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扭转 第九章扭转 9 1引言 扭转变形的实例 9 1引言 力学模型 受力特点 一对大小相等 转向相反 作用面垂直于杆件轴线的外力偶 将任意两横截面间绕轴线转动的相对转角称为扭转角 用 表示 工程中 把以扭转为主要变形的直杆称为轴 变形特点 相邻横截面绕轴线作相对转动 扭转的研究方法 外力 内力 应力应变 强度条件刚度条件 仅讨论圆轴的扭转 9 2动力传递与扭矩 一 传动轴的外力偶矩计算 设传动轴传递的功率为 P kW 传动轴的转速为 n r min 转 分 力偶在单位时间内作的功 功率 角速度 M为力偶矩 用转速n表示 单位 N m 式中 功率P的单位 kW 转速n的单位 r min 9 2动力传递与扭矩 是一个位于横截面平面内的力偶 该力偶矩称为扭矩 扭转时横截面上的内力 由截面法 取左段 由截面法 取右段 扭矩正负号规定 按右手法则 表示沿轴线方向各截面上的扭矩变化规律 扭矩图 扭矩图的做法与轴力图相似 例 传动轴 n 300r min 主动轮A输入功率PA 36kW 从动轮B C D的输出功率分别为PB PC 11kW PD 14kW 试作轴的扭矩图 解 先计算各轮的外力偶矩 用截面法求各段扭矩 正向假设 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 一 薄壁圆筒的扭转应力 1 变形现象观察 1 圆周线的形状 大小不变 两相邻圆周线的距离不变 只是发生相对转动 2 各纵向线仍互相平行 但都倾斜了角度 由纵向线和周向线构成的矩形 变成了菱形 2 变形现象分析推断 分析此微元体在扭转变形中的变化 由于圆筒的圆周线大小 形状不变 上 下两面无正应力 圆周线之间的距离不变 左右两面无正应力 前后面为自由表面 没有应力 微元体上无正应力 微元体左右两侧发生相对错动 产生剪切变形 左右侧面必有剪应力 沿圆周线方向各点变形程度 剪应变 相同 剪应力 沿圆周线处处相等 由于t很小 可认为剪应力 沿厚度方向均匀分布 微元体左右侧面上剪应力均匀分布 侧面切应力的大小 分析微元体的平衡 两互相垂直的平面上 切应力成对存在且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 方向则共同指向或背离此交线 单元体上只有切应力 而无正应力 二 切应力互等定理 纯剪切 三 剪切胡克定律 切应变 剪切胡克定律 式中 G称为剪切弹性模量 单位 GPa 对于各向同性材料 其三个弹性常数E G的关系 当剪应力不超过材料的剪切比例极限 剪应力与剪应变成正比 即 9 4圆轴扭转横截面上的应力 平面假设 圆轴扭转变形前的横截面 变形后仍为横截面 形状和大小不变 半径仍保持直线 且相邻两横截面的距离保持不变 各横截面如同刚性平面一样绕轴线转过一个角度 一 圆轴扭转时的应力 实验现象 圆周线的形状 大小 两圆周线间的距离没有发生变化 但都绕轴转过了不同的角度 纵向线仍为直线 但都倾斜了一个角度 圆轴扭转时横截面上只有剪应力 而无正应力 1 变形几何关系 圆轴表面A点剪应变 9 4圆轴扭转横截面上的应力 9 4圆轴扭转横截面上的应力 横截面上任意点剪应变与该点到圆心的距离 成正比 9 4圆轴扭转横截面上的应力 2 物理关系 剪切胡克定律 G 结合变形几何关系 横截面上任意点剪应力与该点到圆心的距离 成正比 3 静力关系 由物理关系 记 截面对圆心O的极惯性矩 单位长度的扭转角 截面上任一点的切应力计算公式 记 抗扭截面系数 模量 圆轴扭转时横截面上的最大切应力 当 max R时 max 关于公式的适用范围 1 只适用于圆截面杆 2 适用于 max小于剪切比例极限的情形 3 截面缓慢变化的小锥度 10 杆近似适用 9 4圆轴扭转横截面上的应力 二 截面极惯性矩与抗扭截面系数 1 实心圆截面 2 空心圆截面 3 薄壁圆截面 R0 平均半径 圆轴扭转的强度条件 设材料的许用剪应力 则圆轴扭转的强度条件为 说明 1 对等截面杆 max在扭矩Tmax的截面的外边缘 对变截面杆 需综合分析 2 由材料的扭转实验测定 3 圆轴强度计算的三类问题 a 强度校核 b 截面设计 c 许用载荷计算 9 6圆轴扭转破坏与强度条件 例 已知P 7 5kW n 100r min 40MPa 空心圆轴的内外径之比 0 5 求 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2 解 1 28 计算外力偶矩和扭矩 实心轴 3 3 空心轴 例 图示传动轴 齿轮2为主动轮 而齿轮1和3消耗的功率分别为0 756kW和2 98kW 若轴的转速为183 5r min 材料为45号钢 40MPa 试根据强度要求确定轴的直径 解 先求外力偶矩 由轴平衡求M2 求各截面扭矩 作扭矩图 确定危险截面 轮2 3间的截面为危险截面 由强度条件设计轴的直径 可取D 27mm 单位长度的相对扭转角 两边积分得 称为抗扭刚度 当T变化 或轴为阶梯轴时 应分段计算 即 9 7圆轴扭转变形与刚度条件 设单位长度的相对扭转角为 若在轴长l范围内不变 则 工程上一般规定单位长度的扭转角 的最大值不超过某一许用值 则有扭转刚度条件为 单位 rad m 单位 m 例 图示传动轴 齿轮2为主动轮 而齿轮1和3消耗的功率分别为0 756kW和2 98kW 若轴的转速为183 5r min 材料为45号钢 40MPa 规定 1 5 m G 80GPa 试根据强度和刚度要求确定轴的直径及齿轮3对齿轮1的扭转角 解 先求外力偶矩 由轴平衡求M2 求各截面扭矩 作扭矩图 确定危险截面 轮2 3间的截面为危险截面 由强度条件设计轴的直径 可取D 27mm 由刚度条件设计轴的直径 可取D 30mm 计算扭转变形 例 传动轴d 4 5cm n 300r min PA 36 7KW PC PD 11KW PB 14 7KW G 80GPa 40MPa 2o m 解 1 计算外力偶矩 试校核轴的强度和刚度 2 画扭矩图 求最大扭矩 同理 3 校核强度 满足强度条件 MB MC MD A B C D MA 4 校核刚度 满足刚度条件 扭转静不定 静力平衡方程 变形协调方程 圆轴扭转时的破坏现象 一 塑性材料沿横截面被剪断 二 脆性材料沿450螺旋曲面被拉断 比如 铸铁 粉笔 比如 低碳钢 9 8矩形截面杆扭转理论简介 1 矩形截面杆扭转变形 变形后 截面