身中心线”塔顶中心点偏离垂直中心的距离”，显示相关数据，并提出问题，激励学生管擦观察、思考。. 设计意图：通过动画展示比萨斜塔的背景材料，扫除学生对引言中一些词语的理解的障碍，为抽象出直角三角形做铺垫。. 追问1 在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象成什么数学问题？ 师生活动：结合动画演示，引导学生得出：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边求这条直角边所对的锐角的度数”。. 追问2 对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究生什么？ 师生活动：通过师生交流，引导学生回答，我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系。. 教师引入课题并板书：从实际需要看，要描述比萨它的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的有什么关系呢：；从数学内部看，我们已经研究直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习“锐角三角函数”锐角的正弦。. 设计意图：从实际需要和从数学内部的需要自然引入课题，激发学生的求知欲。. 2.探究发现，形成概念 我们先研究有一个锐角为30的直角三角形问题。. 问题2 如图2，为了绿化荒山，市绿化办打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，对坡面的绿地进行喷灌。.现测得斜坡与水平面所成角为30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 图2（1）解决问题，初步体验 隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的. 追问1： 你能用数学语言来表述这个实际问题吗？如何解决这个问题？ 师生活动：学生组织语言与同伴交流。.教师及时了解学生语言组织情况，并适时引导。.把上述实际问题抽象出数学问题为： 在RtABC中，C=90，A=30，求AB。. 依据“直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备70m长的水管”。. 设计意图：培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。. 追问2： 在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ 师生活动：引导学生活动。.依据“直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备100m长的水管”。. 追问3： 对于有一个锐角为30的任意直角三角形，30角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以用一个怎样的式子表示？ 师生活动：学生用数量关系表示，并引导学生得出；然后归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角对边与斜边的比值都等于。. 设计意图：在学生用“直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半”解决问题的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为下一环节奠定基础。.图3 （2）类比思考，进一步体验 问题3： 在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是吗？例如，如图3，任意画一个RtABC，使C=90，A=45，计算A的对边与斜边的比值，由此你能得出什么结论？ 师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，交流展示。. 在一个RtABC中，C=90，因为A=45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得： 因此 . 归纳得出结论： 在直角三角形中，当一个锐角等于45时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角对边与斜边的比值都等于。.设计意图：强化学生对“对边与斜边的比”的关注。,为获得“角度固定，比值也固定”做作进一步铺垫。.（3）猜想验证，得出结论 问题4： 从上面这两个结论可知，RtABC中，C=90，当A=30时，A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当A=45时，A的对边与斜边的比都等于，它也是一个固定值由此你能猜想出什么一般的结论呢？师生活动：教师引导学生思考、交流并用准确的语言归纳猜想：在RtABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值。.图4 设计意图：让学生体验合理的猜想是数学学习中的研究问题的方法之一，同时为学生提空自主探究的空间，增强语言表达能力。.（4） (4)在几何画板软件制作平台中演示，验证猜想的特殊情形用数学语言表示并画图，引导学生找到证明猜想的方法，投影显示证明过程(图4)。.师生活动：多媒体演示，学生感受直观验证猜想的过程。.设计意图：运用现代技术手段，让学生初步确认猜想的正确性。 3.证明猜想，形成概念 （1）证明猜想问题5 如图5，任意画RtABC和RtABC，使得那么有什么关系你能解释一下吗？图5 师生活动：教师引导学生将猜想“在RtABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值。.”用数学语言表示并画图，引导学生找到证明猜想的方法，投影显示证明过程。.由于所以所以。.设计意图：培养学生的推理论证意识，进一步熟悉发现几何结论的基本套路，未为引出锐角的正弦概念奠定基础。. （2）形成概念 教师讲解：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值。.这个固定值随锐角A的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门名称。.邻边图6 如图6，在RtABC中，C=90，A的对边记作a，B的对边记作b，C的对边记作c在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作，即 追问： 当A=30时，A的正弦为多少？A=45呢？师生活动：学生作答，教师给出：sin30=，sin45=同时强调正弦的三种表示方式：（省去角的符号），sin30，. 设计意图：让学生在一系列的问题解决中，经历从特殊到一般建立数学概念过程，感受定义的方式：先研究合理性，再下定义。. 4.理解概念，应用提升 （1）例题示范，理解概念图7 例1 如图7，在RtABC中，C=90，求sinA和sinB的值 师生活动：师生共同完成上题例1图7(1)。. 教师提问：（1）求sinA实际上要确定什么？依据是什么？求sinB呢？ （2）它们的对边和斜边都已知吗？未知的怎么办呢？ （3）能口述解题过程吗？ 学生思考作答，教师引导学生规范解题步骤并同步板书。, 解：如图（1），在RtABC中，C90，AC=3，BC=4，由勾股定理得： 因此 ， 图（2）由学生独立完成，同桌交流，学生代表板演展示，教师巡视指导。 设计意图：巩固锐角的正弦概念，规范学生的解题格式。 （2）课堂练习，提升能力A2m1mBC 练习1 判断下列结论是否正确。.图8 如图8， sinA= （m）. CB73A图9 在RtABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值扩大100倍 . 如图9，A=30，则 sinA=. 师生活动：学生独立，小组讨论，学生代表交流小组结果，并说明理由。. 练习2 教科书习题28.1第1题（只求正弦）。. 师生活动：学生独立思考，合作完成练习，教师巡视及时解决学生困难。. 设计意图：进一步巩固锐角的正弦概念，加深对它的理解。. 5.自我评价，总结反思 请同学们根据以下问题回顾本节课的内容： 什么叫锐角的正弦？定义锐角正弦的过程、方式是什么？与以前下定义的方式有什么不同？师生活动：引导学生思考回答。.回顾、思考、组织语言回答。.设计意图：引导学生梳理学习内容，提炼学习过程中的数学思想方法。